Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

198
  20.
  Упражнения для повторения 
курса алгебры 9 класса
20.1. Запишите в виде неравенства утверждение:
1)  a — положительное число;
2)  b — отрицательное число;
3)  модуль числа c — неотрицательное число;
4)  модуль  суммы  двух  рациональных  чисел  a  и  b  не  больше 
суммы модулей этих чисел.
20.2. Докажите неравенство:
1) 3a (a + 6) < (3a + 6) (a + 4);
2) (2b – 1) (3b + 2) < (3b – 1) (2b + 1); 
3)  25
10
2
2
m
n
mn
+
l
;
4) 2a
2
 – 4a + 5 > 0;
5) x
2
 + x + 1 > 0;
6)  4
12 12
21
2
y
y
−
−
l
;
7)  a
b
a b
2
2
2 2
+
+
+
l (
);
8)  a
b
c
a b c
2
2
2
3 2
+
+
+
+ +
l (
);
9) 2a
2
 + 5b
2
 + 2ab + 1 > 0;
10) x
2
 + y
2
 + 15 > 6x + 4y.
20.3. Докажите, что является верным неравенство:
1)  a
a
a
5
4
5 5
−
−
l
,  если  a l 5;
2)  b
b
3
2 0
+ + l ,  если  b l −1;
3)  c
c
c
3
2
3
3
+
+
m
, если  c m3.
20.4. Известно, что a > 3. Сравните с нулем значение выражения:
1) 2a – 6; 
4) (a – 3) (2 – a); 
2) 15 – 5a; 
5) 
a
a
−
−
2
1
;
3) 2a – 4; 
6) 
−
−
4
3 a
.
20.5. Известно, что b < 2. Сравните с нулем значение выражения:
1) 4b – 8; 
3) 
b
b b
−
−
−
3
2
4
(
) (
)
.
2) (b – 2)
2
 (b – 3); 
20.6. Докажите, что если a > b > 1, то 
a
2
b + b
2
 + a > ab
2
 + a
2
 + b.

20.  Упражнения для повторения  курса алгебры 9 класса
199
20.7. Докажите, что если a < b < 2, то 
a
2
b + 2b
2
 + 4a < ab
2
 + 2a
2
 + 4b.
20.8. Сравните с нулем число a, если:
1) 6a < 5a; 
2) –2a < 2a; 
3) 9a > 4a; 
4) –37a > –3a.
20.9.
 Докажите, что если a > 7 и b > 3, то:
1) 4a + b > 31; 
2) 10a + 3b > 75.
20.10. Докажите, что если a > 5 и b < –2, то:
1) 3a – b > 17; 
2) 5b – 2a < –10.
20.11. Сравните, если возможно:
1) 4a + b и 12, если a > 2 и b > 5;
2) b – 2a и 0, если a > 4 и b < 6;
3) b – 3a и 1, если a < 6 и b < 0;
4) a – 5b и 1, если a < 12 и b > 2.
20.12.  Положительные  числа  a,  b,  c  и  d  таковы,  что  a > b,  d < b 
и  c > a.  Расположите  в  порядке  возрастания  числа 
1
a
,  
1
b
,  
1
c
 и 
1
d
.
20.13. Известно, что 5 < a < 8. Оцените значение выражения:
1) 0,4a; 
2) a – 3; 
3) 2a + 1; 
4) –3a + 2.
20.14. Известно, что 3 1
10
3 2
,
, .
<
<
 Оцените значение выражения:
1)  2 10;  
2) 
−4 10;  
3)  3 10 5
− .
20.15. Известно, что 3 < m < 4 и –3 < n < –2. Оцените значение вы-
ражения:
1) 2m + 3n; 
2) 0,2m – n; 
3) –5m + 4n; 
4)  m
m
n
− .
20.16. Решите неравенство:
1) 16 4
8
− n l ;  
3) 6x + 3 > 5x – 2; 
5) 3x + 4 < 5x – 4;
2) 10x > 13x + 6; 
4) 
4 3
7
1
−
<
x
;  
6) 4x – 7 > 7x – 6.
20.17. Найдите сумму натуральных чисел, принадлежащих области 
определения функции  y
x
=
−
10 3 .
20.18. Дана функция f (x) = 3x + 12. При каких значениях аргумента 
функция принимает:
1) положительные значения;
2) отрицательные значения;
3) значения, принадлежащие промежутку [–4; 7]?

20.  Упражнения для повторения  курса алгебры 9 класса
200
20.19.  Придумайте  неравенство  вида  ax + b > 0,  где  x — перемен-
ная, a и b — некоторые числа, множеством решений которого 
является:
1) промежуток  ( ;
);
− +
3
×
 
2) промежуток  (
; , );
−
×
1 6  
3) множество действительных чисел;
4) пустое множество.
20.20. Найдите множество решений неравенства:
1)  (
)
(
) (
)
;
2
3
4
1
2
7
2
x
x
x
−
−
− +
m
 
2)  (
) (
)
(
) (
);
x
x
x
x
−
+
−
+
−
2 2
2
4 1
l
 
3) 
1
2
2
1
4
3 3
−
+
+ <
−
x
x
x
;
4) 
3
37
2
7 2
4
9
2
x
x
x
−
−
− >
+
;
5) 
5
3
5
3
4
3
29
15
x
x
−
+
−
l
.
20.21. Чему равно наименьшее целое решение неравенства
 
3
5
4
2
3
1
x
x
x
+
−
−
+
m
?
20.22. Чему равно наибольшее целое решение неравенства
 
3
5
2
8
3
x
x
+
−
<
?
20.23. Равносильны ли неравенства:
1) 
x
x
+
−
+
<
1
2
1
3
1  и  3 (x + 1) + 2 (x – 1) < 1;
2) (x + 3) (x
2
 + 4) > 0  и  x + 3 > 0;
3) x – 1 > 3  и   x
x
x
− +
> +
−
−
1
3
1
5
1
5
;
4) x + 2 < 1  и   x
x
x
+ + < +
2
1
1
1
?
20.24. Решите систему неравенств:
1) 
x
x
x
x
− <
−
+ >
−



3 2
3
4
5 10
,
;
 
3) 
(
)
(
) (
)
,
(
)
;
x
x
x
x
x
−
−
−
−
−
+
−
−



5
15
3
4
50
4
7
16 2
2
l
l
2) 
9 2
3
7
2 2
5
+
+
− >
−



x
x
x
x
m
,
;
 
4) 
x
x
x
x
x
x
−
+
+
+
+
−
+
−
<






1
4
1 7
3
3
1
5
2
4
8
5
3
1
10
,
,
.
l

20.  Упражнения для повторения  курса алгебры 9 класса
201
20.25.
 Найдите сумму целых решений системы неравенств:
1) 
3
5 23 4
7
9 9
1
x
x
x
x
− <
−
−
+



,
;
m
 
2) 
2 3
4
3 4
5
23
4
1
3
5
(
)
(
)
,
(
)
.
x
x
x
x
−
<
− +
+
+



m
20.26. Придумайте систему двух линейных неравенств с одной пере-
менной, множеством решений которой является:
1) промежуток  ( ;
);
− +
2
×
2) промежуток 
−




4
1
3
;
;
3) промежуток  (
;
];
−
−
×
10
4) пустое множество;
5) множество, состоящее из одного числа 8;
6) множество действительных чисел.
20.27. Известно, что 1
4
m m
a
.  Сколько целых значений может при-
нимать выражение 0,5a – 3?
20.28. Решите двойное неравенство:
1) 
−
− <
3 2
1 5
m x
;  
3) 2 < 7 – 4x < 11;
2) 
− <
−
1 3
9 6
x
m ;  
4) 
−
−
2
1
1
3
m
m
x
.
20.29. При каких значениях a имеет хотя бы одно решение система 
неравенств:
1) 
x
x a
<
>



4,
;
 
3) 
x
x a
m
l
−



3,
;
2) 
x
x a
m2,
;
>



 
4) 
x
x a
l
m
1,
?



20.30. При каких значениях a не имеет решений система неравенств:
1) 
x
x a
<
>



6,
;
 
3) 
x
x a
m
l
−



8,
;
2) 
x
x a
m5,
;
>



 
4) 
x
x a
>



0,
?
m
20.31. При каких значениях a множеством решений системы не-
равенств 
x
x a
l 3,
>



 является:
1) промежуток  [ ;
);
7
+
×
 
3) промежуток  ( ;
);
− +
2
×
2) промежуток  [ ;
);
3
+
×
 
4) пустое множество?

20.  Упражнения для повторения  курса алгебры 9 класса
202
20.32.
  При  каких  значениях  a  уравнение  x
2
 – (2a + 2) x – 2a – 3 = 0 
имеет два различных отрицательных корня?
20.33.  При  каких  значениях  a  уравнение  x
2
 – (2a – 1) x + a
2
 – a – 6 =
= 0  имеет  два  различных  корня,  принадлежащих  промежут-
ку [–3; 2]?
20.34. На рисунке 20.1 изображен график функции y = f (x), опреде-
ленной на множестве действительных чисел. Пользуясь рисун-
ком, укажите:
1) нули функции;
2) промежутки возрастания и убывания функции;
3) множество решений неравенства f (x) > 0.
0
x
1
1
Рис. 20.1
20.35. На рисунке 20.2 изображен график функции y = g (x), опреде-
ленной на промежутке [–5; 6]. Пользуясь рисунком, укажите:
1) область значений функции;
2) нули функции;
3) промежутки возрастания и убывания функции;
4) множество решений неравенства  g x
( )
.
m 0
0
x
1 2
4
1
–2
–3
–5
Рис. 20.2

20.  Упражнения для повторения  курса алгебры 9 класса
203
20.36.
  Укажите,  какие  из  данных  линейных  функций  являются 
возрастающими, а какие — убывающими:
1) y = –4x; 
2) y = 4x – 7; 
3)  y
x
=
4
;  
4) y = 4 – x.
20.37. Какая из данных функций является убывающей:
1) y = x
2
; 
2)  y
x
=
2
;  
3) y = –2x; 
4) y = 2x?
20.38. Решите графически уравнение:
1)  (
)
;
x
x
+
= −
1
2
2
 
4) 
6
2
3
x
x
−
= + ;
2)  x
x
2
2
− = −
;  
5)  (
)
;
x
x
+
=
+
2
4
2
 
3)  x
x
+ = −
1 5
;  
6) 
5
3
3
2
x
x
+ =
−
(
) .
20.39. Чему равна абсцисса вершины параболы:
1) y = 4x
2
 – 12x + 1; 
2) y = –0,2x
2
 – 2x + 3?
20.40. Укажите, вершина какой из данных парабол принадлежит 
оси ординат, а какой — оси абсцисс:
1) y = x
2
 – 4x + 3; 
3) y = x
2
 – 6x + 9;
2) y = x
2
 – 8; 
4) y = x
2
 + 2x.
20.41. Найдите значения b и c, при которых функция y = x
2
 + bx + c:
1) имеет единственный нуль в точке x = –3;
2) принимает наименьшее значение, равное 4, в точке x = 0;
3) имеет нули в точках x = –2 и x = 5.
20.42. Постройте график данной функции, найдите ее область зна-
чений, промежутки возрастания и убывания:
1) y = –2x
2
 + 1; 
4) y = 4x – x
2
; 
7) y = 2x
2
 – 3x – 2;
2) y = 0,5x
2
 – 2; 
5) y = –x
2
 + 4x – 3; 
8) y = –3x
2
 + 8x + 3.
3) y = x
2
 + 6x + 5; 
6) y = x
2
 – 4x + 5;
20.43. При каком значении c график функции y = x
2
 – 6x + c:
1) проходит через начало координат;
2) имеет с осью абсцисс только одну общую точку;
3) пересекает ось ординат в точке A (0; –4);
4) пересекает ось абсцисс в точке B (2; 0)?
20.44. При каком значении b график функции y = x
2
 + bx + 2:
1)  имеет с осью абсцисс только одну общую точку;
2)  не имеет с осью абсцисс общих точек;
3)  пересекает ось абсцисс в точках, расстояние между которыми 
равно 4?

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: