Дифференциальные уравнения высшего порядка

Пример 1. Для отыскания частного решения дифференциального уравнения 

 

 

(3) 

сначала составим характеристическое уравнение и найдем его корни: 

 

Частное  решение  неоднородного  уравнения  (3)  будем  искать  в  виде 

многочлена третьей степени с неопределенными коэффициентами: 

 

 

Приравняем друг к другу коэффициенты с одинаковыми степенями:  

 

 

23 

 

 

 

Записываем частное решение неоднородного уравнения (3): 

 

 

Общее решение уравнения (3): 

 

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения 

 

 

(4) 

Корни характеристического уравнения: 

 

Далее  устанавливаем,  что 

  совпадает  с  одним  из  корней 

характеристического  уравнения.  Поэтому  частное  решение  уравнения  (4) 

следует искать в виде 

 

где   – неопределенный коэффициент (многочлен нулевой степени). Тогда 

 

 

 

 

Частное решение уравнения (4): 

 

Общее решение уравнения (4): 

 

24 

 

Пример 3. Рассмотрим уравнение 

 

 

(5) 

корни характеристического уравнения которого равны 

 

1)  Пусть 

  Тогда 

,  и  частное  решение 

уравнения (5) следует искать в виде 

 

2)  Пусть 

  Тогда 

.  Поэтому  частное 

решение уравнения (5) следует искать в виде 

 

3)  Пусть 

  Тогда 

  а  частное  решение 

уравнения (5) имеет вид 

 

4)  Пусть 

  Здесь  –  как  и  в  предыдущем  случае  –  частное 

решение уравнения (5) следует искать в виде 

 

5)  Пусть 

  Тогда 

  совпадает  с  одним  из  корней 

характеристического уравнения. Поэтому частное решение уравнения (5) 

имеет вид 

 

Пример 4. Если правая часть  линейного неоднородного  дифференциального 

уравнения  

 с постоянными коэффициентами имеет вид 

 

то  проблема  отыскания  частного  решения    этого  уравнения  сводится  к 

нахождению частных решений 

 вспомогательных уравнений 

 

 

с правыми частями специального вида. При этом 

 

25