Гл. 1. Введение в анализ
Покажем, например, что семейство S = {{or, /?}, {а}, {/?}, {у},
0
} — полукольцо. Действи
тельно, пересечение любых двух элементов семейства S снова является элементом S. Далее,
для всякого элемента S справедливо разложение: {а, 0} = {а} и {0}, {а} = {а}, {/?} = {/?},
{у} = {у} на непересекающиеся множества. Таким образом, семейство S — полукольцо. ►
12.
Пусть три числа а, b и с удовлетворяют неравенствам а < с < Ь. Показать, что
семейство
s = {[а, Ь], [а, с], [с,
6
], [а, с[, [с, с], ]с,
6
],
0
},
состоящее из сегментов и полусегментов, образованных точками о, Ъ и с, является полуколь
цом, но не кольцом.
Ч Пересечение любых двух элементов семейства S есть элемент этого же семейства, т. е. S
замкнуто относительно операции пересечения. Далее, любой элемент семейства S допускает
разложение на непересекающиеся части, принадлежащие S. Например,
[а, Ь] = [а, с]|_1]с, Ь] = [о, c[U[c, c]U]c, b] = [а, c[U[c,
6
],
[а, с] = [а, c[U[c, с] и т. д.
Семейство S не является кольцом, так как оно не замкнуто относительно объединения. На
пример, [а, с[и]с, Ь] не принадлежит S. ►
13.
Доказать, что
(А П В) х (D П Е) = (А х D) п (В х Е).
(
1
)
◄ Пусть (г, у) £ (А П В) х (D П Е), тогда я € А П В и j
6
й П £ , что равносильно
тому, что х £ А А х £ В и у £ D А у £ Е. А поскольку х £ А
А
у £ D, то (г, у) £ А х D .
Аналогично, п з х £ В Л у £ Е следует (я, у) £ В х Е. Таким образом, (я, у) £ (А х D) П
(В х Е) и
(А П В)
х
(D Г\ Е) С (А х D) П (В
х
Е).
(2)
Предположим теперь, что
(я,
у) € ((А
х
D) П ( В
х
Е)). Тогда
(я,
у) € (А
х
D)
А
(я,
у) €
(В х Е) и, следовательно,
я
€ А Л у £ D и х £ В Л у £ Е. Отсюда х £ А Г\ В и у £ D П Е,
т. е. (я, у) £ ((А П В) х (D П Е)) и справедливо включение
(А х D) П (В х Е) С (А П В) х (D П Е).
(3)
Из включений (
2
) и (3) следует (
1
). ►
Упражнения для самостоятельной работы
1
. Доказать равенства:
а) С U Ам = Р|С А М; б ) С П А м = и С А „
М
М
/
1 / 1
(см. равенства (2) п. 1.4), где ц принадлежит произвольному множеству.
2. Пусть А С В и D произвольные множества. Доказать справедливость включений:
а) А П D С В П D; б) A U D С В U D.
3. Доказать, что если A C B h A c D , то A c B n D .
4. Доказать, что если A C D
a
B
c
D ,
t o
A U B
c
D.
5. Доказать справедливость равенств:
а) А Д В = (A U В )\(А П В)\ б) A U В = (А Л В) Л (А П В); в) А \ В = А А (А П В).
6
. Доказать, что для симметрической разности справедливо включение
А А В С ((A A D) U (В A D)).
7. Доказать справедливость включений:
а ) (Ai U А
2
)\(В , U В 2) С (А ,\Я ,) U (А
2
\В 2);
б) (СА, U СА2) Д (СП, и СП2) С С((СА, Д СП,) П (СА
2
Д СИ2)),
где А ,, А2, В ,, В
2
— подмножества множества J .
8
. ' Доказать что:
а) (A, U А2) Д (П, U В2) С (А, Д В ,) U (А
2
Д В2);
б) (Л) п А2) Д (В, П В2) с ( А , Д В , ) л (А
2
Д В2);
" -в)■ (АД'А2) Д (В ,\В 2) С (А, Д В ,)\(А
2
Д В2),
где А,., А 2, В ,, В
2
— подмножества множества 3 .
9. Определить множества A U В, А П В, А \В , В\А, А А В, если:
|