Гл. 3. Неопределенный интеграл

§ 3. Интегрирование иррациональных функций
237
Таким образом, окончательно имеем
г ..........
1
У ^ + У
2
+
2
Х -Т »
У
2
___._ У
2
( » -
1
) 
, „ ^
V3 
V6 
V
6
- V
2
+ 
2
T = ^
з 
g V
2
' + 
2
* - * a + С ' ►
1 0 5 .
С помощью дробно-линейной подстановки х =
^
 
вычислить интеграл
1
“b t
- I
dx
(х2 — х + l )y/x2 + х +
1 
■4 Применяя предложенную подстановку, получаем 
2
* 
| 
1
- (а + ff*) ~ С
1
+ *)(а + Р*) + U + *) .
Х 
х + 1 ~  
(1
+ 4)2
2
, , _ (о + fit)2 +
(1
+ t){a + fit) +
(1
+ t)2
+ x + l -  
( Г й ?
'
Числа cv и 0 определяем так, чтобы коэффициенты при 4 были равны нулю. Следователь-
2 а 0 - а - 0 + 2 = О, 
2а0 + а + /3 +
2
=
0
. 
Решая систему, находим 
0
= 1, 0 = —1. Тогда 
1 - 4
. 
-2(44
1 + 4 ’
dx
(1 + <)2
г — х +
1
34
2
+ 1
0
+
4
)2’
у/х2 + х + 1 =
(для случая, когда 1 + 4 > 0, т. е. если х > —1).
Таким образом,
I = -2
[
(t + l)dt 
_
_2
Г _  
У (342 + 1)л/42""+"3 
J
(3:
4(44
'/
dt
(34
2
+ 1)л/4
2
+ 3
"У (34
2
+ 1)л
/<2
+ 3 
"У (34
2
+ 1)л/4
2
+ 3 '
Для вычисления первого из этих интегралов применим подстановку y/t2 + 3 = и. Тогда
((44
- 2 / -------- ^
У (34
2
+
1
)
Ол/4
2
+ 3
Возвращаясь к переменной х, получаем
(4и 
1
,
2л/2 + -\/Зи
^ In
2^2
+ V
^ 2
+ 3)
- З и
2
■" 
2^6
2л/2 — ■у/Зи " 276
2
у
/ 2  - y/3(t2 + 3)
- 2
h
4 (44
= 4= In
(34
2
+ 1 ) # + 3
л
/6
(1
+ ж)л
/2
+ \ / з ( т
2
+ х +
1
)
у/х2 — X +
1
Второй интеграл вычисляется с помощью подстановки
\/,2+3
_2
/ --------- — =
- 2
/
= -
У (342 + 1)
х
/ 4М Г3 
У 8г2 + 1
(3 42 + 1)х/42 + 3 
Окончательно имеем
1
А 2yf2z 
1
А х/
2
(
1
- т )
- a r c t g —
^ - - a r c t g ^
- - ^
.
/ =
4
=in
4 з
(1
+ ж)л/
2
+ у/з(х2 + х + 1)
у / х2 — х + 1
- L m ,e 
о
^2
6
л/т
2
+ х +
1
Применяя подстановки Эйлера:
1) \/аж
2
+ Ьх + с =
+ г, если а > 0;
2
) \ J ах
2
+ Ьх + с = хг ±
если с >
0
;
3) \/а х
2
+ Ьх + с = \ / а(х — ii)(x — х2) = г(х — хД, найти следующие интегралы:
106
: + V z
2
+ X +
1

238
Гл. 3. Неопределенный интеграл
■4 Здесь а =
1
> 0, поэтому применим первую подстановку
Отсюда х = j
+ 2 г
dx
■2z-‘+ 2 z + 2
( 1+ 2 * )2
л / х 2 + х +
1
= — х + г.
dz. Подставив эти значения в интеграл, получим
+ 2 г ) 2
Разложение подынтегральной функции ищем в виде
_ [ 2 z2 - 
*(1
+ 2z 
2
dz.
2z2 + 2z + 2
+
В
с
z(l + 2z)2 
( 1 + 2 z)2 
1
+
2
г 
г
Для определения неизвестных А, В  и С получаем систему 
2
= 2В+4С; 2 = Л+В +46'; 
2
=
С, откуда Л = —3; В = —3; С =
2
.
Таким образом,
3 
1
. 
г
4
2(1
+ 2z ) + 2 П |1 + 2г |3
+ С,
где z = х + л/х2 + х + 1, х ф — 
1
. ► 
dx
/г
1 0 7
. 
,________ __
+ л/1 — 2х — х2
◄ Поскольку С =
1
>
0
, то, применяя вторую подстановку Эйлера
xl — 
1
= л
/1
— 2х —т , получаем
I
Г 
dx 
Г - t 2
J
1 + л/ l — 2х — г 2 
J t(t 
—
- Г
+21
+
1
1
)(
12
 +
1
)
Разлагаем подынтегральную функцию на простейшие дроби:
dt.
— t 
+21
+
1
А
= -  +
В 
^ СН + D
1(1
— l)(t
2
+
1
) 
1
1 - 1
12
+
1
'
Приводим последнее равенство к общему знаменателю
—I
2
+21 +
1
ее
Л(
13
- I
2
+
1
-
1
) + В(1
3
+
1
) + (Cl + D)(t2 - 1) 
и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях 
1
:
Г
1
1
°
0 = А + В  + С,
- 1 = - A - C + D, 
2 = A + B - D ,
1
= - А .
Отсюда находим А = —
1
, 5 = 1, О = 0 и Л = 2. 
Следовательно,
1
- 1
— 2 arctg 
1
+ С,
где i t =
1
+ л/1 — 2х — х2. ►
1 0 8
Л
х — V х
2
+ Зх +
2
d x .
х + \ /
1 2
+ 3 т +
2
◄ Здесь х2 + Зх +
2
= (х + 1)(х + 2), поэтому можно положить: л/х2 + Зх + 2 = 1(х + 1) 
(третья подстановка Эйлера). Имеем 
2
X =
2 - t2 
I
2
-
1
’
dx = —
21
dt
(l
2
- l
)2
x + л/х
2
+ Зх +
2 
Разложение подынтегральной функции ищем в виде
- I
л/х2 + Зх + 2
dx
‘ h r
-2t - 41
-
2
Г -4 1
В
С 
£
2
)(
1
-
1)(1
+
1
):
Е
■
 dt
(1
-
2)(1
- l)(t +
1)3
(1
+ I
)3
т
(1
+
!)2
т
1
+ 1 ‘r t - 1 ‘r
1
-
2
’
откуда
-21
2
- 41 = Л(1 - 2)(1 -
1
) + 5(1 - 2)(1
2
- 1) + C(t2 - 31 + 2)(1
2
+ 21 + 1) +
+ D(t 
-
2
)(
13
+
ЗГ 
+
31 
+
1
) 
+ E(t 
-
1)(1
3
+
312 
+
31 
+
1
).

§ 3. Интегрирование иррациональных функций
239
Полагая последовательно t = —
1
, 
1
, 
2
, находим А = j , D — | и Е = — 
Далее, 
приравнивая в тождестве коэффициенты при t
4
и I3, получаем систему 0 = С + .D + Д; 0 =
В — С + D + 2 Е , откуда находим остальные неизвестные:
С’ = -
17
108’
Д =
18'
Таким образом 
I  = -
1
И н т е г р а л о т д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о б и н о м а
/
а:т (а + Ьт")р&,
г д е т , п и р — р а ц и о н а л ь н ы е ч и с л а , м о ж е т б ы т ь п р и в е д е н к и н т е г р и р о в а н и ю р а ц и о н а л ь н ы х
ф у н к ц и й л и ш ь в с л е д у ю щ и х т р е х с л у ч а я х :
1 . П у с т ь р — ц е л о е . П о л а г а е м
х
=
tN,
г д е
N
— о б щ и й з н а м е н а т е л ь д р о б е й
т
и
п.
2 . П у с т ь —
-------- ц е л о е . П о л а г а е м
а
+
Ьхп = tN,
г д е
N
— з н а м е н а т е л ь д р о б и р .
п
.
.3. П у с т ь ------------
\-р
— ц е л о е . П р и м е н и м п о д с т а н о в к у
ах~п
+
6
=
t
N , г д е
N
— з н а м е н а т е л ь д р о б и
п
р .
Е с л и п =
1
, т о э т и с л у ч а я э к в и в а л е н т н ы с л е д у ю щ и м : 1 ) р — ц е л о е ; 2 )
т
— ц е л о е ; 3 ) m + р —
ц е л о е .
Найти следующие интегралы:

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: