Байланысты: Anti-Demidovich Lyashko I I i dr Tom 1 Vvedenie v matematicheskij analiz proizvodnaja integral 2001 ru T 358s
Глава 4 Определенный интеграл § 1. И нтеграл Римана 1.1. Верхний и нижний интегралы Римана. Критерий интегрируемости функции.
О п ред ел ен и е 1. Разбиением П сегмента [а, 6] называется конечное множество точек { х 0, xi, . . . , х п}, где а — х 0 < Xi < ... < х„ — Ь. Пусть / : [а, 6] —■ К и / — ограниченная на сегменте [о, 6] функция, а П — произвольное
разбиение этого сегмента.
Верхней и нижней интегральными суммами, соответствующими разбиению П, называют
ся числа
П—1
П—1
Sn(f) = J 2 M’Ax‘’ £“(/) = Е
m i A xi , ;=о
>=0
где Mi =
sup
= inf
j/( r ) } , A i , = i , +i - r , .
О п р ед ел ен и е 2. Числа ( f d x =
inf
{.
5
n(/)},
f f d x = sup{Sn(/)},
J fn >
J {n} -
где точные грани берутся по всем возможным разбиениям сегмента [о, 6],
называются со ответственно верхним и нижним интегралами Римана функции f на сегменте [а, 6].
О п ред елен и е
3 .
Функция f называется интегрируемой по Риману на сегменте [а, 6],
если J f dx =
J f d x , а общее значение верхнего и нижнего интегралов называется интегра- ь лом Римана функции f на этом сегменте и обозначается J f { x ) d x . а Класс всех интегрируемых по Риману функций / обозначают / G R [о, 6].
Критерий интегрируемости. Для того чтобы ограниченная функция / : [ а ,
6
] —» М
была интегрируемой на сегменте [а, 6
] ,
необходимо и достаточно, чтобы V e > 0
существо вало такое разбиение П
этого сегмента, что 0 ^ < ? п ( / ) — 5 п ( / ) <
е. Сокращенно критерий интегрируемости записывают следующим образом:
П — 1
/ € R [о, Ъ] Vg > О ЭП : 0 ^ 5 ц ( /) — S n ( f ) = ^
ш{Ах, < г
;=о
( з д е с ь
ui, = М, — ш , — к о л е б а н и е ф у н к ц и и / н а с е г м е н т е [х ; ,
1.2. И н т е гр а л Рим ан а как предел и н тегр ал ьн ы х сумм.
П у с т ь П
—
п р о и з в о л ь н о е р а з б и е н и е с е г м е н т а Г а,
61
и (Г ( П )
=
max A x i . Ha каждом
сегменте [х,, г ;+1] возьмем произвольную точку £, и образуем так называемую интегральную
сумму
П—1
Sn( f ) =
Ат,.
1=0
