§5. Орта ғасырлық орыс еліндегі математика

     Русьте тұңғыш математикалық шығарма жазған автор – 1110жылы туған 
новгородтық Монах Кирик. Бұл шығарма 1134 ж. жазылған. Бұл еңбекте 
жəне басқа қолжазбаларда мынадай мəселелер бар: 
а) Дүние жаралғалы бері қанша ай, апта, күн жəне сағат өтті. Бұл есепті 
шешу үшін православиялық діннің үйретуі бойынша 6642 жыл өткен деп алу 
керек жəне бір жылда 52 апта, бір бүтін жəне бір ширек күн бар деп 
саналады. 
ə) Табындағы малды уақыт өткен сайын бір тұрақты санға өседі деп алып, 
прогрессияларды есептеу (мысалы, əлгінде айтылған саулықтан «өрбитін» 
төл есебі). 
б)  Діни  мейрам  пасханың  болатын  уақытын  есептеу  жөніндегі  күрделі 
теориялық  –  сандық  есептер.  Бұл  мейрам  көктемгі  толық  айдан  кейінгі 
бірінші  жексенбі  күні  атап  өтіледі.  Ал  көктемгі  толық  ай  21  наурыз  бен  18 
сəуір күндері арасында туады. Ментондық циклді (19 күн жылы = 235 айға 
тең),  аптаның  жетікүндік    Жердің  жəне  Айдың  Күнді  айналу  кезеңдерін 
ескеріп,  күн  жылдарын,  айдың  периодты  шкаласын  салыстыру  есебі 
қойылады: Сонда ұзақтығы 532 жыл болатын мейрам мен оған байланысты 
ауыз бекіту уақытының қайталау кезеңі шығады. 
     Көне  Русьте  геометриялық  мағлұматтар  жер  өлшеу  əрекеттеріне 
байланысты  кездеседі.  Жер  өлшеудің  ең  үлкен  өлшемі  «соха»  деп  аталған. 
Кейіннен жер өлшеу бірлігіне десятина алынады, оның əуелгі мəні ұзындығы 
80 саржын, ені 40 саржын жер учаскесінің ауданына тең болған. 
     Міне,  осылай,  басқа  Европа  елдерімен  бірдей  деңгейлес,  сыбайлас  дами 
бастаған  ортағасырлық  Русь  ғылымы  XIII  ғасырда  монғолдар  мен  Крест 
тағушылардың  қанқұйлы  шапқыншылығына  ұшырайды.  Орыс  халқы 
қансыраса  да,  өздерінің  мемлекеттік  жəне  ұлттық  тəуелсіздігін  сақтап 
қалғаны  мəлім.  Россияда  мəдениет  пен  ғылымның  біртіндеп  қайта  жандана 
бастауы XVI ғасырдан басталады. 
   
 
Сегізінші тарау  
               Қайта өрлеу заманындағы Европа математикасы 
        §1. Қайта өрлеу заманындағы ғылымның жалпы жағдайы  
 
      XV ғасырдың екінші жартысы мен XVІ ғасыр Европа тарихында «Қайта 
өрлеу дəуірі» деп аталады. Бұл ежелгі дүние қол жеткен аса биік мəдени 
дəреженің қалпына келіп  өркендеу  дəуірі. Мұның осылай аталуының мəні 
тереңде жатыр,ол ең əуелі қоғам өміріндегі түбегейлі өзгерістермен 
сипатталады, бұл кез ескі феодалдық құрылыс қойнауында жаңа 
буржуазиялық, капиталистік қоғамдық қатынастар бой көрсете бастаған жаңа 
əлеуметтік жағдайға сай келеді. Өнеркəсіпте  жаңа техникалық жаңалықтар 
мен кемелдік қажет ететін мануфактуралар пайда болады, осы тұста 
прогреске аса керекті компас, сағат жəне оқ-дəрі,арзан қағаз шығару, кітап 
басу ісі жедел дами бастайды. Сауданың қауырт өркендеуі теңізде 
жүзушілікті күшейтіп,ұлы географиялық жаңалықтар ашылуын жеделдетті. 

Кітаптың молаюы қауымның ғылымға , білімге талпынысын,ынтасын 
арттырады. Осылай мəдени револэция жүзеге асады.  
    «Бұл адамзат басынан кешірген төңкерістер ішінде ең ұлы прогрессивті 
төңкеріс болды,-деп жазды Ф.Энгельс XV-XVІ ғасырлар туралы,-ойлау мен 
сезу күші ,мінез жəне жан-жақтылығы, оқымыстылығы жөнінде алыптарға 
мұқтаж болған жəне соларды туғызған дəуір еді. Қазіргі буржуазиялық 
үстемдігі негізін қалаған адамдар, кім болса да буржуазияша шектелген 
кісілер болған жоқ. Керісінше , олар сол кезге тəн шым-шытырық  қызық 
оқиғаны батыл іздеу мінезін азды-көпті бойына дарытқан жандар болды. Ол 
қарсаңда алысқа сапар шекпеген, 4-5 тілде сөйлемейтін, творчествоның 
бірнеше салаларында қатар көзге түспейтін бірде-бір дерлік көрнекті кісі 
болмайтын... Ол заманның қаһармандары,олардың мирасқорларынан біз жиі 
байқап жүрген, адамды біржақтылыққа итермелейтін еңбек бөлінісі 
ықпалының құлы емес еді» 
      Қайта өрлеу заманының өкілдерінің жан-жақты білімпаздығы мен 
өршілдігін сипаттай келіп, Ф.Энгельс мұндай ерлердің үлгісі ретінде Италия 
ғалымы Леонардо да Винчи (1452-1513) бірінші атайды: «Ол тек ұлы суретші 
ғана емес,ұлы математик,механик жəне инженер болды, физиканың əр түрлі 
салалары өзінің маңызды жаңалықтары жөнінде оған қарыздар». 
      Қайта өрлеу заманындағы тағы бір ұлы оқымысты-гелиоцентрлік жүйенің 
авторы – Коперник (1473-1543) туралы Ф.Энгельс «ол табиғат мəселелерінде 
шіркеу беделімен жекпе-жек шықты. Осыдан бастап жаратылыстанудың 
теология бұғауынан босану заманы басталады» дейді.  
     Қайта өрлеу заманы оқымыстыларының шабыт,нəр алған тағы бір бастау 
көзі əлі де араб ғұламалары еңбектері болып қала берді. Ол оқымыстылардың 
ішінде араб тілінде оқығандары да болған. Леонардо да Винчи ,Коперник 
,Кардано, Джон Валлис  өз еңбектерінде шығыс білімпаздарының есімдерін 
аса зор ілтипатпен , құрметпен еске алып, еңбектерінен тəлім алып отырған. 
Мəселен, Леонардо өзінің қолжазба кітаптарында əл-Кинди , Ибн Корра 
Сабит, Ибн Синалардан үзінді, сілтемелер келтіріп отырады. Бұларда 
шығарылған есептердің (дұрыс көпбұрыштар салу əдісі) көбісі əл-Фарабидің 
геометриялық трактатында келтірілген есептермен дəл келеді. Олардың 
ғылыми зерттеу əдістерінде де ұқсас жайттар кездеседі. XV-XVІ ғасырларда 
өмір сүрген Европа оқымыстылары ежелгі грек жəне Шығыс ұстаздары 
қалдырған мол мұраны лайықты игеріп, ғылым-білімді бұрын болып 
көрмеген жаңа белеске,жоғары сатыға көтереді.  
     Бұл кезеңде білімдер жүйесі арсында математиканың беделі жоғарылайды, 
ол шындықтың  ең сенімді критерийі саналады. Мəселен Леонардо да Винчи:  
«тəжірибе мен математика əрбір ғылыми жүйенің негізі болады» деген 
принципті уағыздады. Мұның үстіне оның практикалық пайдасы барған 
сайын математикалық зерттеулер жүргізуге , оны кемелдендіруге 
итермелейді.  Мысалы, теңіздегі координаттар табу тəсілін аздап қана 
жетілдірудің өзі кеме иелерін (көпестерді) үлкен пайдаға кенелтер еді.  

    XV-XVІ ғасырларда математика негізінен  Италия,Франция жəне 
Герменияда дамытылды, бұған XVІ ғасырдың аяғында Европа бірінші болып 
буржуазиялық революцияны басынан кешірген ел Голландия қосылады.                                                       
    Россияда математика тек XVІ ғасырда татар-монғол үстемділігі жойылып, 
Батыс Европа елдерімен жаңа байланыстар орнағаннан кейін дамытыла 
бастайды. Европалықтар шығармаларынан жəне Шығыс оқымыстыларының 
европа тілдеріне аудармаларынан құрастырылған математикалық 
қолжазбалар пайда болады,орыс математикалық терминологиясы қолға 
алынады. Бізге XVІ ғасырдан бір ғана математикалық қолжазба келіп жетті, 
мұнда «соха» өлшемі бойынша жер учаскесінің ауданын табу қарастырылады 
жəне орыс есепшоты сипатталады.  XVІ-XVІІ ғасырларда математика 
бойынша орыс тілінде қолжазба кітаптар шығады, олардың бəрін 1703ж. 
Мəскеуде басылып шыққан Л.Ф.Магницкийдің «Арифметикасы» 
ығыстырады. 
 
 
 
 
§2 Алгебралық символика мен сандар ұғымының  дамытылуы. 
Тригонометрия 
        Леонардо Пизанскийден XVІ ғасыр аралығында өткен екі жүз жылдан 
аса уақыт ішінде математика тарихында айқын идеялар , үлкен жаңалықтар, 
күрделі өзгерістер болмады деушілер де жоқ емес. Сондықтан да бұл 
кезеңдегі математика тарихына арналған еңбектерде математика 
мəселелеріне көп тоқталмай қысқаша ғана шолу жасаумен қанағаттанады. 
Бұл көзқарас шындыққа келмейді,өйткені XІІІ-XV ғасырлар математикада 
сан өзгерістері, математикалық мағлұматтардың алғы шарттардың 
жинақталуы,қорлануы сияқты жай көзге көріне бермейтін, бірақ ғылымның 
жаңа санаға көшуіне шешуші əсер ететін процестер түрінде жүрді; 
математикалық идеялар мен жетістіктер,ескі грек, араб авторлары еңбектерін 
меңгеру, осылардың нəтижесінде туған,шешілуге тиісті мəселелердің көбеюі, 
математикаға деген талпыныстарды күшейтті. Əрине мұндай мəдени, 
ғылыми бетбұрыс, серпіліс ескі кері тартпа күштерге, ақсүйектер мен шіркеу 
иелеріне надандықтың барлық түріне қарсы күресте жүзеге асты. Жоғарыда 
айтылған Роджер Бэкооның үнді цифрларын таратудағы қайғылы тағдыры, 
басынан өткерген қиындығы осыған мысал бола алады. 
       XІІІ-XV ғасырларда Европа математикасының дамуында көзге түскен 
бір-біріне байланысты үш негізігі бағытты, беталысты бөліп айтуға болады, 
олар; қазіргі мағынадағы алгебралық символиканың туып, қалыптаса 
бастауы, сан ұғымының кеңеюі жəне тригонометрияның жаңарып 
кемелденуі. Жалпы арифметика мен алгебралық əдістердің дамуы XV 
ғасырдың екінші жартысында көптеген алгебралық таңбалар енгізіп, 
алгебралық есептеулердің бастамасын əкеліп соқты. Леонардо Пизанский 
мен Иордан Неморарийдің  таңбалауында үлкен кемшіліктер болды: 
алгебралық амалдар үшін жəне белгісіздерді белгілілерден ажыратарлықтай 

таңбалар болмады.  Сондықтан да сөзбен баяндалатын ережелер мен нағыз 
формулалар жалпы алгебралық өрнектің есептеу объектісі бола алмады, 
алгебралық теңдеулер жазуға таңбалау құралдары жетіспеді. 
      Символикалық алгебраның бастау көзі Лейпциг университетінің магистрі 
Ян Видманның 1489 ж. басылып шыққан  «Барлық сауда адамдарына 
арналған тез жəне əдемі есеп-қисап» деген еңбегінен басталады. Бұл еңбекте 
Леонардо мен Неморарийдің əсері бар.  Видман мұнда баспа жүзінде бірінші 
рет қосу үшін (+ «плюс») азайту үшін                 (- «минус») таңбаларын 
қолданылады. Бұл таңбалар сөздерді қысқарту барысында  шыққан деп 
жорамалдауға болады. Видман еңбегінде жəне ол пайдаланған латын жəне 
неміс тіліндегі алгебралық қолжазбаларда айрықша алгебралық 
терминология мен символика элементтері бар. 
      Немістер алгебраны «алгебра» немесе «Қосс»  ережелері деп атайды. 
Төркіні араб алгебралық терминологиясына кететін  «Қоса» сөзі «нəрсе» 
дегенді,яғни белгісізді білдіреді. Немістер мұны италияндардан қабылдаған. 
Осыдан барып XV-XVІ ғасырлардағы Оңтүстік Германия математиктерін 
«коссистер» деп атаған. 
      Алгебралық символиканы жасауда XV ғасырдағы европаның ең күшті 
алгебрышысы италияляқ Лука Пачоли (1445-1515) едəуір еңбек сіңірді. Оның 
негізігі еңбегі 1494ж. Венецияда басылған «Арифметика, 
геометрия,қатынастар жəне пропорционалдық туралы білімдер жиынтығы» 
деп аталады.  
      Пачоли Леонардо да Винчимен жақын дос болып оның тапсырмасы 
бойынша 1507ж. Венецияда басылған «Тəңірлік пропорция» туралы кітап 
жазады.  
     Лука  Пачоли алгебраны – «Қоса ережесі» немесе «Ұлы өнер» деп атайды. 
Ол көптеген алгебралық символдарды пайдаланады. Пачоли оларды 
алгебралық əріптер деп атайды. Квадрат түбірді 
x
R
 (Radice- түбір деген 
сөздің бас əрпі немесе 
2
x
R
 куб түбірді 
3
x
R
немесе 
x
R
 сива, төртінші дəрежелі 
түбірді  
x
R
x
R
арқылы белгілейді. Теңдеулердегі бос мүшені - 
0
n
 (numero-сан 
деген сөздің бас əрпі) х- со (cosa – нəрсе деген сөздің бас əрпі) 
2
х
-се,
3
х
-
сц 
(cubo), 
4
х
- 
се се, 
5
х
-
9
9
r
p
 (
primorelato бірінші relato) т.с.с. белгілеулер 
енгізген. Екінші белгісізді  (бізше у) Пачоли 
n
q
- quantito (мөлшер) деп атап 
0
qp
таңбалайды. Қоу р таңбасымен (plus-көп), азайту 
m
~
 (minus-аз) 
таңбасымен кескінделеді. Пачоли іс жүзінде теріс сандарды 
қарастырып,оларға да символдар енгізеді. Мысалы: «m»-«нөлден кіші» деген 
сияқты,оларды көбейту кезінде таңбалар ережесін тұжырымдайды. 
Пачолидің теріс сандарды түсіндіруіне оның қос есеп-қисап теориясын 
жасауы əсер еткен болуы керек. Мұнда бүкіл ақша операциялары «Кредит» 
(кіріс) жəне дебет (қарыс) бағаналарына жазылады. 
         Лука Пачолидың «Арифметикасында» қарастырылған есептер Леонардо 
Пизанскийдің есептерінен алынған. Ал оның «Тəңірлік пропорция туралы» 
кітабында сəулет өнерінің, математиканың «алтын қима», дұрыс 
көпбұрыштар, көпжақтар т.б мəселелері баяндалады. Кітаптағы 59 кестеден 

тұратын көпжақтарды оның досы, данышпан суретші Леонардо да Винчи 
салып береді,қарымтасына Лука Пачоли салт аттының статуясына қанша 
металл кететінін есептеп береді.  
       Алгебраны жəне алгебралық символиканы, сан ұғымын дамытуға 
айтарлықтай үлес қосқан Париж университетінің оқытушысы  (бакалабри) 
Никола Шюке болды (1500ж өлген). Оның Италия математиктерінің 
ықпалымен жазылған, «3 бөлімнен тұратын ғылым» деп аталатын трактатына 
рационал сандарға жəне иррационал түбірлерге амалдар қолдану жəне 
теңдеулер туралы ілім баяндалады. Шюке тарихта бірінші рет Шығыс елдері 
байлығын сипаттау үшін атақты Жиһангез Марко Поло (1254-1323) енгізген.   
«Миллион» (сөзбе-сөз- «үлкен мың») терминіне ұқсатып, «биллион», 
«триллион» т.с.с. «нонилонға» дейін терминдер енгізеді. 
           Шюке арифметикалық жəне геометриялық прогрессияларды 
салыстыра зерттеуді бастап, логарифмдерді ашуға да бір қадамдай жақын 
келген. Мəселен, ол 
                                                 1, 2, 3, ... , n 
                                               
n
a
a
a
a
,...,
,
,
3
2
   
арифметикалық жəне геометриялық прогрессияларды салыстыра отырып, 
төменгі прогрессиядағы екі мүшенің көбейтіндісіне жоғарыдағы 
прогрессиядағы олардың үстіндегі екі мүшесінің қосындысы сəйкес келетінін 
атап көрсетеді. Пачоли сияқты Шюке де теріс сандарға амалдар қолдану 
ережелерін келтіріп қосу жəне азайту үшін 
p
жəне 
m
 
таңбаларын енгізеді, 
m
 
таңбасы азайту амалын ғана емес,теріс сандарды білдірген. 
        Никола Шюке алгебралық символиканы едəуір кемелдендіреді. Бірақ 
оның таңбалауларында белгісіз (айнымалы) шаманы табуға арнайы таңба əлі 
де жеткіліксіз болған жəне символдардың көпшілігі сөздерді жай қысқарту 
жолымен ғана жасалған. Мəселен , 
m
3
5
  таңбасын 
3
5
−
x
өрнегін, жалпы 
m
a
k
 
таңбасы 
k
ax
−
 
өрнегін білдіреді.  Түбірді R таңбасы арқылы кескіндейді,мұнда 
R-radix түбір деген сөздің бас əрпі.  
        Біздің 
2
4
20
37
24
−
−
+
х
өрнегі Шюкенің символикасы 
бойынша
m
m
R
p
R
x
x
2
2
4
20
37
~
~
24
~
 түрінде жазылар еді. 
        Алгебраны формальды - символикалық тұрғыда дамытуда XV-XVI 
ғасырда неміс алгебрашылары (коссистер) үлкен үлес қосады. Қоса деп олар 
теңдеудегі белгіз шаманы-түбірді айтады. Олар математикалық амалдарды 
өрнектеу үшін бұрынғыдан ыңғайлырақ бірнеше символдар жүйесін жасайды 
жəне өз шығармаларында логрифм ұғымына жақын келетін идеялар айтады. 
Бұлардың ішіндегі ең көрнектісі – Адам Рейзе (1489-1559). Оның 
символикасында ең алғаш рет 
18
4
3
2
,...,
,
,
,
x
x
x
x
x
  белгісіздер дəрежелеріне ат 
қойылып, айдар тағылған. Мысалы x –radix (түбір) немесе со (зат) деп 
аталып, r арқылы белгіленеді. 
−
2
х
 Quadrat немесе zensus (таңбасы z); 
3
х
- 
cubuc (таңбасы С) т.с.с. 
          Коссистердің тнрминологиясы тек Герменияда ғана емес, Европаның 
басқа елдерінде де кеңінен таралады. 

        Алгебралық символика Италия,Гермения; Францияда қатар дамытылды. 
Бірақ əр түрлі түрде енгізілгенмен, бір мақсатқа бағытталады. Бұл процесс 
екі жүз жылдай уақытқа созылып Декарт жəне оынң ізбасарлары 
еңбектерінде негізінен аяқталады.  
        XV ғасырда Европада математиканың тригонометрия саласында да 
үлкен бетбұрыс байқалады,бұл ең əуелі қарыштап дамып келе жатқан 
астрономия зəрулілігіне байланысты болды. Əуелде Европалық 
математиктердің тригонометриялық жетістіктері араб математиктері 
еңбектеріне негізделді (əл-Баттали,Насыреддин ат-туси, т.б). 1461ж шыққан  
«Əртүрлі үшбұрыштар туралы 5 кітап» деп аталатын трактатта Европа 
ғылымы тарихында тұңғыш рет тригонометрия астрономиядан бөлініп, өз 
алдына дербес ғылым болып қалыптасады.Мұның авторы Региомонтан 
атанып кеткен көрнекті неміс математигі Йогани Мюллер (1436-1476) еді.  
        Бұл кітапта берілген элементтері бойынша жазық жəне сфералық 
үшбұрыштарды шешу мəселелері жүйелі түрде қарастырылады. Мұнда,ең 
əуелі, Региомонтан өзінен бұрынғы Шығыс математиктерінің  жолын қуып, 
сан ұғымын иррациоал сандармен кеңейтеді жəне геометриялық есептерді 
шешуге алгебра əдістерін кеңінен пайдаланады. 
       Региомонтан бұрынғы ғалымдардың тригонометриялық кестелер жасау 
туралы зерттеу жұмыстарын жалғастырып, одан əрі дамытады. Мəселен, ол 
шеңбердің радиусын 
7
10
  өлшем деп алып, əрбір  минут аралатып синустар 
кестесін жасайды. Мұнда ол 7 таңбаға дейін дұрыс мəнін табады. 
       Региомонтанның бұл трактаты тригонометрияның болашақ дамуына 
үлкен əсер етті.  
        
                 
               § 3. Үшінші жəне төртінші дəрежелі  теңдеулерді  шешу. 
    
       Орта ғасырлар заманында алгебра,алгебралық символика бойынша 
жинақталған мағлұматтар қол жеткен табыстар нəтижесінде XVI ғасырдың  
математиктері  күн тəртібіне  бұрыннан қойылған,көптен бері  табылмай келе 
жатқан  бірсыпыра ірі мəселелерді  қолға алады. Солардың бірі- үшінші жəне 
төртінші дəрежелі  теңдеулерді  шешу  үшін формулаларды  қорытып  
шығару.Омар Хаям  жəне басқа Шығыс оқымыстылары  бұл проблеманы  
шеше алмай,болашаққа аманат ретінде қалдырып кеткенін жоғарыда 
айтқанбыз.Үшінші дəрежелі теңдеуге арналған  осындай формуланы  
математика тарихында  тұңғвш рет  XVI ғасырда өмір сүрген Итальян 
математиктері Николо Тарталья (1500-1557) жəне Джироламо Кардано (1501-
1556) табылады. 
  Бұл математикалық ірі жаңалықтың қызығы мен қиындығы аралас.Ең 
алдымен Болонье университетінің профессоры Шипионе  дель Ферро  куб 
теңдеудің  мынадай:  
(
)
0
.
1
3
f
в
а
ах
х
=
+
  дербес түрін ашады да,оның өлер 
алдында  өзінің шəкірті Фиоргье ауызша айтып береді. Ол кездегі 
математикалық жаңалықтар  баспаға жария етілмейді.Əркім оны құпия ұстап 
математикалық айтыстарда  бақталастарын  жекпе- жекке  шақырып өз 

беделдерін, атақ пен мансаптарын  жұрт алдында осылай көрсететін.Осындай 
тегін даңқа  бөленгісі келген арамза Фиор ұстазынан үйренген формуланы  
пайдаланып,сол тұстағы  Итальяның аса көрнекті математигі Тартальяның 
«тас-талқанын» шығарып,оны  профессорлық орнын тартып алмақшы 
болады.Осы мақсатпен  ол Тартальяны ашық жекпе-жекке,математикалық 
сайысқа шақырады.Тарталья қабыл алады.Сайыс заңы бойынша оған 
қатысушылар  бір біріне алдын ала 30 қиын есеп беретін  кейін көпшілік 
алдында  айрықша қазының шешімі бойынша  кімнің женгені 
анықталатын.Фиор өзіне құпия санаған куб теңдеулерді шешуге есеп 
береді.Осы есептерді шешу  дайындық барасында Тарталья ол формуланы 
өздігінен  қайта ашады жəне оны жалпылау барысында  көптеген 
жетістіктерге жетеді.1535 жылы 12 февраль күні өткен  сайыста ол Фиорды 
жеңеді,Фиор Тарталья берген бірде-бір есепті шеше алмайды. 
   Даңқы бүкіл Итальяға кең жайылған Тартальяны  сол тұстағы ірі 
оқымысты,математик  жəне философ Кардано арнайы  іздеп келіп,куб  
теңдеуді  шешу формуласының  сырын ашып беруін өтінеді.Кардано оны 
өзінің  дайындап  жатқан «Ұлы өнер немесе  алгебра ережелері» атты үлкен 
еңбегіне Тартальяның атымен енгізуге ант-су ішіп  уəде  береді.Тарталья көп 
уақытқа дейін  көнбей, ақыр соңында ол формуланы  латын тілінде 25 жол 
өлеңмен  жұмбақ түрінде айтып береді.Кардано кейін ол формуланы өз 
атымен жариялап жібереді.Тарталья  алданғанын сезіп, өмір бойы  бақытсыз  
болып өткен көрінеді.Бұл деректің өтірік-шынын кім білсін,əйтеуір  куб 
теңдеуді радикал арқылы шешу формуласын қазір жоғары  алгебрада 
«Кардано формуласы» деп аталып жүргені  мəлім. 
    Тарталья  мен Ферро  
в
ах
х
=
+
3
  теңдеуін  мына əдіспен шешеді: 
b
v
u
=
−
 
жəне 
3
3






=
−
a
v
u
 жəне 
3
3
v
u
x
−
=
 шарттарын қанағаттанарлықтай u жəне v 
сандарын іздестіреді ( мұнда u жəне v, 
0
3
2
2
=






−
−
а
ву
у
 квадрат теңдеуінің   
түбірлері  болып табылады). Қорыта келгенде,  
 
                 
2
3
2
2
3
2
3
3
2
3
3
2
b
a
b
b
а
b
х
−






+






−
+






+






=
          (1)             
 
b
ax
х
n
+
=
 теңдеуін шешу үшін Тарталья   
b
v
u
=
+
, 
3
3






=
a
uv
  жəне   
3
3
v
u
x
+
=
 
шарттарын қанағаттандыратындай u  жəне v  сандарын табады. 
 
 
                 
2
3
2
2
3
2
3
3
2
3
3
2
b
a
b
b
а
b
х
+






−






+
+






−






=
          (2) 
 

 
     Алайда Тарталья куб теңдеудің барлық түрлерін қарастыра 
алмайды,өйткені ол кезде жорымал сандар ұғымы математикада жоқ еді. 
Мысалы, (2) формулада   
3
2
3
2












a
b
p
 Кардано келтірілмейтін жағдай деп 
атайды.Кардано толық куб теңдеулерді шешуді тиісті ауыстырулар арқылы 
қолайлы, яғни қарастырылған түр келтіреді.Мысалы,    
c
ax
bx
x
+
=
+
2
3
   
теңдеуін  ................ауыстыруы арқылы бұрынғы шешілген теңдеу түрлерінің 
біріне келтіреді. 
   Карданоның «Үлкен өнер»кітабында оның шəкірті Л.Феррари (1522-1565) 
ашқан төртінші дəрежелі алгебралық теңдеулерді радикал арқылы шешу 
əдəстерə келтірілген.Ол əдіс теңдеуді кубтық резольвентанға (теңдеуге) 
келтіруге,яғни дəрежесін бірге келтіруге негізделген.Бұл əдістің əдісін 
итальян математигі Д.Коллдың Карданоға берген есептен анық көрінуге 
болады, оның шешуін Феррари  тапқан. «10 санын, геометриялық прогрессия 
құрайтын жəне бастапқы,екі бөлігінің көбейтіндісі 6-ға тең болатындай ,3 
бөлікке бөлу керек» шарт бойынша  
6
:
:
6
3
х
х
х
х
=
, Мұнан  
60
36
6
2
4
=
+
+ х
х
 
төртінші дəрежелі теңдеу шығады.Бұл теңдеудің сол бөлігі толық квадрат 
болатындай етіп теңдеудің екі жағын толықтырамыз.Сонда
(
)
2
2
2
6
60
6
х
х
х
+
=
+
. 
Енді екі жағына .......өрнегін қосамызда белгісіз t-нің мəнін іздестіреміз      
(
)
(
)
2
2
2
2
2
6
2
6
60
6
t
t
x
x
x
t
х
+
+
+
+
=
+
+
  немесе ............... 
     Бұл теңдеудің оң жағының толық квадрат болу шарты оның 
дискрименанты нөльге тең болғанда орындалады.Мұны Феррари былай 
жазады   
(
)
(
)
12
6
2
30
2
2
+
×
+
=
t
t
,яғни төртінші дəрежелі теңдеуді шешу үшін 
алдымен осы кубтық резольвентаны шешу керек.Бұл Кардано формуласы 
арқылы табылады.Бұл əдіс төртінші дəрежелі теңдеулердідің барлығына 
қолданылады.Тек қана жалпы түрде берілген төртінші дəрежелі теңдеулерді 
тиісті ауыстырулар






=
+
=
y
k
x
p
y
x
,
  арқылы қарастырылып алынған түрге 
келтіру керек. 
      Үшінші жəне төртінші дəрежелі теңдеулерді радикалдар арқылы шешетін 
формуланы табу қайта өрлеу заманы математикасының үлкен жетістігі 
болды,міне осыдан бастап Европа математиктері ежелгі грек жəне орта 
ғасырлардағы араб оқымыстылары жеткен деңгейге жетіп қана 
қоймай,олардан көш үлгері кетеді.Осыдан кейін енді математиктер бесінші 
жəне одан жоғары дəрежелі теңдеулерді шешудің жалпы формулаларын іздей 
бастайды.Бұл сырт қарағанда шешілуі күмəн туғызбайтын мəселе  болғанмен 
, оның радикалдар арқылы формуласын табу оңай шаруа болмады, осы 
бағытта көп ғалымдар 300 жыл бойы зерттеулер жүргізіп, ақыр аяғында  
XIX ғасырда 
4
f
n
болғанда алгебралық теңдеулерді жалпы түрде радикал 
арқылы шешуге болмайтының дəлелдейді.Мұны анықтағандар жас 
математиктер Галуа мен Абель болды.Француз математигі Эверист Галуа 
(1811-1832) жиырмадан асқан шағында дуэлде өледіғ ал норвегтің дарынды 

оқымыстысы Нильс Генрих Абель(1802-1829) тұрмес тауқыметінің 
ауырлығынан айықпас ауруға шалығып, жиырма жеті жасында дүние 
салады.Бұлар классикалық алгебраның  сапа жөгінен жоғары сатысы  болып 
табылатын қазіргі алгебраның іргетасын қалады. 
 
 
 
 
                     §4.Жорымал шамалар.Алгебраның дамытылуы. 
                                               Бином фориуласы 
МАтематиканың тарихи даму барысында əр қырынан қойылып, түрліше 
шешімін тауып отырған ең басты мəселелердің бірі- сан ұғымын дамыту 
болды.Сан қғымын кеңейту мəселесі алгебра ғылымының өз алдында бөлініп 
дербес даму жолына түсуін күрт жеделдетті,шешуі болатые теңдеулер 
класын көбейтті, қолданыстағы сандар арсеналын байытуды, кеңейтуді талап 
етті.Алгебраға иррационалдықтың , яғни ирроцианал сандардың рационал 
сандармен тең енгізілуі  осы қажеттіліктің көрінісі екені жоғарыды 
көрсетілді. 
     Карданоның «ұлы өнер» кітабында бұл процесс тағы бір айқын көрініс 
тауып , жаңа математикалық объект- жорымал сандарды қарастыруға 
əклді.Кардано мұндай шамаларды 10-ды көбейтіндісі 40-қа тең болатындай 
екі бөлікке бөлк есебінде қарастырады.Ол былай деді: « Егер əлдекім саған 
10-ды бір біріне көбейткенде 40 шығатындай етіп, екі  бөлікке бөл десе , сен 
оның мүмкін еместігін  айтар едің.Алайда былай істеуге болады: 10-ды тең 
екіге бөлсек, 5 шығады; оны өзіне өзін көбейтсек, 25 болады.содан соң 25-тең 
екі бөліктің көбейтіндісі болатын 40-ты алу керек; сонда жоғарыда төртінші 
трауды көрсеткендей  m:15 қалады, бұдан 
x
R
  (түбір) тауып 5-ке қоссақ жəне 
5-тен алсақ, сонда бір-бірімен көбейткенде 40 шығатын бөліктер аламыз.Ол 
бөліктер мынадай болады:
15
:
:
5
m
R
p
x
  жəне  
15
:
:
5
m
R
m
x
 » 
    Қазіргі таңбалар бойынша  Карлано 
40
,
10
=
=
+
xy
у
х
 жүйесін шешіп 
,
15
5
2
/
1
−
±
=
x
 түбірлерін  табады.бірақ ол мындай шешуді  пайдасыз деп 
тауып , « жорымал» деен терминді қолданбайды, оны XVIII ғасырда ұлы 
математик Л.Эйлер  негізген.Кардано оларды « таза теріс» немесе « 
софистикалық теріс» шамалар деп атаған. 
    Жорымал сандардың ( шамалардың) қадір-қасиетін дұрыс бағалаған ең 
біріші математик Рафаэль Бомбелли ( 1526-1573) болды.Ол жорымал 
сандарды  куб теңдеуді шешудің «келтірілмейтін» жағдайын шешуге 
қолданады.Ол 1560 жылы  жазылып , 1572  жылы жарық көрген «Алгебра»  
атты еңбегінің  бірінші кітабында  жорымал жəне нақты сандарды көбейтудің   
формальды сегіз ережесін келтіріп , комплекс  сандар теориясы  бойынша 
бірінші адым жасайды.Біздің таңбалауымыз бойынша 
 
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
−
=
−
−
+
=
−
+
±
=
−
±
+
=
+
−
−
=
+
+
±
=
±
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
 
 

 Бомбелли Карданоның « софистикалық теріс сандары»  кездесетін барлық  
өрнектердің  
bi
а +
 түріне келетінін тағайындайды.  
    Куб теңдеудің шешудің «келтірілмейтін» жағдайында формуладағы 
квадрат түбір астында теріс сан жорымал шама болуына қарамастан,  үш  
нақты түбірдің болуын  түйіндес  комплекс сандардың қасиеттері  арқылы  
түсіндіреді,атап айтқанда, 
   
                                            
(
) (
)
a
bi
a
bi
a
2
=
−
+
+
 
болатынын  көрсетеді.Бұл тұжырымдарын  
4
15
3
+
=
х
х
нақты мысалы арқылы  
сипаттайды.Бомбеллидің 
q
px
х
+
=
3
  мұнда  
0
3
_
2
3
2
p












p
q
     теңдеуінің  
түбірін Кардано формуласын пайдаланып,    
 
                             
3
3
_
b
a
b
a
x
−
−
+
±
=
     түрінде жазамыз. 
 
 Егер 
v
u
b
a
−
±
=
−
±
 
деп ұйғарсақ, онда   
u
u
u
v
u
x
2
=
−
−
+
−
+
=
  Бомбелли  алгебралық 
символиканы жетілдіру  туралы  да біраз еңбек сіңірген.Ол XVI ғасырдағы  
талантты Италия алгебрашыларының ең соңғы  өкілі  болып табылады. 
    Кардонаның « Ұлы өнерінде» ( ол 40 тараудан  тұрады) тек алгебралық  
операцияларды (амалдардың)  ережелері  мен  теңдеулерді  шешу əдістері  
ғана емес,рнда алгебралық  теңдеулердің  жалпы теориясының бастамасы 
бар.Мысалы, мұнда   
0
2
3
=
+
+
+
d
cx
bx
ax
 толық  куб теңдеуін  
h
x
x
+
=
1
      
ауыстыру арқылы  белгісіздің  квадраты болмайтын түрге келтірудің  жүйелі 
əдісі  берілген.Ол трактатта  теңдеудің  түбірлері  мен коэффициенттерінің 
өзара тəуелділігі  туралы, атап айтқанда, оң жəне теріс (фиктивтік,яғни  
жалған) түбірлер  туралы,олардың қосындылары  туралы т.б  көптеген 
теоремалар бар.Мысалы, егер теңдеудің  сол жағындағы  тұрған барлық  
мүшелерінің  дəрежесі  оң жағындағы  мүшелердің  дəрежесінен үлкен болса, 
онда  теңдеудің  тек бір ғана түбірі болады.Кардано 
)
(x
P
  көпмүшесінің 
1
x
x −
     
екімүшелігіне  бөлінгіштік  белгісін көрсетеді. Мұндағы 
0
)
(
1
=
−
x
P
x
n
     
теңдеуінің түбірі. 
     Математикалық білімдердің  мазмұнының  баюы əрқашанда  
математикалық символиканың  дамуымен  тығыз байланысты,кейде тіпті 
соған байланысты.Ежелгі грек  жəне онан кейінгі  Шығыс математикасының 
əрі қарай  дамуына деген пікірдің жаны бар.Математикалақ опнрациялардың  
реалдық нақты мəнін  жетерліктей  дұрыс бейнелей алатын  математикалық 
символика, бұл ғылымды  дамытуға белсенді түрде  əсер етеді.Математика 
тарихында  белгілі дəрежеде  символдар тарихын  қоғамдық- əлеуметтік  
дамудағы  еңбек құралдарын  тарихына ұқсатуға болады. 
    Карданоның « Ұлы өнер»  кітабында  сөз жүзіндегі (риторикалық) 
алгебрадан  символикалық  алгебраға  көшу бұрынғыдан  да айқынырақ  

байқалады.Мəселен, «cubus pb rebus aegualis 20 
)
20
6
(
3
+
+ x
x
 куб теңдеуінің  
түбірі: 
                       
10
108
|
10
108
m
ucuR
mR
p
ucuR
R
x
x
x
x
       
                                             






−
−
+
3
3
10
108
10
108
  
формуласы табылады. Мұнда 
x
R
 түбір  таңбасы, сира  
radix
ucu
R
x
−
  
umiversales cubica    яғни вертикал сызыққа  дейін  орналасқан  немесе  
өрнектің  аяғана дейінгі  барлық өрнектің  жалпы куб  түбірінің  таңбасы. 
    Мұнда таңбалаулар əлі де болса бір ізге келмеген,тіпті бір кітаптың  
əшəнде бір шаманың  əр түрлі символикасы  кездесіп қалатын жайлар 
бар.Дегенмен математиканың   даму қажеттілігі,мүддесі барған сайын  
кемелденген  таңбалаулар  жүйесін  іздестіруге  игермеледі.Мысалы 
Бомбелли  белгісіз х тің  дəрежелі тізбегі үшін 1,2,3,…..символдарын 
қолданады. 
     Голландиялық  математик  жəне инженер Симон Стевин (1548-1620) бұл 
үшін (1),(2),(3),….. таңбалар  енгізеді. Екінші жəне үшінші  белгісіздер үшін  
 
   sec(1),    sec(2),    sec(3),……. 
   ter(1),    ter(2),      ter(3),……. символдарын пайдаланады. 
 
Симон Стевин Европа математикасында ең алғашқа рет екі мың жылдан бері 
қолданылып келген  алпыстық бөлшектер  орнына ұсынады.Стевин  бүтін  
санды – 0  таңбасымен,ондықты -1 таңбасымен, жүздікті-2 таңбасымен   т.с.с  
таңбалайды. Ол цифрлар мəндік цифрлардың  төбесіне  немесе  олардан  соң  
дөңгелек ішінде  орналасады.Мысалы,5,912  Стевинше  былай жазылады: 
 
0123 
5912   немесе  5(0) 9(1)1(2)2(3) 
 
XVI ғасырда Орем негізін қалаған бөлшек  көрсеткңштер туралы  ілім одан 
əрі  дамытылады.Бұл ілім дамыту XVII  ғасырдың басында логаритмдерді  
жасауға дайындық болды.Жоғарыда аты аталған Тартарья өзінің «Сандар мен 
өлшемдер туралы» жалпы трактатында  бұл жөнінде  мвнадай қорытындылар  
бар: «5-тің  4-ке  қатынасының  төрттен бірі 
x
x
R
R
 5mu  
x
R
-тің  4-ке  
қатынасына тең» ( яғни 
4
:
5
4
5 =






v
)  «5-тің  4-ке  қатынасының 
3
2
-ге  
көбейтіндісі  25-тің 
x
R
cu 10000  қатынасына тең»),яғни 
3
3
2
10000
:
25
4
5
=






  т.б 
   Неміс математигі Михаэл Штифель (1486-1567) «Жалпы арифметика» атты 
трактатында  қазіргі таңбалану бойынша  шешулері  
 

    
6
64
729
log
2
3
=
 жəне  
128
2187
log
8
27
болатын 
64
729
2
3
=






x
 жəне 
128
2187
8
27
=






x
 
теңдеулеріне эквивалент  есептерді  шешуге  тырысады. 
    Осы еңбегінде Штифель Шюкенің жолын қуып – n,….-1,0,1,….n 
арифметикалық  жəне  
 
                      
n
n
a
a
a
a
,.....
,
1
,
1
.......,
1
 
Геометриялық прогрессиялар  мүшелерін салыстырады,бірінші  прогрессия  
мүшелері үшін «көрсеткіш» (exponent) терминін енгізеді.Бұл да логарифм  
ұғымын  анықтауға  жасалған  шешуші  қадамдардың бірі еді. 
    XVI ғасырдағы Европа  математиктері  еңбектерінде 
(
)
n
в
а +
  - «Ньютон 
биномы» 
9
,.....,
5
,
4
,
3
=
n
 болған  жағдайда  сөз жүзіндегі  тұжырымы 
берілген.Кейбіреуінде n=3  үшін əдістемелік тұрғыда  қызғылықты  
геометриялық  интерпретациясы  беріледі.
(
)
3
в
а +
 кубты  екі 
3
3
,b
а
  кубтарына  
жəне үш 
b
a
2
,үш 
2
ab
 барлығы алты тік бұрышы параллелепипедтерге  
жіктейді (14-сурет) 
   Биномның  кез келген  натурал  дəрежелеу формуласы Шығыс 
математиктері Насыреддин ат-Тусидің,Жəмшид əл-Кашидің  математикалық  
трактаттарында  кездескені  айтылды.Европа  оқымыстылары бұл жөнінде де 
сол ұстаздарына  сүйенуі мүмкін. 
    Штифельдің «Толық  арифметикасында» бином  формуласының  кез 
келген натурал  көрсеткіш  үшін тұжырымы айтылып,биномиальдық  
коэффициенттерді табу  ережесі  кесте  түрінде  келтірілген.Мұнда əрбір 
элемент  өзінен  жоғары   қатарда  орналасқан  жəне  одан кейінгі  
элементтердің  қосындысы  болып  келеді. 
     
 
1 
2 
3 
3          3          
4          6 
5 
10        10 
6 
15        20 
7 
21     35       35 
8 
28        56  70 
- 
 - 
- 
 - 
- 
 - 
- 
 - 
- 
 - 
- 
 - 
   
 
 
17 136 680 2380 6188 12376 19448 243110  
Мысалы, 
(
)
4
3
2
2
3
4
4
4
6
4
b
ab
b
a
b
a
a
b
a
+
+
+
+
=
+
,  
(
)
7
6
5
2
4
2
3
4
2
5
6
7
7
7
21
35
35
21
7
b
ab
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a
b
a
+
+
+
+
+
+
=
+
. 

Тарталья  өзінің  «Сандар  мен  өлшемдер  жөніндегі»  жалпы  трактатында 
биномальдық коэффициенттер кестесін мынадай түрге келтіреді; 
1            1            1          1            1          1 
1            2            3          4            5          6  
1            3            6        10          15         21 
1            4            10       20          35        56 
1            5            15       35          70       126 
1            6           21        56           126    252 
1            7            28       84           210    462 
1            8            36       120         330    792 
Мұнда  əрбір  сан  өзінің  алдында  жəне  үстінде  орналасқан  сандардың 
қосындысы  болады,  ал  биномның  əр  түрлі  дəрежелерінің  коэффициенттері 
реттік  нөмірлері  бірдей  бағанадағы  сандарды  бірінші  қатардағы  сандармен 
қосатын диагональ бойынша орналасады. 
Мысалы, 
(
)
4
b
a +
дəрежесі  коэффициенттері  4+1=5  ші  сандарды  қосатын 
диагональда жатыр. Олар 1, 4, 6, 4, 1, яғни  
(
)
4
3
2
2
3
4
4
4
6
4
b
ab
b
a
b
a
a
b
a
+
+
+
+
=
+
. 
 
                   §5. ФРАСУА ВИЕТ ЖƏНЕ МАТЕМАТИКА 
Қайта  өрлеу  заманы  математикасының  ең  биік  шоқтығы  –  Франсуа 
Виеттің  математикалық  еңбектері.  Оның  есімімен  орта  мектеп 
математикасындағы ең бір тамаша теореманың аталуында үлкен мəн бар.  
Франсуа Виет (1540-1603). Францияның Пуату провинциясында туған. Ол 
оқыған  мамандығы  бойынша  заң  қызметкері.  Көп  жыл  өзінің  туған 
қаласында  адвокаттық  жұмыспен  айналысқан.  Алайда  Виеттің  негізгі 
мақсаты  математик  болу  еді.  Ол  астрономиядан  сабақ  бере  жүріп, 
тригонометрия 
мəселелерін 
зерттейді, 
талдайды. 
1570 
жылы 
«Математикалық канон» деп аталатын трактаты жарық көреді. 
Виет  математикасының  ең  негізгі  жетістігі  –  алгебра  саласын  ашуы.  Ол 
шын  мағынасында  жаңа  символикалық  алгебраның  негізін  жасаушы  болып 
табылады. Виет классиктерінің (Архимед, ДИофант т. б.), өзінің алдындағы 
Европа математиктерінің (Кардано, Тарталья, Бомбелли, Стевин) еңбектерін 
терең меңгере отырып, алгебраны жаңа сапаға көшіреді. 
Жаңа  алгебраның  жалпы  идеялары  мен  негізгі  принциптерін  Виет 
«Аналитикалық  өнерге  кіріспе»  атты  еңбегінде  баяндайды.  Мұндағы  оның 
мақсаты  –  бұрынғы  алгебраны  қуатты  математикалық  есептеу  құралына 
айналдыру. Ол бұл туралы былай деп жазады: «Барлық математиктер алгебра 
мен  əл-мукабалада  теңдесі  жоқ  қазына  жатқанын  білген,  бірақ  оны  таба 
алмаған; біздің алгебра өнеріміз арқылы олар өте қиын деп жүрген есептерді 
ондап шығаруға болады. Сондықтан да ол математикалық ізденістер үшін ең 
сенімді жол болып табылады». 
Виет  жалпы  алгебраны  екі  бөлікке  ажыратады;  біріншісі,  жалпы 
шамаларды  (скалярды)  қарастырады,  екіншісі,  біріншісіне  сүйене  отырып, 
сандарды  қарастырады.  Жалпы  алгебраны  ол  түрлік  логистика  (logistica 

species),  ал  екіншісін  сандық  логистика  деп  атайды  (logistica  numeralis). 
Алгебраның  бұл  екі  бөлігі  арасында  тығыз  байланыс  бар,  олардың 
заңдылықтары бір-біріне тікелей сəйкес келеді. Мəселен, сандарды көбейтуге 
өлшемдері  берілген  шамалардың  өлшемдерінің  қосындысына  тең 
болатындай жаңа шама табу сай келеді. Осындай сəйкестік арқасында түрлік 
логистика  нəтижелерін  (заңдылықтарын)  геометрия  есептеріне  де,  сандық 
логистикаға  да  бірдей  қолдану  мүмкін  болады.  Алайда  бұл  екі  алгебра  бір-
бірімен  теңбе-тең деп  айтуға  келмейді,  өйткені шамалар  (скалярлар)  жүйесі 
сандар өрісінің де, сақинасының да қасиетіне ие болмайды. 
Виет  өзінің  алгебрасында  тек  белгісіздер  үшін  ғана  емес  кез  келген,яғни 
айнымалы  шамалар  үшін  де  таңбалар  енгізеді.  Мұны  ол  бас  əріптерімен: 
дауыстылармен белгісіздерді, дауыссыздармен белгілі шамаларды белгілейді. 
Бұл  əріп  коэффиценттерін  қолданудағы  жаңалық  алгебраның  дамуындағы 
негізгі  бетбұрысқа  бастама  болды,  осыдан  кейін  барлық  алгебралық 
есептеулер,формулалар  жүйесі  оперативтік  алгоритм  түріне  көшті. 
“Коэфицент”  деген  сөздің  өзін  математикаға  бірінші  негізген  осы  Виет  еді. 
(А+В)
2
+D(А+В)  түріндегі  өрнекті  қарастыра  келіп,  А+В    мен  қосылып 
D(A+B)тіктөртбұрышын  құрайтын  D  шамасы  longitude  cofficiens,  яғни 
көмектес ұзындық деп атайды. 
 
Виеттің символикасында «+ » жəне «-» таңбалары кездеседі, көбейтінді 
in  деген  сөзбен    беріледі.  Дəрежені  көрсету  үшін  тиісті  əріпке  quadratum, 
cubus  т.б  сөздері  тіркеседі.  Мысалы,  біздің  жазуымыздағы  х
3 
-3r
2
x=r
3 
мына 
түрде  жазылады:  A  cubus  –Z  quad  rato  terin  A  aequatur  Zcubo.Мұндағы    ter 
сөзі-  үш  есе, aequatur-  тең дегенді білдіреді.  Мұнда    теңдеудің  мүшелерінің 
барлығының  бірдей  өлшемді  болып  келетіні  байқалады,  яғни  Виеттің 
алгебрасында  əлі  де  болса  ежелден  келе  жатқан  геометрия  ықпалы  күшті. 
Айрықша геомтериялық терменология енгізіледі: шаманың бірінші дəрежесі 
latis  (қабырға),  екіншісі  –  planum  (аудан),  үшіншісі  –  solidum  (дене)  т.с.с. 
Қосу жəне азайту тек бірдей өлшемді шамалар үшін қолданылады. Бұл талап 
орындалу  үшін,  яғни  өлшемді  теңестіру  үшін  ұзындықтың  бірлік  өлшеміне 
көбейтуге рұқсат етіледі. Көбейту, бөлу өлшемділікті өзгертеді. Виеттің бұл 
идеялары  сандар  мен  шамалар  арасында  математикалық  екі  мың  жыл  бойы 
қалыптасқан  айырмашылықтың  жіктелуінің  көрнісі  болды.  Сондықтан  да 
Виеттің  символикасында  геометриялық  таңбалаулармен  қосымшалар  көп 
кездеседі. Мысалы: A cubus + B planumin A
3
 aequatur  D  solido (A
3
+3BA=D). 
Қалай  болғанда  да  Виеттің  символикасы    көп  салаларын  зерттеп  шешуге 
қолданды.Бұл тұрғыда ең əуелі оның бірінші – төртінші дəрежелі теңдеулер 
теориясын  толық аналитикалық баяндауын 
Айту  керек.  Бұл  ретте  Виеттің  нəтижесін  келтірумен  шектелейік. 
«Теңдеулерді кемелдендіру» атты шығарсаында ол х
3 
+ax=2b  түріндегі куб 
теңдеуін  y
2
+xy=a  түрлендіруі арқылы  y
3
  бойынша квадрат  теңдеу болатын 
y
6
+2by
3
=a
3 
  теңдеуіне  келтіріледі.  Екіншісі  «Геометрияға  қосымша»  деп 
аталатын  еңбегінде  куб  теңдеудің  келтірілмейтін  жағдайын    бұрышты 
трисекциялау  есебіне  келтіріледі.  Егер  x
3
-px=q  теңдеуін  x
3
-3r
2
x=ar
2
1(p=3r
2
 
жəне  q=ar
2
)  түрінде  жазсақ,  онда  r>a\2    болған  жағдайда  теңдеу 

келтірілмейтін  түрге  келеді  .  cos3α=4cos
3
α-3cosα      теңбе  теңдігімен 
салыстыра  отырып,  a=2rcos3α    деп  алуға  болады.  Сонда  теңдеудің  шешуі  
x=2rcosα    болады  да  есеп  берілегн    cos3α  бойынша  cosα    табуға  келеді.  
Мысал  үшін  Виет    x
3
-3x=1    теңдеуін  шешеді:  x=2cos20,  бұдан  
cos20
0
=0.93969262. теңдеулерді шешуде Виет оның оң түбірлерін  іздестіреді.  
x=-y  түрлендіру  арқылы  ол  теріс  түбірлер  табу    мəселесін  де  қояды. 
Карданоның  зерттеулерін  дамыта  келіп,    Виет  теңдеулер  түбірлері  мен  
коэффиценттері    арасындағы  өзара    байланыс  туралы  бірсыпыра  
қорытындылар  жасайды.  Мұның  ішінде  қазір  оның  атымен  аталып  жүрген  
Виет теоремасының дербес  жағдайлары  да бар. 
 
Виет  өзінің  алгебралық  жетістіктерін    математиканың  тригонометрия   
сияқты басқа салалрына   қолдануға көп көңіл бөледі. Ол алгебралық əдісті 
қолданып,    берілегн  үш  элемент  бойынша    жазық  жəне  сфералық  
үшбұрыштың барлық элементін табады. 
 
 Виет  екі  бұрыштың  қосындысының    синусы  мен  косинусының  
формулаларын  қайталап    қолданып,  еселі  доғалардың  (бұрыштардың)  , 
тригонометриялық  функциялардың жіктелу əдəсін  табады: 
 
Sin m α= m cos
m-1
α *sinα (m(-1)(m-2)) / (1*2*3) cos
m-3
α*sin
3
α+……. 
Cos mα= Cos
m
α-
cos
m-2
α*sin
2
α+…. 
 
Виет 
көптеген 
тригонометриялық 
реккурнттік 
(қайталама) 
формулаларды білген. Мысалы, 
 
 Cosmα=2cosα*cos(m-1)α - cos(m-2) α 
Sin m α=2cosα*sin(m-1)α - sin(m-2) α 
Sin m α=-2sinα*cos(m-1)α + sin(m-2) α 
Cosmα=-2sinα*sin(m-1)α + cos(m-2) α 
 
 
 
 
Виет  еңбектерінде  алгебралық  жəне  тригонометриялық  зерттеулердің 
бірін-бірі  толықтырып  отыратын    жағдайы  жиі  кездеседі.  Бұл  тұрғыда 
мынандай    мысал  келтірейік.  1954  жылы    оқымыстыларына    сандық 
коэффицентті , 45ші жылы мынадай есепті шешуді  ұсынды: 
45x-379x
3 
+95634x
3
 -….+12300x
39
+945x
41
 
Мұнда  a=
 
Виет мұның бір шешуін тригонометрикалық жолмен бірден табады:      
а  радиусы  1-ге    тең  дөңгелекке  іштей  сызылған  бұрыштың15-  бұрыштың 
көпбұрыштың қабырғасы, яғни 24
0
 доғаның хордасы екенін біледі, сонан соң 
бірінші  жəне  ең  соңғы  мүшнеің  алдындағы  мүше  коэффиценттерін  (45) 
бойынша х -тің осы доғаның 1/45 бөлігі екенін анықтайды.  

2sin 
(n=1,2…22)    формуласы  арқылы  тағы  да  22  түбір    табады. 
Қалған  22    теріс  түбірді  ол  есепке  алмайды.  Жалпы  ол  скаляр  шамаларға 
сəйкес  келмейтін теріс,  жорамал сандарды кəдім сан  қатарына қоспаған. 
 
Трансцендентті  функцияларды    алгебралық  теңдеулерді  шешуге 
қолдану Виеттен кейін тек XIX ғасырдың екінші жартысынан  бастап  қана 
дамытылды. 
 
Виет математика тарихындағы тағы бір үлкен жетістігі – оның алғашқы 
рет шексіз көбейтінділерді қарастыруы. Ол мұндай көбейтіндіні  π санын таза 
аналитикалық  түрде кескіндеуге, өрнектеуге пайдаланған. Бұл жаңалықты ол 
«Математикалық əртүрлі сұрақтарға жауап кітабында» келтіреді. 
 
Радиусы1-ге  тең  дөңгелекке  ауданы  S
n
    болатын дұрыс бұрыш   іштей  
сызылған делік. Бұл r деп белгілейік. Сонда  S
n
:S
2n
=rz
n
:r=cos 180
0
/ n, 
n=4    болғанда    S
n
=2r
2
.  Егер  бір-  бірлеп    n=4,8.16….    деп  алып  жəне  мұнда 
шығатын    S
4
/S
8
=cos  180
0
/4,      S
8
/S
16
=cos  180
0
/8  т.с.с  теңдіктерді  өзара 
көбейтсек жəне    n⇒∞  болғанда  S
2n
-нің шегі дөңгелектің ауданы болатынын 
ескерсек, мына шексіз көбейтінді шығады. 
  
=
+
 
+
… 
Виет  бұл  шексіз  көбейтіндінің    жинақы  болатынын  қарастырмайды. 
Өйткені  іштей  сызылған  дұрыс  көпбұрыштарды  екі  еселей  бергенде  оның 
шегі дөңгелек  болатынына ешбір күмəн келтірмеген. 
 
мен  қорыта  келгенде  ,  Европада  XVI  ғасырдың  аяғына  қарай 
Виет  еңбектерінде    алгебралық  теңдеулерді    шешу  математикалық  ғылым 
ретінде  қалыптасып  болады.  Мұнда  алғашқы  төрт    дəрежелі    теңдеулерді  
шешудің əдістері жасалады, алгебралық символика  едəуір кемелденеді, күн  
тəртібіне  алгебралық    теңдеулер    теориясының  жалпы  проблемалары  
қойылып, оны шешу жолдары іздестіріле  бастайды. Тригонометрия  
 
 
астрономиядан  біржола  бөлініп,  алгебрамен    тығыз  байланысты  ғылым 
санатына қосылады. Міне, осылай екі мың жылға созылған  тұрақты шамалар 
математикасы    немесе  элементар    матемтика    дəуірі  негізінен  аяқталады. 
Əрине, оның толық шешімін таппаған  ұсақ-түйек  дербес мəселелері  кейін 
де əр түрлі зерттеу нысанасы болды, қазір де солай. 
 
XVII ғасырда математика ғылымы алдына  жаңа мəселелер , міндеттер-
мақсаттар  қойылады.  Енді  күн  тəртібіне    айнымалы  шамалар    саласындағы 
сандық қатынастар  мен кеңістік пішіндерін қарастыру, оны егжей- тегжейлі 
зерттеу проблемасы қойылады. Математика  да жаңа дəуір басталды. 
 
 
Тоғызыншы тарау 

XVII ғасырдағы математикадағы бетбұрыс. 
Аналитикалықгеометрияның тууы.Есептеу техникасы мен 
құралдарының кемелденуі. 

жүктеу/скачать 1,46 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: