«ҚОҒАМДЫ АҚПАРАТТАНДЫРУ» V ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ҒЫЛЫМИ-ПРАКТИКАЛЫҚ КОНФЕРЕНЦИЯ
14
смарт-учебник будет объединять функции: преподавателя, организатора обучения,
кроудсорсинга, системы управления обучением (Learning Management System), экспертного
сообщества и практиков
Использование смарт-образование существенно улучшит доступность, открытость и
качество образования. В результате реализации государственной программы каждый
участник образовательного процесса получит доступ к интеллектуальным ресурсам и
инструментарию открытого и качественного образования, овладеет соответствующими
компетенциями, необходимых в условиях цифровой экономики.
Список используемой литературы:
1.
http://www.edu.gov.kz/ru/strategy/strategicheskiy-plan-razvitiya-respubliki-kazahstan-do-2020-
goda.
2. http://online.zakon.kz/Document/?doc_id=33885902.
3.
https://kapital.kz/gosudarstvo/47948/biznes-privlekut-k-razvitiyu-cifrovoj-ekonomiki-
kazahstana.html.
4. http://zerde.gov.kz/ru/deyatelnost-kholdinga/gosudarstvennaya-programma-tsifrovoj-kazakhstan-
2020.
5. http://www.eg-online.ru/article/120870/.
УДК 511.215
БАЙБЕКОВ С.Н.
НОВЫЙ АЛГОРИТМ ГЕНЕРИРОВАНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
(НИИ «Казахстан инжиниринг», г. Астана, Казахстан)
Одной из главных проблем простых чисел является разработка эффективных способов
генерирования последовательности простых чисел и теста простоты любых натуральных
чисел.
Для решения этих проблем нами были предложены новая теорема и лемма, которые
имеют следующие формулировки [1], [2], [3]:
Теорема. Если числа
,
, … , , … ,
являются исходной последовательностью
простых чисел, где – их порядковый номер, то существует такое целое число , что
∗
+ 1 делится без остатка на
, где
= (
∗
∗ … ∗
)
По условию предложенной теоремы для некоторого целого числа
> 0 должны
выполняться следующие равенства:
[((
∗
∗ … ∗
)
) ∗
+ 1]
= 0 (1)
Лемма. Выражение (1) имеет место для бесконечного множества целых значений
.
При этом последовательность значений образует арифметическую прогрессию,
первый член которой находится в интервале от 0 до
, разность этой прогрессии равна
и одним из членов этой прогрессии является произведение всех составных чисел, меньших
.
Как было показано в [1], [2] и [3], если известна исходная последовательность
простых чисел
,
, … ,
, то данная теорема позволяет легко генерировать следующее
простое число
. Для этого был предложен следующий простой алгоритм. Сначала в роли
искомого простого числа
берется нечетное число, стоящее в числовом ряду после числа
. После этого перебирая , поверяем выполнение условия (1). Если при каком-то
значении параметра
0 <
<
выполняется равенство (1), то рассматриваемое число
«ҚОҒАМДЫ АҚПАРАТТАНДЫРУ» V ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ҒЫЛЫМИ-ПРАКТИКАЛЫҚ КОНФЕРЕНЦИЯ
15
является простым числом. А если при
0 <
<
равенство (1) не выполняется, то
рассматриваемое число является составным числом.
Здесь зададимся вопросом – если нам известна исходная последовательность простых
чисел, состоящая из
,
, … ,
, то допускает ли выражение (1) генерирование еще
нескольких простых чисел
,
,
...? Для решения этой проблемы, используя
методику, приведенную в [1], [2], [3], производим ряд следующих вычислений.
Сначала предположим, что нам известно только одно простое число 2. В роли
искомого простого числа берется нечетное число 3 и, перебирая значение параметра от 0
до 3, убеждаемся, что число 3 является простым числом.
Затем в роли следующего искомого простого берется нечетное число 5 и, полагая,
что нам известно только одно простое число 2 и также перебирая значение параметра от 0
до 5, также определяем, что 5 тоже является простым числом. После этого в роли
следующего простого берется нечетное число 7 и при этом, также полагая, что нам известно
только одно простое число 2 и перебирая значение параметра
от 0 до 7, определяем
выполняемость равенства (1) и т.д. В результате такого вычисления получим, что числа 3, 5 и
7 являются простыми числами, а числа 4, 6 и 8 являются составными числами. Следует
отметить, что при этом число 9 выдается как простое число, т.е. генерирование до числа 3
2
работает безупречно, а при числе 9 генерирование дает сбой.
Здесь был рассмотрен случай, когда нам был известен только одно простое число.
Теперь рассмотрим случай, когда нам изначально известны всего два простого числа.
Предположим, что нам известны только два простого числа 2 и 3. В этом случае сначала в
роли искомого следующего простого числа берется нечетное число 5 и перебирая значение
параметра от 0 до 5, определяем выполняемость равенства (1). Затем в роли следующего
искомого простого берется нечетное число 7 и, полагая, что нам известны только два
простого числа 2 и 3 и также перебирая значение параметра от 0 до 7, определяем
выполняемость равенства (1). После этого в роли следующего искомого простого берется
нечетное число 9 и при этом, также полагая, что нам известны только два простого числа 2 и
3, и перебирая значение параметра от 0 до 9, определяем выполняемость равенства (1).
После этого рассматривается число 11 и т.д. В результате такого вычисления получим, что
числа 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23 являются простыми числами, а числа 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16,
18, 20, 21, 22 и 24 являются составными числами. Следует отметить, что при этом число 25
выдается как простое число, т.е. при числе 5
2
генерирование дает сбой.
Теперь предположим, что нам известна исходная последовательность первых трех
простых чисел 2, 3 и 5. В этом случае, как в предыдущих случаях, в роли следующего
искомого простого числа берется нечетное число 7 и, перебирая значение параметра от 0
до 7, определяем выполняемость равенства (1). Затем в роли следующего искомого простого
берется нечетное число 9 и, полагая, что нам известны только три простого числа 2, 3 и 5 и
также перебирая значение параметра от 0 до 9, определяем выполняемость равенства (1) и
т.д. В результате получим, что числа 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 и 47 являются
простыми числами, а остальные числа, лежащие в интервале от 5 до 49, являются
составными числами. Отметим, что в этом случае число 49 выдается как простое число, т.е.
при числе 7
2
генерирование дает сбой.
Результаты аналогичных вычислений приведены в таблице 1. Расчет показывает, что
если нам известна исходная последовательность простых чисел
,
, … ,
, … ,
, то
предложенная теорема позволяет генерировать простые числа до
.
Например, если исходная последовательность состоит из 11 первых простых чисел (2,
3, 5, 7,…, 23, 29 и 31), то легко генерируются еще 208 простые числа, т.е. генерирование
работает безукоризненно до числа 37
2
=1369. Генерирование можно продолжить до любого
желаемого предела.
«ҚОҒАМДЫ АҚПАРАТТАНДЫРУ» V ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ҒЫЛЫМИ-ПРАКТИКАЛЫҚ КОНФЕРЕНЦИЯ
16
Из Таблицы 1 заметим, что число, при котором наступает сбой генерирования, в
точности равно квадрату простого числа, следующего за последним простым числом
исходной последовательности простых чисел.
Таблица 1
Генерирование простых чисел
n/n
Исходная последовательность
простых чисел
Дополнительно генерированные
простые числа
Сбой
генери-
рования
кол-
во
значения
1
2
3
3, 5, 7
9=3
2
2
2, 3
7
5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
25=5
2
3
2, 3, 5
12
7, 11, 13, 17, ………, 41, 43, 47
49=7
2
4
2, 3, 5, 7
26
11, 13, 17, 19, …, 107, 109, 113
121=11
2
5
2, 3, 5, 7, 11
34
13, 17,19, 23, …, 157, 163, 167
169=13
2
6
2, 3, 5, 7, 11, 13
55
17, 19, 23, 29, …, 277, 281, 283
289=17
2
7
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17
65
19, 23, 29, 31, …, 349, 353, 359
361=19
2
8
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
91
23, 29, 31, 37, …, 509, 521, 523
529=23
2
9
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
137
29, 31, 37, 41,…, 827, 829, 839
841=29
2
10
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
152
31, 37, 41, 43, …, 941, 947, 953
961=31
2
11
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31
208
37, 41, 43, …, 1327, 1361, 1367
1369=37
2
…
…
…
…
…
Данная закономерность генерирования простых чисел легко объясняется при помощи
видоизмененного решета Эратосфена.
Рассмотрим ряд натуральных чисел от 1 до бесконечности. Здесь после 1 вторым
числом является 2. Стало быть, 2 является простым числом, так как это число делится на 1 и
на самого себя. Далее все числа кратные 2 являются составными числами. Поэтому их
мысленно вычеркиваем. Здесь следует отметить, что число 1 не является простым числом,
иначе все числа, кратные 1, были бы составными числами. Забегая вперед, заметим, что не
вычеркнутые числа 3, 5, 7 являются простыми числами. Другие не вычеркнутые числа, в том
числе 9, претендуют быть простыми числами. После 2 не вычеркнутым числом является 3,
оно - простое число. Следовательно, все числа, кратные 3, являются составными числами. Их
тоже мысленно вычеркиваем. Заметим, что число 6 уже было вычеркнуто, а число 9 теперь
окажется в ряду составных чисел. Также отметим, что не вычеркнутые числа 5, 7, 11, 13, 17,
19, 23 являются простыми числами. Что касается числа 25, то оно после рассмотрения числа
5 переходит в ряды составных чисел. При этом числа 29, 31, 37, 41, 43, 47, которые остались
не вычеркнутыми, являются простыми числами. Если рассмотрим число 49, то оно при
повторении вышеприведенной процедуры с числом 7 переходит в ряды составных чисел.
Далее продолжая процедуру с числами 11, 13 и т.д. и принимая во внимание «изотропию»
числовой оси убеждаемся в правильности вышесказанного вывода о том, что предел
генерирования в точности совпадает с квадратом простого числа, стоящего за последним
простым числом исходной последовательности. Одним словом, если известна исходная
последовательность простых чисел
,
, …,
, то легко можно генерировать простые
числа не только до
, но даже в интервале от
до
. Это показано в рис.1. В этом
случае число
способствует генерированию простых чисел в интервале порядковым
номером n, длина этого интервала равна ∆
=
−
.
«ҚОҒАМДЫ АҚПАРАТТАНДЫРУ» V ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ҒЫЛЫМИ-ПРАКТИКАЛЫҚ КОНФЕРЕНЦИЯ
17
Рисунок 1 - Генерирование простых чисел, находящихся в интервале от
p до p
.
Из этого утверждения следует следующий простой алгоритм, при помощи которого
еще многократно быстрее можно генерировать простые числа (рис.2). Предположим, что нам
известно только одно простое число 2.
1 цикл.
= 2. Генерируются простые числа до
= 3 = 9. В этом цикле формула
(1) преобразуется в следующий вид:
(
2
3) ∗
+ 1
= (2 + 1)
= 0,
где
− искомое простое число с порядковым номером >1
2 цикл. После первого цикла, зная последовательность уже генерированных простых
чисел 2, 3, 5 и 7, генерируем простые числа до
= 11 = 121. Заметим, что в этом цикле
генерирование начинается с простого числа 7 и продолжается до квадрата простого числа 11.
Формула (1) в данном цикле преобразуется в вид:
(((2 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 7)
) ∗ + 1)
=
= (210
) + 1
= 0 , где > 4
3 цикл. После второго цикла последовательность уже генерированных чисел состоит
из 30 простых чисел: 2, 3, 5,…, 107, 109 и 113. В третьем цикле вычисление произведения
этих 30-ти чисел по формуле (1) приводит к очень громадным числам. Поэтому для
нахождения модуля используется следующий простой метод, например:
(((2 ∗ 3 ∗ … ∗ 109 ∗ 113)
) ∗ + 1)
=
(((2 ∗ 3 ∗ … )
) ∗ … ∗
)
) ∗ … ∗ 109 ∗ 113)
) ∗
+ 1)
= 0
Генерирование, которое начинается с числа 113, продолжается до квадрата числа 127,
т.е. до числа
= 127 = 16 129. В результате дополнительно генерируются еще 1847
простые числа.
Рисунок 2 - Схема генерирования простых чисел по интервалам
2
7
11
2
=121
6x10
16
I-цикл
II-цикл
III-цикл
IV -цикл
V-цикл
113
16127
16139
2
=260467321
127
2
=16129
3
2
=9
p p
n
+
p
n
+
p
n
+
p
n
2
p
2
n
+
1
p
2
n
+
2
p
2
n+3
p
2
n
+
4
p
1 .
p
2
,…,
p
1 .
p
2
,…,
p
n
+1
p
1 .
p
2
,…,
p
n
+2
p
1 .
p
2
,…,
p
n
+3
p
«ҚОҒАМДЫ АҚПАРАТТАНДЫРУ» V ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ҒЫЛЫМИ-ПРАКТИКАЛЫҚ КОНФЕРЕНЦИЯ
18
4 цикл. В этом цикле, который начинается с числа 16127, простые числа аналогичным
образом генерируются до числа 16139
2
= 260 467 321.
В пятом цикле генерирование доходит до числа
∼6х10
16
и т.д.
Как видно генерирование простых чисел при помощи указанного алгоритма позволяет
обойтись без вычисления факториалов и степенных значений. Все расчеты производятся с
небольшими числами, а это в обязательном порядке существенно облегчает и значительно
увеличивает быстродействие и эффективность генерирования простых чисел.
Также заметим, что приведенный выше алгоритм генерирования простых чисел без
особого труда можно использовать для теста простоты любого числа.
Список используемой литературы:
1. С.Н.Байбеков, Разработка нового метода генерирования простых чисел. Вестник
Евразийского университета имени Л.Н.Гумилева, №4, 2015, стр. 14-21.
2. S.N.Baibekov, S.A.Altynbek, Development of New Method for Generating Prime Numbers,
Natural Science, 2015, 7, 416-423.
3. С.Н.Байбеков, Алгоритмы генерирования простых чисел и теста простоты. Поиск, №1,
2016, стр.196-202.
UDC 004
PIRKKO KOURI
1
, HALIMAA SIRKKA-LIISA
1
, ARTO TOPPINEN
2
STUDENTS' EXPERIENCES IN A MULTIDISCIPLINARY TEAMTEACHING
(
1,2
PhD, Senior Lecturer, University of Applied Sciences Savonia, Kuopio, Finland,
3
MSc, Senior Lecturer, University of Applied Sciences Savonia, Kuopio, Finland)
Introduction
Professional Master (Master's degree) exam has established its place in education and in the
working life. Education leading to a degree is designed for the development of adult skills and
labor market needs. Master's studies provide skills to acquisition of research knowledge in applying
in their own work and its development at their own field of knowledge. Usually the training is
carried out in multiform studies. According to Workplace Development Strategy until 2020
(2014), a skilled workforce responds to changes in work and learn new skills throughout their
working lives (MEE 2012).
University of Applied Sciences (UAS) role in the early stages of Bachelor teaching and the
way of working was created at the same time, when the Master level education was built. There
was not any ready model. (Mällinen 2007). According to research, the changes in workplaces and
in the environment are clearly visible in university actions and also affects teachers' work
(Laukkanen et al by 2015, Lepänjuuri & Nurminen, 2015.). Over the years, the teacher's job
description has been changed by curriculum development and increased project activities, flexible
teaching methods and the growing need of internationalization, as well as the rapid digitalisation.
(Laukkanen et al. 2015 Lake Side & Alasoini 2012, Mällinen 2007 Auvinen 2004). According to
Jämsä (2014), the changes in the world of work create pressure for the development of education. In
particular, we need more the integration of education and working life cooperation. According to
Koivisto et al. (2015), the large-scale integration means that Master's students, the labor market
developers and other contributors and teachers form a multi-disciplinary research and development
group (RDI). By doing so at the same time we achieve the goals for Master's training objectives of
«ҚОҒАМДЫ АҚПАРАТТАНДЫРУ» V ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ҒЫЛЫМИ-ПРАКТИКАЛЫҚ КОНФЕРЕНЦИЯ
19
RDI and the development of students' managerial and RDI skills and common development of the
business area.
The OIS, Open Innovation Space model is close to the working life and and is parallel to
the CDIO (conceive, Design, Implement, Operate) model was introduced five years ago in Savonia
University of Applied Sciences. OIS means Open Innovation Space, an approach that is applied for
multi-operator community to support learning environments. The polytechnic staff is in close
dialogue with the world of worklife. Students together with teachers and other experts are solving
authentic working life development tasks. Learning through common tasks are communal and
encounter with actors from different sectors to provide new information needs of working life. OIS
model requires the development of polytechnic pedagogy (Vidgrén & Rissanen, 2013). The OIS is
used in paralle with the CDIO in engineering. CDIO structures and schedules the project work
well carried with companies.
In 2015, the team organization was taken in use parallel with the team teaching model. All
Master's students study common subjects were carried out in teacher teams in various fields and
they designed, implemented and evaluated the course. In teacher team collaboration expertise in
various fields, as well as relevant aspects to learn how to expand students learning are taking on
new dimensions. (Izberk-Bilgin et al. 2012) In the team, the teacher must also be active, learn new
ways to act and the objectives envisaged by the group (Tervaoja 2014, Leavitt 2006). The students
learning is composed of complementary knowledge from different sectors. Also, participation of
working life and the business community deepens students' learning. (Nurmi et al. 2009, Leavitt
2006)
Multidisciplinary teaching of a class is suitable for both traditional and e-learning (Haikonen &
Puttonen 2016). According to Mäntylä (2015), the future of work associated with globalization and
often decentralized work, which challenges the understanding of different cultures and working
grips. In the future, the work requires good planning skills. The teacher must remain "awake" and
be willing to change (Lepänjuuri & Nurminen 2015). Interaction, cooperation and networking, as
well as the digital expertise will increase more relevant role in working life from a new
perspective: the interaction skills challenges and opportunities emerging technological solutions,
which can be used to operate in the personal and close to other people way. (EK 2011). Nurmi et al.
(2009) says that in particular managers play a key role in creating conditions of employment and
adequate resources, prioritizing, and prestige among internal motivation. Teachers within
teamteaching requires good co - operation and interaction skills, a willingness to act, to share their
own knowledge and experiences. Bachelor's training has been designed in co-operation with the
working life. There are indications that the course-specific multi-disciplinary teaching carried out
teamteaching falls far short of the labor market. (Koivisto et al. 2015, Nurmi et al. 2009).
The purpose of this study is to describe the Master's students' experiences of a
multidisciplinary teamteaching and its implementation, as well as to gather development challenges
related to studies. This article reports the results of two mutually supportive query. Master's
students answered two Webropol survey, one of which was narrower (I poll) and the second survey
was wider. (II poll)
Достарыңызбен бөлісу: |