Алматы 2017 январь



Pdf көрінісі
бет74/92
Дата03.03.2017
өлшемі28,19 Mb.
#7549
1   ...   70   71   72   73   74   75   76   77   ...   92

H

 – пространство значений процесса 

 





,  

x t

t

T

 и 



 

0

x



T

H

– замкнутое подпространство в 



x

H

являющееся 



замыканием 

в 

x



H

 

линейной 



оболочки 

случайных 

величин 

(векторов) 

 

i

x t



0

,  


1,

,

i



t

T

i

N

 



.    Задача  линейного  прогнозирования  состоит  в  нахождении  величин 

 


ˆy t

,  являющихся  проекциями  неизвестных  значений 



 

x t

  как  элементов  из



x

H

  на 


подпространство 

 


0

x

T

H

.  


 



 Физика–математика ғылымдары 

 

445 



                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

  3. Стационарные временные  ряды.  Пусть случайный процесс  определяется как семейство 



случайных  величин 

 


,  



x t

t

T

,  что  для  каждого  набора 



1

,

,



n

t

t

  значений 



t

T

  имеется 



совместная функция распределения случайных величин 

 


 

1

,



,

n

x t

x t

.  



  Будем представлять себе переменную 

t

 временем, 



T

  считать подмножеством вещественной 

оси.  Так,  в  некоторых  случаях 

T

  может  состоять  из  точек  арифметической  прогрессии.  В  этих 

случаях можно выбрать единицу времени таким образом, чтобы 

, 1,  0,   1,





. Эти выборки 



образованы  значениями 

 


x t

  в  моменты 

1,

n



  как 


,  

1,

,  



1

n h n h

n

 



.  Для  нашей  задачи 



произвольный случайный процесс  

 


,  



x t

t

T

  оказывается  слишком  общим  объектом, чтобы  его 



можно  было  достаточно  хорошо  изучать.  Мы  ограничимся  стационарными  процессами  или 

стационарными временными рядами. Имеется два важных, для нашей задачи, типа таких процессов.  



Стационарный в узком смысле процесс определяется тем свойством, что случайная величина  

 

   



 

 


 



1

,

,



n

x t

x t

                                                                 (4) 



 

при любых 

1

,

,



n

t

t

 и произвольном



h

 распределена одинаково с величиной  

 







1

,



,

n

x t

h

x t

h



.                                                            (5) 

 

Следовательно, распределение величины (4) зависит только от разностей 



 

2

1



3

2

1



,  

,  


 ,  

n

n

t

t

t

t

t

t





.                                                          (6) 

 

Справедливо  



Утверждение 1. Если 

 


,  



x t

t

T



 – стационарный в узком смысле процесс и 

 





x t

 


E



то 

 


const



x t



E



при всех 

t

.  

Некоторые  из  наиболее  полезных  результатов  о  временных  рядах  верны  без  предположения  о 

стационарности процесса в узком смысле при следующих более слабых условиях: 1) 

 


0



x t



E

; 2) 

матрица ковариаций величин (5) не зависит от 



h

. Процессы

 





,  

x t

t

T

удовлетворяющие эти двум 



условиям,  называются  стационарными  в  широком  смысле.Это  означает,  что  матрица  ковариаций 

зависит только от разностей (6) и, следовательно, ковариация 



x t



h

 и 



 

x t

 (считать 

 





0

x t



E

)  

оказывается функцией только 



h

:  


 

 



  



 

 

x t



h x t

h



E

.                                                       (7) 

 

Рассматриваемая  как  функция 



h

 



h

  называется  функцией  ковариаций  процесса 

 





,  

x t

t

T



иногда 

её 


называют 

ковариацией 

с 

запаздыванием 

аргумента 

или 


автоковариацией  с  запаздыванием.  Коэффициент  корреляции  между 



x t

h

  и 



 

x t

  равен 


 

 


 

/

0



h

h







Рассматриваемый 

как 


функция 

h

 



h

называется 



сериальным 

коэффициентом корреляции процесса.Справедливо  

Утверждение  2.  Стационарный  в  узком  смысле  процесс  с  конечной  матрицей  ковариаций 

стационарен также в широком смысле.  

 

 


 



 Физика–математика ғылымдары 

 

446 



                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

4 Спектральная функция стационарного процесса 

4.1 Частный случай. Если рассматривать только два первых момента стационарного процесса, 

то  для  описания  процесса  достаточно  функции  ковариаций 

 

h

.  Покажем,  что  сама  функция 

ковариаций может быть выражена через спектральную функцию процесса. Рассмотрим сначала связь 

между функцией ковариаций и спектральной функцией для стационарного (вещественного) процесса:  

 

 

 



1



cos

,   


,   1,  0,   1,

,

r



p

p

p

p

x t

a

t

u

t







                                      (8) 

 

где 


1

,  


,  

r

a

a

  –  вещественные  постоянные, 



1

,  


,  

r



  –  числа  из  интервала 



,  







которые  можно  считать  упорядоченными: 

1

r





1



,  

,  


r

u

u

  –  независимые  случайные 



величины,  каждая  из  которых  равномерно  распределена  на 



,  





.  Легко  доказать,  что 

совместное распределение величин  

 

 


1



,

,

n



x t

x t

 такое же, как 







1

,

,



n

x t

h

x t

h



, то есть 

процесс (8) стационарен в узком смысле. Также легко проверяется что при всех 

t

 для процесса (8)  

 

   


 



1



cos

r

p

p

p

p

x t

a

t

u





E



E

.                                                     (9) 

 

Для функции ковариаций  



 

  



 



h

x t

h x t



E

 имеем 


 

 







1



cos

  cos


r

p

q

p

p

q

q

p q

t

s

a a

s

u

t

u











E

.                                 (10) 

 

Но 






cos

  cos


0,   

p

p

q

q

s

u

t

u

q

p







E

. Пользуясь тем, что при

q

p

 











1

1

cos



cos

cos


2

cos


2

2

p



p

q

q

p

p

p

s

u

t

u

s t

u

s t











 находим  



 







1



cos

  cos


cos

2

p



p

p

p

p

s

u

t

u

s t









E

.  

Следовательно, полагая 



t

s

h

 


, будем иметь 

 

 



 



 



2

1

1



cos

cos


2

r

p

p

p

h

a

h

h

dF















,                                    (11) 



 

где 


 

F

 – неубывающая ступенчатая функция на



,  







, определяемая как  

 

 



 

2

1



2

p

p

F

a







.                                                                (12) 

 

В  конечных  точках  интервала 



,  







0



F



  и 



 

0

F







 


F

  –  называется 

спектральной  функцией,  отвечающей  функции  ковариаций 

 


h

  из  (11).  Выражение 

 





 

cos


h

h

dF











 называется также спектральным представлением 



 

h

.  


 

 



 Физика–математика ғылымдары 

 

447 



                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

4. 2 Общий случай. Пусть теперь  

 

 



 

,  


,   1,  0,  1,  

x t



  –                                                     (13) 



 

произвольный  вещественный  стационарный  процесс  с 

 





0

x t



E

  и  функцией  ковариаций 

 


h

. Для такого процесса 



 



h

h





. Теперь для этого случая определим функцию ковариаций 

 


h

.  Для любого целого 



M

определим функцию 

 

M

F

на



,  






 следующим образом:  

 


 

 


2



1

1 cos( )


cos( )

M

F

x

x M

d

M



















E

 





1



1

(

) cos



cos

M

p q

p

q

p

q

d

M

















                                               (14) 















 



1

1

sin



sin

sin


cos

0

1



(0)

2

2



2

2

M



M

p q

p

p

q

p q

p

p

M

p q

M

p

q

p q

p















 

 






















 Функция 

 


M

F

  не  убывает  на



,  









0

M

F



  и 



 

0

M



F





.  При 

 

 


M

F

 

сходится к неубывающей функции 



 

F

 с  


0



F



 и 



 

0

F







  Так  как 



 



h

h





,  достаточно  рассматривать  только  неотрицательные  значения 

h

  и, 


легко показать, что при

0,  1,  2,  



 



 

 


 



cos

h

h

dF











.                                                         (15) 



 

Используя  симметричность  приращений 

 

F

и  функции 



cos h



относительно 

0

 

,  (15) 


можно записать в виде  

 

 



 



0

2

cos



h

h

dF









.                                                       (16) 

 

 


F

называется 



спектральной 

функцией 

стационарного 

процесса 

 


x t

Если 



 

F

абсолютно  непрерывна  и 

 

f

  –  её  производная,  то 

 

f

называют  спектральной 



плотностью процесса. Из полученного результата следует 

Утверждение  3.  Если

 


,  

,   1,  0,  1,  



x t





–  вещественный  стационарный  процесс  с 

 





0

x t




Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   70   71   72   73   74   75   76   77   ...   92




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет