H
– пространство значений процесса
,
x t
t
T
и
0
x
T
H
– замкнутое подпространство в
x
H
,
являющееся
замыканием
в
x
H
линейной
оболочки
случайных
величин
(векторов)
i
x t
0
,
1,
,
i
t
T
i
N
. Задача линейного прогнозирования состоит в нахождении величин
ˆy t
, являющихся проекциями неизвестных значений
x t
как элементов из
x
H
на
подпространство
0
x
T
H
.
●
Физика–математика ғылымдары
445
№1 2017 Вестник КазНИТУ
3. Стационарные временные ряды. Пусть случайный процесс определяется как семейство
случайных величин
,
x t
t
T
, что для каждого набора
1
,
,
n
t
t
значений
t
T
имеется
совместная функция распределения случайных величин
1
,
,
n
x t
x t
.
Будем представлять себе переменную
t
временем,
T
считать подмножеством вещественной
оси. Так, в некоторых случаях
T
может состоять из точек арифметической прогрессии. В этих
случаях можно выбрать единицу времени таким образом, чтобы
, 1, 0, 1,
T
. Эти выборки
образованы значениями
x t
в моменты
1,
, n
как
,
1,
,
1
n h n h
n
. Для нашей задачи
произвольный случайный процесс
,
x t
t
T
оказывается слишком общим объектом, чтобы его
можно было достаточно хорошо изучать. Мы ограничимся стационарными процессами или
стационарными временными рядами. Имеется два важных, для нашей задачи, типа таких процессов.
Стационарный в узком смысле процесс определяется тем свойством, что случайная величина
1
,
,
n
x t
x t
(4)
при любых
1
,
,
n
t
t
и произвольном
h
распределена одинаково с величиной
1
,
,
n
x t
h
x t
h
. (5)
Следовательно, распределение величины (4) зависит только от разностей
2
1
3
2
1
,
,
,
n
n
t
t
t
t
t
t
. (6)
Справедливо
Утверждение 1. Если
,
x t
t
T
– стационарный в узком смысле процесс и
x t
E
,
то
const
x t
E
при всех
t
.
Некоторые из наиболее полезных результатов о временных рядах верны без предположения о
стационарности процесса в узком смысле при следующих более слабых условиях: 1)
0
x t
E
; 2)
матрица ковариаций величин (5) не зависит от
h
. Процессы
,
x t
t
T
удовлетворяющие эти двум
условиям, называются стационарными в широком смысле.Это означает, что матрица ковариаций
зависит только от разностей (6) и, следовательно, ковариация
x t
h
и
x t
(считать
0
x t
E
)
оказывается функцией только
h
:
x t
h x t
h
E
. (7)
Рассматриваемая как функция
h
,
h
называется функцией ковариаций процесса
,
x t
t
T
;
иногда
её
называют
ковариацией
с
запаздыванием
аргумента
или
автоковариацией с запаздыванием. Коэффициент корреляции между
x t
h
и
x t
равен
/
0
h
h
.
Рассматриваемый
как
функция
h
,
h
называется
сериальным
коэффициентом корреляции процесса.Справедливо
Утверждение 2. Стационарный в узком смысле процесс с конечной матрицей ковариаций
стационарен также в широком смысле.
●
Физика–математика ғылымдары
446
№1 2017 Вестник КазНИТУ
4 Спектральная функция стационарного процесса
4.1 Частный случай. Если рассматривать только два первых момента стационарного процесса,
то для описания процесса достаточно функции ковариаций
h
. Покажем, что сама функция
ковариаций может быть выражена через спектральную функцию процесса. Рассмотрим сначала связь
между функцией ковариаций и спектральной функцией для стационарного (вещественного) процесса:
1
cos
,
, 1, 0, 1,
,
r
p
p
p
p
x t
a
t
u
t
(8)
где
1
,
,
r
a
a
– вещественные постоянные,
1
,
,
r
– числа из интервала
,
,
которые можно считать упорядоченными:
1
r
,
1
,
,
r
u
u
– независимые случайные
величины, каждая из которых равномерно распределена на
,
. Легко доказать, что
совместное распределение величин
1
,
,
n
x t
x t
такое же, как
1
,
,
n
x t
h
x t
h
, то есть
процесс (8) стационарен в узком смысле. Также легко проверяется что при всех
t
для процесса (8)
1
cos
r
p
p
p
p
x t
a
t
u
E
E
. (9)
Для функции ковариаций
h
x t
h x t
E
имеем
,
1
cos
cos
r
p
q
p
p
q
q
p q
t
s
a a
s
u
t
u
E
. (10)
Но
cos
cos
0,
p
p
q
q
s
u
t
u
q
p
E
. Пользуясь тем, что при
q
p
1
1
cos
cos
cos
2
cos
2
2
p
p
q
q
p
p
p
s
u
t
u
s t
u
s t
находим
1
cos
cos
cos
2
p
p
p
p
p
s
u
t
u
s t
E
.
Следовательно, полагая
t
s
h
, будем иметь
2
1
1
cos
cos
2
r
p
p
p
h
a
h
h
dF
, (11)
где
F
– неубывающая ступенчатая функция на
,
, определяемая как
2
1
2
p
p
F
a
. (12)
В конечных точках интервала
,
0
F
и
0
F
.
F
– называется
спектральной функцией, отвечающей функции ковариаций
h
из (11). Выражение
cos
h
h
dF
называется также спектральным представлением
h
.
●
Физика–математика ғылымдары
447
№1 2017 Вестник КазНИТУ
4. 2 Общий случай. Пусть теперь
,
, 1, 0, 1,
x t
t
– (13)
произвольный вещественный стационарный процесс с
0
x t
E
и функцией ковариаций
h
. Для такого процесса
h
h
. Теперь для этого случая определим функцию ковариаций
h
. Для любого целого
M
определим функцию
M
F
на
,
следующим образом:
2
1
1 cos( )
cos( )
M
F
x
x M
d
M
E
,
1
1
(
) cos
cos
M
p q
p
q
p
q
d
M
(14)
1
1
sin
sin
sin
cos
0
1
(0)
2
2
2
2
M
M
p q
p
p
q
p q
p
p
M
p q
M
p
q
p q
p
Функция
M
F
не убывает на
,
,
0
M
F
и
0
M
F
. При
M
M
F
сходится к неубывающей функции
F
с
0
F
и
0
F
.
Так как
h
h
, достаточно рассматривать только неотрицательные значения
h
и,
легко показать, что при
0, 1, 2,
h
cos
h
h
dF
. (15)
Используя симметричность приращений
F
и функции
cos h
относительно
0
, (15)
можно записать в виде
0
2
cos
h
h
dF
. (16)
F
называется
спектральной
функцией
стационарного
процесса
x t
.
Если
F
абсолютно непрерывна и
f
– её производная, то
f
называют спектральной
плотностью процесса. Из полученного результата следует
Утверждение 3. Если
,
, 1, 0, 1,
x t
t
– вещественный стационарный процесс с
0
x t
Достарыңызбен бөлісу: |