Кафедра отырысында қарастырылды 20 ж
Аныктама. (132) теңцеу параболаның канондық тендеуі деп аталады. Аныктама
жүктеу/скачать 0,88 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 1-аныктама.
- 1-теорема.
- 2-теорема.
- Дәріс мазмұны
- Анықтама.
- 2-салдар.
- Негізгі әдебиет
- X = Х0 + II, у = у^ШЧеК (175) 2 = 20+ ПІ
Аныктама. (132) теңцеу параболаның канондық тендеуі деп аталады. Аныктама. Параболаның фокусынан директрисасына дейінгі қашықтығы р(ғ,сі) саны параболаның параметрі деп аталады.
нүктеден қашықтықтарының қосындысы түрақты 2а санына тең жазықтық ! нүктелерінің жиынын эллипс деп атайды. Эллипс тендеуін арнайы тандап алынған декарттық тік бүрышты координаталар жүйесінде табайық. Жазықтықта эллипс фокустарын Ғх және Ғ2 арқьшы белгілейік. Ғх және Ғ2 нүктелері арқьшы Ғх Ғ2 түзуін жүргізіп, оң бағытты Ғх -ден Ғ2 -ге қарай бағытпен белгілейік. Сөйтіп, Ғх Ғ2 түзуін х өсі деп аламыз. Ғх Ғ2 кесіндісін қақ бөліп, оның ортасы арқылы х өсіне перпендикуляр у өсін жүргіземіз де оң бағытты төменнен жоғары қарай белгілейміз (60-сурет). Бүл арнайы тандап алынған координаталар жүйесінде фокустар координаталары Ғх(-с,0), Ғ2(с,0) болады.
= гх, |Ғ2М| = г2 болсьш. Эллипстің анықтамасы бойынша гх + г2 = 2а, мүңдағы
16 Соңда Алдымен бірінші түбірден қүтылу үшін, екінші түбірді тендіктің оң жағына шығарып, теңдіктің екі жағын да квадрат дәрежеге шығарамыз, сонда
Бүдан, жақшаларды ашып, үқсас мүшелерін жинап және тендіктің екі жағын да 4-ке қысқартқаннан кейін:
тендігі шығады. Бүл теңдіктің екі жағын тағы бір рет квадраттап, сәйкес түрлендірулер жүргізгеннен кейін (141)
теңдігін аламыз. ҒХМҒ2 үшбүрышынан |^Л/| + |А//^| > ^/^| болғандықтан, эллипстің м(х,у) нүктесі үшін 2а>2с болады. Демек,Сондықтан, (*) арқылы белгілейміз. Сонда (141) теңдеу былай жазылады: , немесе бүл тендеудің екі жағын да а2ь2 Ф О бөлсек, оңда (142) теңдеуіншығарып аламыз. Сонымен эллипстің кез келген м(х,у) иүктесі үшін (142) тендеу орындалады.
аталады. 2-аныктама. Егер М эллипс нүктесі болса, онда ҒХМ жөне Ғ2М кесінділері М нүктесінің фокустық радиустері деп аталады. Эллипстің М нүктесінің фокустық радиустерін (144) жөне (145) формулаларды пайдаланып, есептеп шығарамыз.
фокустары ара 17
қашықтығының үлкен өсі үзындығына қатынасына тең санды атайды және оны е арқылы белгілейді. Сонда анықтама бойынша
р(4,Л2)
болғаңдықтан, эллипс
эксцешриситеті бірден кіші болады, яғни е<і. Шеңбер үшін р(ғ,,Ғ2)=0 болғандықтан, оның эксцентритеті нөлге тең болады.
тендігін ескеріп, (147) тендікті былай жазамыз: Аныктама. Фокустары деп аталатын берілген екі нүктеден қашықтықтары мйырымының модулі (абсолют шамасы) гүрақты 2а санына тең жазықтық нүктелерінің жиыны гипербола деп аталады. Гиперболаның теңдеуін эллипс геңдеуін тауъш алғандағы сияқты арнайы гаңцап алынған декарттық тік бүрышты координаталар жүйесінде тауып аламыз. Ол үшін жазықтықтағы
нүктеге қарай бағыттаймыз. Бүл өсті абсцисса деп аламыз. Іпді ҒХҒ2 кесіндісін қақ бөліп, оның ортасы о нүктесі арқылы, аСхщисса өсіне перпендикуляр, бағыты төменнен жоғары бағытталған ордината өсін аламыз. Гипербола өзінің канондық тендеуі арқьшы берілген дейік, яғни
(152) 18 Аныктама. Гиперболаның симметрия өстерімен қиьшысу нүктелері (>і і ың төбелері деп аталады. Гипербола бірінші симметрия өсімен (яғни абсцисса өсімен) Ах (- а,0) көне
А2(а,0) нүктелерінде қиьшысады. Олар
гиперболаның нақты юбелері деп аталады. Гиперболаның нақты осінің үзындығы 2а-ға ГСҢ, ал а саны оның нақты жарты осі деп аталады. Гипербола екінші I пмметрия осімен (яғни ордината осімен) қиьшыспайды: Вх(0,-Ь) және /»,((),һ) нүктелері оның жорамал тобелері. 2Ь саны — жорамал осі ү іындығы, ал в саны жорамал жарты осі деп аталады. Гиперболаның /',(~с,о) және Ғ2(с,0) фокустары оның нақты осінде
жатады. с>а. болғандықтан, координаталар бас нүктесінен қарағанда Ғх және Ғ2 фокустары гиперболаның сәйкес төбелері Ах және А2 нүктелерінен әрі орналасқан.
Гиперболаның фокустары ара
қашықтығының нақты (фокустық) өсіне қатынасы оның эксцентриситеті деп атальш, £ арқылы белгіленеді. Сонымен анықтама бойынша,
Негізгі әдебиет: [1]. Қосымша әдебиет: [1]. 1.6 дәріс. Екінші ретті сызықтардың жалпы теориясы. Дәріс мазмұны: Екінші ретті сызықтардың жалпы теңдеу, оны түрлендіру. Екінші ретті сызықтық центрі, центрлік сызықтық теңдеуі, оны зерттеу. Центрлік сызықтық бас диаметрлері, екінші ретті центрлік сызықтық графигін салу. Екінші ретті центрсіз сызықтық теңдеуі. Екінші сызықтық диаметрлер. Параболаның, эллипстің және гиперболаның канондық іічідеулерінен олардың екінші ретті сызықтар екенін көрдік. Жазықтықта кез келген екінші ретті сызықтың нені көрсететінін .иіиқтау үшін, екінші ретті сызықтардың кез келген 19 декарттық тік і »\ рышты координаталар жүйесінде өз аттарын сақтап қалатындығын -1 керіп,
оларды түрлендірумен (координаталар жүйесін параллель кпшіру мен белгілі бүрышқа бүру) айналысамыз. Кез келген екінші ретті сызық берілсін
(163) -дағы Бүл теңцеуді координаталар жүйесін әзірше белгісіз ос бүрышына бүру арқылы түрлендіреміз, мүндағы бүрынғы х,у координаталары мен жаңа Х,Ү координаталары арасындағы байланыс бізге белгілі (66) формулалары арқылы беріледі, яғни
(164) Сонда
Мүндағытеңдігін тексеру қиынға соқпайды.
Координаталарды бүратын ос бүрышын ХҮ көбейтіндісінің коэффициенті В нөлге тең болатыңдай етіп тауып аламыз. Шынында да,
егер
болса, мүндағы в * 0. Бүл ескертудің нәтижесінде в = 0 Деп санауға болады. Сондықтан, бүдан былай (165) мүндағы теңдеуін қарастырамыз. Теорема. Жазықтықтағы кез келген екінші ретті сызық немесе шеңбер, немесе эллипс, немесе гипербола, немесе парабола, немесе түзулер пары (оның ішінде біріккен түзулер де), немесе бір нүкте, немесе қүр жиын болып табылады. Негізгі әдебиет: [1]. Қосымша әдебиет: [1]. 20
Дәріс мазмұны: Векторларды қосу және салу. Векторды скалярға көбейту. Бірлік векторлар. Векторды үш оське жіктеу. Үш вектордың бір жазықтыққа жату шарты. Кеңістіктегі екі нүктенің арасындағы қашықтық. Үшбұрыштың ауданы.
Кесіндіні берілген қатынаста бөлу. Скалярлық көбейтінді. Үш вектордың арасындағы бұрыш. Векторлық көбейтінді. Үш вектордың аралас көбейтіндісі. Екі еселенген векторлық көбейтінді. Геометрияның мектепке арналған курсында және жоғары оқу орындары студенттеріне арналған математика курсыньщ аналитикальгқ геометрия бөлімінде екі өлшемді және үш өлшемді векторлар түсінігі енгізіліп жөне оларға амалдар қолдану ережелері түжырымдалған болатын. Екі өлшемді а векторы белгілі бір ретпен алынған аү,а2 сандары арқылы бірмәнді анықталатыны дәлелденіп, і ендігі арқьшы жазылған болатын. Осылайша, үш өлшемді а векторы бслгілі бір ретпен
алынған ах,а2,аъ сандары
арқылы бірмәнді мнықталып,теңдігі арқылы жазылады. Демек, искторды жазықтықта реттелген екі сан деп, ал кеңістікте — реттелген үш сан деп қарастыруға болады. Реттелген п нақты сандар жүйесін қарастырайық (яғни, жүйені қүрайтын сандар номерленген). 1-аныктама. Реттелген ах,а2,...,ап сандарынын, жиыны п- олшемді ^ векторы деп аталады. п -өлшемді вектор а = (ах,...,ап) теңдігі арқылы белгіленеді де, ах,а2,...,ап сандары а векторының координаталары деп аталады. Координаталары арқылы берілген екі және үш өлшемді векторлар үшін анықталған оларға амалдар қолдану ережелерін п -өлшемді нскторлар үшін кеңейтейік. 2—аныктама.және екі п - олшемді векторлардың соикес координаталары өзара тең болса, онда і и ідай векторлар тең деп аталады, яғни
21
және
қосындысы деп
оарлық координаталары қосылғыш искгорлардың сәйкес координаталарының қосындысына тең МК юрларды атайды, яғни
4 аныктама. Барлық координаталары нөлге тең векторды нөлдік Ш і юрдепатап, 6 арқьшы белгілейді, яғни
Векторды қосудың мына қасиеттері орындалады: (нөлдік вектордың ерекше маңызы).
(ауыстырымдылық заңы). (терімділік^аңы). 4). Әрбір а векторы үшін, а + (_а)~о теңдігін қанағат-тандыратын, оған қарама-қарсы деп аталатын (-а) векторы табылады. Бүл заң берілген нөлдік емес векторға қарама-қарсы вектордың табылу заңы деп аталады. Бірінші үш қасиетті тексеру қиындыққа соқпайды. Сондықтан тек қана төртінші қасиеттің орындалуын тексеріп, оны екі вектордың айырымы туралы түсінікті енгізуде пайдаланамыз. кез келген п -өлшемді вектор дейік. арқылы белгілейік. Екі вектор қосындысы меннөлдік вектор анықтамалары негізінде яғни (-а) векторы іздеп отырған векторымыз болып шықты. Сонымен 4) қасиет дәлелденді. (-а) векторы а векторына қарама-қарсы вектор деп аталады. 5- анықтама. а және ь векторларының айырымы ^-Ь деп а векторы мен ь векторына қарама-қарсы (-Ь) векторының қосындысын атайды, яғни
координатасы Я саны мен а векторының сәйкес координатасының көбейтіндісіне тең векторды атайды жөне Ха арқылы белгілейді. Сонда анықтама бойынша: 22 Вектордың санға көбейтіндісі мына қасиеттерді қанағаттандырады: | (терімділік заңы) (бірінші үлестірімділік заңы) (екінші үлестірімділік заңы) (1 көбейткішінің ерекше маңызы) 7-анықтама. Қосу амалының 1)-4) қасиеттері жөне санға көбейту амальшьщ 1)-4) қасиеттері орындалатьш п өлшемдівекторларжиьшын п өлшемді векторлар кеңістігі деп атайды және оны цп арқылі.і белгілейді, дп-ге енетін әрбір п өлшемді векторды оның элеменм деп атайды.
мем векторды санға көбейту амалдары орындалатьш (өзі векторлық кеңістік болып табылатын) %п кеңістігі элементтерініңжиыны оның п өлшемді кеңістікшесі деп аталып, К" арқылы белгіленеді. Сызықтық алгебрада п өлшемді кеңістікте 1)-4)-қасиеттерді қанағаттандыратын п өлшемді
векторларды қосу
және 1)-4)-қасиеттерді қанағаттандыратын векторды санға көбейту амалдары сияқты амалдар орындалатын кез келген а,Ъ,с,... объектілер (заттар, сандар немесе т.б.) жиынын сызықтық кеңістік деп атайды. Сызықтық кеңістік үшін
оның аксиомалары ретінде қабылданатын жоғарыда келтірілген сегіз қасиеттен мына түжырымдардың орындалатындығы шығады.
1) жалғыз ғана нөлдік элемент болады; 2) әрбір а элементі үшін оған жалғыз ғана қарама-қарсы элемент бар. 2-теорема. Кез келген сызықтық кеңістікте: 1) оның нөлдік элементі кез келген а элементін 0 /нөл/ санына кобейткенге тең; 2)әрбір а элементі үшін қарама-қарсы элемент сол элементті иақты _1 санына көбейткенге тең.
23 Қосудың 1-4 аксиомалары мен 1-теорема сызықтық кеңістіктің кез-келген а және Ъ элементтері үшін олардың айырымы бар болып жоне ол тек жалғыз ғана болатынын дәлелдеуге мүмкіндік береді.
I еометриялық үшөлшемдікеңістікжағдайындағьщай а-Ъ айырымы, с + Ь = а теңдігін қанағаттандыратын с элементі ретінде анықталады, мүндағы
Негізгі әдебиет: [1]. Қосымша әдебиет: [1]. 1.8 дәріс. Жазықтық. Дәріс мазмұны: Жазықтықтың векторлық теңдеуі. Жазықтықтың жалпы теңдеуі. Нормаль теңдеуі. Жазықтықтың жалпы теңдеуін зерттеу. Жазықтықтың кесінділік теңдеуі.
Алдымен мыңа есепті шығарайық: берілген нүктесі I арқылы өтетін және нөлдік емес берілген
векторына ] перпендикуляр к жазықтығының I теңдеуін жазу керек дейік. Аныктама. (169)-теңдеуі іүктесі арқылы өтетін і і ІЫҚТЫҚ
нормалі деп аталатын нөлдік емес векторына пгрііендикуляр жазықтықтың тендеуі деп аталады.
декарттық і ікбүрышты координаталар жүйесінде
ніідеуі арқылы анықталған кеңістік нүктелері жиынын атайды. М үндағы А,В,С коэффициенттерінің кеміңде біреуі нөлге тең емес.
Мынадай негізгі теорема орындалады. Теорема. Кез келген жазықтық бірінші ретті бет болып табылады көне керісінше, кез келген бірінші ретті бет- жазықтық.
24 Кез келген жазықтық бекітілген (белгілі) өзінің бір М0 нүктесімен 11 >не, нөлдік емес п нормаль векторы арқылы бірмәнді анықталады. Декарттық тікбүрышты координаталар жүйесін алайық М0 нүктесі Мсн п векторының координаталары сәйкес және
болсын.
Сонда жазықтық (169) і еі ідеуі арқылы анықталады.
(170) Теңдеуі, мүндағы А,В,С коэффициенттерінің кемінде біреуі нөлге
тең емес,
жазықтықтың жалпы
тендеуі деп
аталады. векторы нормаль векторы екенін еске ала отырып, (170)-теңдеудің коэффициенттерінің мәндеріне байланысты, сәйкес жазықтықтың I координаталар өстеріне қарағандағы орналасуы туралы мәселені шешуге I болады.
Нүктеден жазықтыққа дейінгі
қашықтық. Берілген нүктеден өтетені жазықтықтың теңдеуі. Үш нүктеден өтетені жазықтықтың теңдеуі. Айталық, лжазықтығы өзінің жалпы тендеуі арқылы берілсін: (170) Мүндағы
болатыны бізге белгілі. Біз п=п°=(со8ос,со8р,со8ү) дербесжағдайынқарастырамыз, яғни п - бірлік
вектор болсын
(сонда оның
координаталары бағыттауыш косинустарға тең болады). Бүл жағдайда жазықтықтың жалпы теңдеуі былай жазылады: (171)
мүндағы р>0 деп санауға болады (егер олай болмаса, онда Й ° векторының орнына _^° векторын алар едік). 25 (Ш)-теңдеу жазықтықтың нормаланған тендеуі деп
аталады, бүдан жазықтықтьщ
теңдеуі шарты орындалғанда ғана оның нормаланған тендеуі болатындығы ші.іғады. (171)- теңцеудің векторлық жазылуы
гүріңде беріледі. Мүндағы г = 0М -жазықтықтың кез келген нүктесінің рлдиус-векторы. Нормаланбаған (170)-тендеуді нормаланған түрге келтіру үшін, оны
онда бүл кобейткіштің таңбасы £> -нің таңбасына қарама-қарсы алынады. Ал егерде £> = 0 болса, онда >„-ның таңбасы ретінде екі таңбаның кез Келгенін алуға болады, яғни (170) теңдеудің сол жағын п векторының ү ялңдығына бөлеміз. Жазықтықтың нормаланған (171)-теңдеудің сол жағының і гометриялық мағнасын мына теорема арқылы түсіндіруге болады.
нүктесінен к жазықтығына дейінгі
кишықтығы (171)-теңдеудің сол жағына М0 нүктесінің координата-илрын қойғандағы шыққан қорытындының модуліне тең, яғни (172)
Бүл теорема және (172)-формуланы жазықтықтағы түзу жағдайы үшін дәлелденген теорема мен формула секілді дәлелдеуге болады. Бүған қоса мына екі салдар да орындалады:
0(0,0,0) нүктесінен п жазықтығына дейінгі қашықтыққа тең, яғни координаталардың бас нүктесінен сол жазықтыққа түсірілген і и • р 11 ендикуляр үзындығына тең. 26
арқылы берілсе, онда інүктесінен осы жазықтыққа дейінгі і . 1111 ы қтық мына формула арқылы анықталады:
Қосымша әдебиет: [1].
1.1 дәріс. Кеңістіктегі жазықтықтардың орналасуы. Дәріс мазмұны: Кеңістіктегі үш жазықтықтардың орналасуы. Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш, екі жазықтықтың параллельдік, перпендикулярлық шарттары. Тетраэдрдің көлемін төбелерінің координаталары арқылы табу. I. Түзудің векторлық, параметрлік және канондық тендеулері & - цоцістіктегі қандай болса да бір түзу, М0 е й бекітілген нүкте, ал • 0 сол түзудің бағыттауыш векторы болсын. Кез келген м нүктесі ,/ і үзуі үстінде жатуы үшін, м0м мен $ векторларының коллинеар ЛіКіуы қажетті және жеткілікті, яғни М^М=і-8, іеК (МесІ&ММ0\\з<=> ІЛ^М= і-з > ГеЛ) (173) Демек, бекітілген М0 нүктесі мен 5 -бағыттауыш векторы л -түзуін вірмәнді анықтайды. Кеңістікте декарттьщ тік бүрышты координаталар цүііесін алып, М0 және Мнүктелерініңрадиус- векторларысәйкес г0
иги ғ және 5 векторларының координаталарын сәйкес ^о^^о^о^о)' г = (х,у,г), з=(і,т,п) щ Іркьілы белгілейік (75-сурет). I ІДеуі шығады. Бүл тендеу түзудің кеңістіктегі векторлық тендеуі »Іі •• аталады. Енді (174)-тендеуді координаталар түрінде жазайық. хі Л-уі + ік = х0і + у0і + 20к +
27
у = у^ШЧеК (175)
2 = 20+ ПІ, «иідеулерін аламыз. Керісінше, (175)-тендеулерден & -түзуінің (174)-ИНдеуі шығатыны өзінен-өзі түсінікті. (175)-тендеулерді түзудің ІІйраметрлік тендеулері деп атайды. (176)-тендеулерді(оординаталарформасындажазылған дТГд/ жәні у векторларының кс,йНнеарЛЬІқ шарты деп қарастыруға болады. Егеі 2,т,п бөлшдерініңкей5іреуі нөлге тең болса, онда сәйке<
^ь^арының бірін нөлге теңестіру қажет. Мысалы, егер п ц болса, оңда (176) теңдеулерінен ^,^ндеулері шығады. Б|Л теңдеулер Ог өсіне перпеңдикуляр түзу теңдеу
болады)
Осьшайша, егер /^0 және п = $ болса, оңда (176)-тендеулерінен ^ығатыны Ал бүл - Ох өсінепйраллель түзу тендеуі болып табьшады. (176)-^дцеулері түзудің каіюңдық теңдеулері деп аталады. жүктеу/скачать 0,88 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|