Кафедра отырысында қарастырылды 20 ж
жүктеу/скачать 0,88 Mb. Pdf көрінісі
|
Негізгі әдебиет: [1]. Қосымша әдебиет: [1]. 1.2 дәріс. Кеңістіктегі түзу. Дәріс мазмұны: Түзудің векторлық теңдеуі. Кеңістіктегі түзудің жабайы теңдеуі. Кеңістіктегі екі нүктеден өтетін түзудің теңдеуі. Екі түзудің бір жазықтықта жату шарты. Қиылысқан екі түзу арасындағы бүрыш деп, қиылысқанда ніыгатын бірін-бірі 180° ~Ка толтыратын екі бүрыштың кез келгені италатыны бізге 5-тараудың 6-параграфынан белгілі болатын. Егер екі іүіу параллель болса, онда олардың арасындағы бүрышы 0°-қа не I Ж)°-қа тең деп алынады. Кеңістіктегі түзулер айқасқан түзулер болуы да мүмкін.
28
бүрыш к п, сол түзулерге сәйкес параллель, қиьшысқан екі түзу арасындағы бүрышты атайды.Ах және А2 түзулері арасындағы бұрыш арқылы белгіленеді.
арқылы берілсін дейік:
түзулерінің сәйкес бағыттауыш векторлары болғандықтан, Егер
Егер (180) Демек, (17У)-екі түзудің параллельдік шартын
көрсетеді де,
ал (180) олардың перпендикулярлық шартын көрсетеді.
түзу
мен оның
жазықтыққа түсірілген ортогональдық проекциясы ара-сындағы бүрышты атайды. Егер түзу мен жазықтық параллель болса, онда олардың арасындағы бүрыш 0°-қа тең деп саналады. л түзуі мен % жазықтығы арасындағы бүрыш ф= <*,я арқылы белгіленеді. Егер ф = 90° -қа тең болса, онда а түзуі мен п жазықтығын өзара перпендикуляр деп атап, а ± п деп белгілейді. 29 Геометриялық түрғыдан қарағанда.
Дәріс мазмұны: Екі жазықтықпен берілген түзудің теңдеуі. Түзудің
векторлық және
параметрлік теңдеуі. Түзудің бағыттаушы косинустары. (178)-формуладағы аньщтауыштардьщ кемінде біреуі нөлге тең емес, I себебі щ және к2 жазықтықтары қиьшысатын болғандықтан, екі жазықтықтың параллелдік белгісі: орындалмайды.
дейік. Сонда г = г0 деп алып, (177)-тендеулер жүйесінен < ~х0,у = у0 жалғыз ғана мәндерін табуға болады. Сонымен, М{)(х0,у0,20) нүктесі табьшады. Демек, (177)- тендеулер жүйесі арқылы і »грілген түзудің канондық теңдеулері мына түрде жазылады:
Қиылысқан екі түзу арасындағы бүрыш деп, қиылысқанда ніыгатын бірін-бірі 180° ~Ка толтыратын екі бүрыштың кез келгені италатыны бізге 5-тараудың 6-параграфынан белгілі болатын. Егер екі іүіу параллель болса, онда олардың арасындағы бүрышы 0°-қа не I Ж)°-қа тең деп алынады. Кеңістіктегі түзулер айқасқан түзулер болуы да мүмкін.
30
бүрыш к п, сол түзулерге сәйкес параллель, қиьшысқан екі түзу арасындағы бүрышты атайды.йх және А2 түзулері арасындағы бұрыш арқылы белгіленеді.
Егер
(180) Демек, (17У)-екі түзудің параллельдік шартын көрсетеді де, ал (180) олардың перпендикулярлық шартын көрсетеді.
түзу
мен оның
жазықтыққа түсірілген ортогональдық проекциясы ара-сындағы бүрышты атайды. Егер түзу мен жазықтық параллель болса, онда олардың арасындағы бүрыш 0°-қа тең деп саналады. л түзуі мен % жазықтығы арасындағы бүрыш ф= <*,я арқылы белгіленеді. Геометриялық
түрғыдан қарағандағы теңдеуі Негізгі әдебиет: [1]. Қосымша әдебиет: [1]. 1.4 дәріс. Түзулердің қиылысуы. Дәріс мазмұны: Екі түзудің қиылысуы. Екі түзудің арасындағы бұрыш. Екі
түзудің параллельдік, перпендикулярлық шарттары. Екі нүктеден өтетін түзудің теңдеулері. Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш. Түзу мен жазықтықтың қиылысуы. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық. 31
түзу мен
оның жазықтыққа түсірілген ортогональдық проекциясы ара-сындағы бүрышты атайды. Егер түзу мен жазықтық параллель болса, онда олардың арасындағы бүрыш 0°-қа тең деп саналады. л түзуі мен % жазықтығы арасындағы бүрыш ф= <*,я арқылы белгіленеді. Егер ф = 90° -қа тең болса, онда а түзуі мен п жазықтығын өзара перпендикуляр деп атап, а ± п деп белгілейді. Демек, (184)-шарт түзу мен жазьқтықтың қиылысу шарты болып табылады. (185) болсын. Бүлжағдайда, (183)-тендеудіңжәне соныменқатар (175), (170) тендеулер жүйесінің шешімі
болмайды. Геометриялық түрғыдан қарағанда
, яғни й түзуі 7і жазықтығына параллель, бірақ ^п. Кері түжырым да орьшдалады. Демек, (185)-шарт түзу мен жазықтықтьщ қиылыспауьшьщ қажетті және жеткілікті шарты болып табылады. (186)
болсын. Бүл жағдайда, (183)-тендеудің, демек, (175) және (170)-тендеулер жүйесінің сансыз көп шешімі бар (яғни, (183) теңдеуін { параметрінің кез келген мәні қанағаттандырады). Кері түжырым да орындалады. Демек, (186)-шарттары түзудің жазықтықта орналасу шарттары болып табылады. Геометриялық түрғ
ыдан қарағанда: Негізгі әдебиет: [1]. Қосымша әдебиет: [1].
32
Дәріс мазмұны: Сфера. Цилиндр. Конус. Эллипсоид. Бір қуысты және екі қуысты гиперболоид. Эллипстік параболоид. Гиперболалық параболоид. Екінші ретті бет деп қандай болса да бір декарттық тік бүрышты координаталар
жүйесінде тендеуін қанағаттандыратын кеңістік нүктелерінің жиынын атайды. Мүндағы А,В,С,Ә,Е,Ғ коэффициенттерінің кемінде біреуі нөлге тең емес. Біз төмеңде азғындалмаған екінші ретті беттер болып саналатын эллипсоид, гиперболоидгар, параболоидтар, цилиндрлер және
конустар деп
аталатын беттерді қарастырамыз. Бүл беттерден басқа, қүрылымы одан гөрі қарапайым, мысалы, қүр жиын, нүкте, жазықтық, параллель немесе қиылысатын жазықтықтар парлары да екінші ретті беттерге жатады. Мүндай беттерді азғындалған екінші ретті беттер деп атап, оларды қарастырмаймыз. Жоғарыда аталған беттерден басқа екінші ретті беттер болмайды. Аныктама.Цилиндрлік бет деп берілген & түзуіне параллель, берілген 7 сызығын қиып өтетін барлық түзулер бірігуінде жатқан кеңістіктегі Мнүктелерінің жиынын атайды. 7 сызығы цилиндрлік беттің бағыттаушысы, ал сі түзуіне иараллель, 7 сызығын қиып өтетін түзулерді цилиндрлік беттің жасаушысы деп атайды (77-сурет). Кеңістікте декарттық тік бүрышты координаталар жүйесін алайық. Керісінше, егер нүктесі-координаталары (186)- тендеуді қанағаттаңдыратын кез келген нүкте болса, онда М нүктесінің Оху жазықтығына түсірілген ортогональдық проекциясы болып табылатын М{ (х*; у* ;0) нүктесінің координаталары да (186)-тендеуді қанағаттандыратыны айқын, 33 яғниСонымен қатар, лл менМі нүктелеріарқылы өтетштүзу Ог өсше параллель. Демек, бүл түзу, сонымен бірге нүктесі де £ бетінде жатады. Осылайша, тендеуі арқылы, жасаушысы Ох өсіне параллель, ал бағыттаушысы Оуі координаталар жүйесінде тендеуі арқылы анықталатын цилиндрлік бет анықталады.
тендеуі —жасаушысы Оу өсіне параллель цилиндрлік бетті анықтайды.
геңдеулері арқылы берілген цилиндрлік беттер жасаушысы Ог өсіне ііараллель екінші ретті сәйкес эллипстік, гиперболалық және параболалық беттер деп аталады. Эллипстік, гиперболалық және параболалық (57 а, б, в- суреттер) цилиндрлердің бағыттаушылары Оху жазықтығында жатқан сәйкес >ллипс, гипербола жөне парабола болып табылады. Аныктама. Айналу беті деп қандай болса да бір / жазық сызығын (/ осі арқылы айналдырғандағы шығатын нүктелердің $ жиынын атайды. а1 түзуі айналу өсі деп аталады. 5 бетінің айналу өсі арқьшы отетін жазықтықтармен қимасы меридиандар деп аталады. Дербес кағдайда, У сызығы сол меридиандардың бірі болып табылады. 51 бстінің айналу өсіне перпиндикуляр жазықтықтармен қимасы
іііраллельдердепаталады. ү жазьгқсызығын а1 өсіненайналдырғанда ірбір М 6 у нүктесі айналу өсіне перпиндикуляр жазықтықта і лгагын, центрі айналу өсінде орналасқан үм шеңберін сызады. \ 111 іалу өсі координаталар өсінің бірі болғандағы айналу бетінің дербес ііі дайын қарастырайық. 34
арқьшы 7 сызығын қиып өтетін барлық түзулер бірігуінде жатқан м нүктелерінің жиьшын атайды (94-сурет). М0 нүктесі конустың төбесі, 7 сызығы-бағыттаушысы, ал конустық бетте жатқан әрбір түзу оның жасаушысы деп аталады. Негізгі әдебиет: [1]. Қосымша әдебиет: [1]. 1.6 дәріс. Екінші ретті беттердің жалпы теориясы. Дәріс мазмұны: Координаталрдың бас нүктесін көшіру және
екінші ретті
беттің теңдеуінің түрленуі. Оның
инварианттары. Координаталар осьтерін бұру.
Жанама жазықтық. Бас нүктелері ортақ бір нүктеде жатқан Охуг және Охуг декарттық тік бүрышты
координаталар жүйелерін қарастырамыз. Соңда
мүндағы Ц,і,к) және \і',/,к') Охуг және Охуг координаталар жүйелерінің сәйкес базистері. Бүдан (69)
Егер бүл тендіктің екі жағының да / -ге скалярлық көбейтіндісін қарастырсақ, онда
скалярлық көбейтудің үлестірімділік заңы мен і, ],к векторларыньщ өзара пар-парлы (қос-қостан) ортогональдығын ескеріп, мына тендікті аламыз:
Енді (69) теңдіктің екі жағының да әуелі ] -ге, сосын к –ға скалярлық көбейтінділерін қарастырсақ, онда
соңғы формулаға үқсас формулалар аламыз. Демек,
(70) Мүндағы 35
(71) (70) формулалар жазықтық жағдайында мына түрде жазылады:
(72) Мүндағы (73) Енді (і',і) = а арқылы белгілеп, (73) формулалар арқылы анықталған (72) теңдіктердегі х,у координаталары коэффи- циенттерінің геометриялық мәнін аньгқтайық. Егер о нүктесін айнала оң бағытта (сағат тілінің айналу бағытына қарсы) Оху жүйесін а бүрышына бүрсақ, онда ол 0'ху жүйесімен беттеседі (42-сурет). Бүл
жағдайда (72) формулалардағы коэффициенттердің табылған бүл мәндерін ескерсек, онда
(660 5—1196 Бұл формулалар жазықтықтағы координаталар өстерін бүрудың (66) формулаларымен дәл келеді. Осылайша, кеңістіктегі координаталарды түрлендірудің (70) және
(71) формулаларын сәйкес жазықтықтарда (66') формулалары секілді бірінен кейін бірі орындалған үш рет бүру арқылы алуға болатынын дәлелдеусіз болса да айта кетуге болады.
36 Жалпы алғанда, кеңістікте Охуг және 0'хуг жүйелерінің бас нүктелері әр басқа нүктелерде орналасып және сәйкес координаталар өстері параллель болмаған жағдайда, оларды беттестіру үшін, алдымен Охуг жүйесін Ъд'= (а,Ъ,с) векторына параллель көшіріп, сосын жоғарыда айтылғандай координаталар өстерін сәйкес бүрыштарға үш рет бүрсақ, онда (68) және (70) формулаларынан мына жалпы формулаларды шығарып аламыз:
Қосымша әдебиет: [1]. ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТАР БІРІНШІ МОДУЛЬ. ЖАЗЫҚТЫҚ 2.1 практикалық сабақ. Координаталар әдісі. Әдістемелік нұсқау: Түзудің
бойындағы нүктенің координаталары. Бағытталған кесінділерді қосу,
оның ұзындығы. Түзудің бойындағы кесіндіні берілген қатынаста бөлу.
Жазықтықтағы нүктелердің координаталары. Жазықтықтағы екі нүктенің ара қашықтығы. Жазықтықтағы кесіндіні берілген қатынаста бөлу. Үшбұрыштың ауданын
төбелерінің координаталары бойынша табу.
37 Координаталарды түрлендіру. Полярлық координаталар және олардың декарттық координаталармен байланысы. Аудиториялық жұмыс: [3]: 41-45, 54-58 Үй жұмысы: [5] 46-52, 61 Негізгі әдебиет: [1],[2] Қосымша әдебиет: [1],[2] 2.3 практикалық сабақ. Түзу сызық. Әдістемелік нұсқау: Түзудің бұрыштық коэффициентпен берілген теңдеуі. Түзудің кесінділік теңдеуі. Түзудің нормальдік теңдеуі, жалпы теңдеуі. Түзудің жалпы теңдеуін нормальдік теңдеуге келтіру. Белгілі бағытпен берілген нүктеден өтетін түзудің теңдеуі. Екі нүктеден өтетені түзудің теңдеуі. Берілген нүктеден берілген түзуге дейінгі қашықтық. Екі түзудің арасындағы бұрыш. Екі түзудің параллеьдік, перпендикулярлық шарттары. Аудиториялық жұмыс: [3]: 183-187, 193, 196(а), 197(а); [12]: 201, 210, 214(а,в), 216, 217, 220(а), 238, 239 Үй жұмысы: [5] 194, 195, 196(в-с), 198, 202, 203, 211, 214(с,d), 215, 220(в) Негізгі әдебиет: [1],[2] Қосымша әдебиет: [1],[2] 2.4 практикалық сабақ. Екінші ретті қисықтар және олардың жабайы теңдеулері. Әдістемелік нұсқау: Эллипстің жабайы теңдеуі және теңдеуі бойынша зерттеу. Радиус, вектор және эксцентриситет. Эллипске жүргізілген жанама мен нормальдік теңдеулері. Түйіндес диаметрлері, директриссалары. Эллипстің түзумен қиылысуы. Гиперболаның жабайы теңдеуі және теңдеуі бойынша зерттеу. Радиус, вектор және эксцентриситет. Гиперболаның асимптоталары, жанама мен
нормалдық теңдеулері. Түйіндес диеаметрлері,директриссалары. Гиперболаның түзумен қиылысуы. Параболаның жабайы теңдеуі және теңдеуі бойынша зерттеу. Параболаға жүргізілген 38 жанама мен нормалдық теңдеулері, параболаның диаметрлері. Параболаның түзумен қиылысуы. Аудиториялық жұмыс: [3]: 375-376, 379, 383, 385(а), 388, 391, [12]: 433, 463, 439(қ), 441(а), 443(а), 444(а), [12]: 480 ,481, 488(а), 489, 491
439, 441(в-d), 442(қ), 443(в), 482, 488(в-d), 492 - 494 Негізгі әдебиет: [1],[2] Қосымша әдебиет: [1],[2] 2.5 практикалық сабақ. Екінші ретті сызықтардың жалпы теориясы. Әдістемелік нұсқау: Екінші ретті сызықтардың жалпы теңдеу, оны түрлендіру. Екінші ретті сызықтық центрі, центрлік сызықтық теңдеуі, оны зерттеу. Центрлік сызықтық бас диаметрлері, екінші ретті центрлік сызықтық графигін салу. Екінші ретті центрсіз сызықтық теңдеуі. Екінші сызықтық диаметрлер. Аудиториялық жұмыс[3]: 550(1-4), 552, 553(а), 555(а), 560 Үй жұмысы: [5] 550(5-11), 553(в-d), 561, 562 Негізгі әдебиет: [1],[2] Қосымша әдебиет: [1],[2] 2.6 практикалық сабақ. Векторлық алгебра. Әдістемелік нұсқау: Векторларды қосу және салу. Векторды скалярға көбейту. Бірлік векторлар. Векторды үш оське жіктеу. Үш вектордың бір жазықтыққа жату шарты. Кеңістіктегі екі нүктенің арасындағы қашықтық. Үшбұрыштың ауданы.
Кесіндіні берілген қатынаста бөлу. Скалярлық көбейтінді. Үш вектордың арасындағы бұрыш. Векторлық көбейтінді. Үш вектордың аралас көбейтіндісі. Екі еселенген векторлық көбейтінді. Аудиториялық жұмыс[3]: 587, 590, 592, 594(а) 39 [15]: 1,4 – 1,7; 1,17; 1,37; 1,38 Үй жұмысы: [5] 588, 589, 591, 594(в,с), 596 1,8 – 1,10;1,18 – 1,20; 1,39 – 1,40 Негізгі әдебиет: [1],[2] Қосымша әдебиет: [1],[2] 2.7 практикалық сабақ. Жазықтық. Әдістемелік нұсқау: Жазықтықтың векторлық теңдеуі. Жазықтықтың жалпы теңдеуі. Нормаль теңдеуі. Жазықтықтың жалпы теңдеуін зерттеу. Жазықтықтың кесінділік теңдеуі. Аудиториялық жұмыс[3]: 753-756(а), 757(а), 758(а), 761, 763(а) Үй жұмысы: [5] 756(в-с), 757(в,с), 758(в,f), 762, 763(в,с) Негізгі әдебиет: [1],[2] Қосымша әдебиет: [1],[2] 2.8 практикалық сабақ. Жазықтықтағы түзулер. Әдістемелік нұсқау: Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық. Берілген нүктеден өтетені жазықтықтың теңдеуі. Үш нүктеден өтетені жазықтықтың теңдеуі.
орналасуы. Әдістемелік нұсқау: Кеңістіктегі үш жазықтықтардың орналасуы. Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш, екі жазықтықтың параллельдік, перпендикулярлық шарттары. Тетраэдрдің көлемін төбелерінің координаталары арқылы табу. Аудиториялық жұмыс[3]: 801(а-с), 802, 804(а,в), 810 Үй жұмысы: [5] 801(с-d), 803,804(с-f), 811 40
Қосымша әдебиет: [1],[2] 2.2 практикалық сабақ. Кеңістіктегі түзу. Әдістемелік нұсқау: Түзудің векторлық теңдеуі. Кеңістіктегі түзудің жабайы теңдеуі. Кеңістіктегі екі нүктеден өтетін түзудің теңдеуі. Екі түзудің бір жазықтықта жату шарты.
жүктеу/скачать 0,88 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|