Формулировка  проблем  и  задачи

 
92 
где 
 
 
 
 



z
d
z
x
0
2







, 
 
 


 
х
S
t
z
х
U
t
x
V
х
,
,
'

, 
 
   
0
с
х
с
x
S


,  
 
 
 


 
х
х
х
х
с



2
1


, 
 
   
z
z
х



, 
 
   
z
z
х



, 
 
   
z
z
х



, 
 

  
t
z
U
t
z
х
U
,
,

, 
 
 
 
 
 
2
'
''
2








х
S
х
S
х
S
х
S
х
q
, 
 
 




t
z
x
t
х
,
,




,   
 
 
 






'
2
3
,
х
х
x
t
x
Z






. 
Выделим особенности  решения (4)-(5) по методике В.Г. Романова [5], для этого 
введем  
     


 


х
t
х
R
х
t
x
P
t
x
t
x
V





1
,
,



   
 
 
                (6) 
где 
 
t
х,

  – непрерывная функция, 
 
х

 - функция Хевисайда,  
 






0
,
0
0
,
1
t
t
х

, 
 
 
 
t
х
х



'
   
 
 
t
t
х



1
.                             (7) 
 Сделаем следующие выкладки 
 
   


 


,
,
,
'
''
х
t
х
R
х
t
х
P
t
x
x
t
V
t
tt
tt








 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
,
,
,
1
'
'
'
х
t
х
R
х
t
х
R
х
t
х
Р
х
t
х
Р
t
х
t
х
V
х
х
х
х















 
 
 
.
2
2
1
''
'
'
''
''







х
R
R
R
х
Р
Р
Р
V
х
хх
х
хх
хх
хх







 
Поставляя  последние  выкладки  и  (6)  в  (4)  -  (5)  и  учитывая,  что 
 
t
x,

  – 
непрерывная  функция  и   
 
0
/
,

t
t
x

    получим  задачу  термоупругости  с  данными  на 
характеристиках  
   
       


,
,
,
0
,
'
х
хх
tt
t
х
Z
t
х
с
х
с
t
х
V
х
q
V
V





  
 
T
t
,
0

,  
.
T
x
t


    (8) 
    
 
 
х
P
t
х
V
x
t


,
 .                                                                                    (9) 
где    


.
)
,
(
*
)
,
(
)
(
)
0
(
*
)
2
/
1
(
2
/
)
0
(
)
(
'
0








d
Z
c
c
c
x
P
x




  
Конечно – разностное решение  
Приближенное решение будем строить конечно- разностным методом, для этого 
введем  равномерную  сеточную  область,  а  также  используя  разностное  отношение  и 
обозначение в [7,8] из задачи (8), (9) получим разностную задачу, при этом отброшены 
малые члены порядка 


2
1
2
, h
O

: 
k
i
х
х
t
t
LV
V
V


,   


к
i
k
ih



,
 
                          (10) 
i
i
i
P
V
2
2


,   
N
N
i
,


;   
                          (11) 
где  


х
k
i
k
i
i
к
i
i
k
i
Z
с
с
V
q
LV

*
0



,  
 
}
2
,
,
0
,
:
)
,
{(
1








h
N
k
N
ih
ki
k
i
k
i
.     
k
i
V
, 
i
q , 
i
с , 
i
P
, 
k
i

, 
k
i
Z
      - 
разностные аналоги функции 
 
t
х
V ,
, 
 
х
q
, 
 
х
с
, 
 
х
Р
, 
 
t
х,

, 
 
t
х
Z ,
 соответственно, а 

 
93 
индекс  i

  соответствует направлению  
координат,     
2
1
1
2






k
i
k
i
k
i
t
t
V
V
V
V
;     
2
1
1
1
2
h
V
V
V
V
k
i
k
i
k
i
õ
õ





. 
Введем обозначения и норму 
,
max
,
1
i
N
N
i
q



   
,
max
,
2
i
N
N
i
с



    


,
)
(
,
max
max
'
,
3
k
i
x
k
i
i
k
N
N
i






  (12)
  


,
)
(
,
max
max
'
,
4
k
i
x
k
i
i
k
N
N
i
Z
Z




 
,
max
,
5
i
N
N
i
Ð



 
 
 
.
,
2
2
2
1
2






N
N
i
k
i
V
h
k
i
V
 
 Каждый  член  сеточного  уравнения  (10)  умножим 
t
t
V
V

    и  получим 
следующий дискретный аналог дифференциального произведения: 


 


t
t
t
t
t
t
k
V
V
V
V
2


,   






 




 


k
V
V
k
V
V
V
V
V
V
V
V
V
х
t
х
х
t
х
t
х
х
t
t
х
t
t
х
х







1
2
, 


k
i
t
k
i
t
t
t
k
i
V
V
V
V
V
V
V



                                                                     
где          

/
)
(
1
k
i
k
i
t
V
V
V



,  

/
)
(
1



k
i
k
i
t
V
V
V
. 
Умножая  все  полученные  на 
1
h

,  суммируя  по  индексам 
2
,
2




N
N
i
  ;  
1
2
,
3
2



N
i
k
,   и используя полученные обозначения и норму получим 








 











2
2
1
2
3
2
2
2
1
,
3
2
,
2
,
N
N
i
N
i
k
t
t
t
t
t
t
i
i
V
N
i
V
V
V
V
h

 
 




 










2
2
1
2
3
2
2
2
2
1
,
3
2
,
2
,
N
N
i
N
i
k
õ
õ
t
õ
i
i
V
N
i
V
V
h

 










 







 







2
2
1
2
3
2
1
1
,
,
1
N
N
i
N
i
k
t
t
õ
t
t
õ
h
ê
i
V
V
V
ê
i
V
V
V
h

 





 




















2
0
3
0
1
4
2
,
3
2
,
N
t
N
t
t
t
x
t
t
x
i
i
V
V
V
i
i
V
V
V
h

 








.
2
2
,
1
2
,
1
2
1
2


















N
i
t
t
x
N
i
t
t
x
i
i
V
V
V
i
i
V
V
V
 




 
 
 

















3
4
2
2
1
2
3
2
1
'
2
2
1
2
3
2
1
*
4
)
(
N
N
i
t
t
N
i
k
t
t
x
k
i
k
i
k
i
N
N
i
N
i
k
V
V
h
V
V
Z
h



, 


 




2
2
2
2
1
2
3
2
1
2
2
1
2
3
2
1
2
1
V
V
V
h
V
V
V
h
t
k
i
N
N
i
N
i
k
t
t
N
N
i
k
i
N
i
k




 

 
















, 
где символ 


2
1


i
означает  что, суммирование в норме осуществляется  по  i  от 
1

 до 
2

 на характеристиках.    Обозначим 

 
94 







 









.
2
2
,
1
2
,
4
2
,
3
2
,
3
2
,
1
2
1
2
2
0
3
0
1
2
1







































N
i
t
t
x
N
i
t
t
x
N
t
N
t
t
t
x
t
t
x
i
i
V
V
V
i
i
V
V
V
i
i
V
V
V
i
i
V
V
V
h
i
i
Ã

 
 
Раскроем         
 


 
 


 
 
 




 



  


 
 




.
3
2
,
3
2
,
1
3
2
,
2
,
2
,
1
2
,
3
2
,
2
,
,
1
,
2
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
3
2
1

















 















i
i
V
i
i
V
i
i
V
N
i
V
N
i
V
N
i
V
h
h
i
i
N
V
N
i
V
V
h
k
i
V
V
k
i
V
V
h
t
t
x
t
t
x
N
N
i
x
t
x
x
t
x
N
N
i
N
N
i
N
i
k
x
t
x
x
t
x



 
 
Оценим каждый член последнего равенства  

 


































2
2
1
1
2
2
1
1
2
,
2
,
1
2
,
2
,
2
,
1
2
,
N
N
i
t
t
x
N
N
i
t
t
x
N
i
V
N
i
V
N
i
V
h
h
N
i
V
N
i
V
N
i
V
h
h


 







 









.
3
2
,
3
2
,
3
2
,
1
3
2
,
,
2
,
2
,
2
,
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
2
1
1


































i
i
V
V
h
i
i
V
i
i
V
i
i
V
h
h
N
i
V
V
h
N
i
V
N
i
V
h
h
t
x
t
N
N
i
t
x
t
x
N
N
i
t
x




 
Оценим 
также 
следующие 
выражения 
- 






 
 
  



















2
2
1
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
3
4
1
1
'
0
*
4
N
N
i
N
i
k
t
t
N
N
i
N
i
k
t
t
õ
ë
i
k
i
i
V
V
h
V
V
h
Z
ñ
ñ



 
. 


 




3
2
,
2
,
*
*
4
4
3
2



i
i
V
N
i
V
Ï
Ï
Ï
 
 




 




 
 




















2
2
1
2
3
2
2
2
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
*
2
2
2
1
N
N
i
N
i
k
t
t
i
N
N
i
N
i
k
t
t
i
V
V
V
V
V
V
h


 






3
2
,
2
,
2
3



i
i
V
N
i
V

        
 












.
]
3
2
,
2
,
[
*
2
3
)
(
2
1
*
1
2
2
1
2
3
2
2
2
1
1
2
2
1
2
3
2
1
1
2
2
1
2
3
2
1











 
 
 





















i
i
V
N
i
V
Ï
V
V
V
h
Ï
V
V
V
h
Ï
V
V
V
q
h
N
N
i
N
i
k
t
t
k
i
t
t
k
i
N
N
i
N
i
k
N
N
i
N
i
k
t
t
k
i
i




 
Таким образом, получим  

















  
N
i
V
V
h
õ
t
2
,
)
1
(
2
3
4
1
2
2
1
2
3
4
1


 

 
95 






3
2
,
3
2
,
*
)
1
(
2
3
4
1
2
1
2
2
1
2
3
4
1















  
i
i
Ã
i
i
V
V
h
õ
t


 
.
)
1
(
2
3
4
1
min
,
)
1
(
2
3
4
1
max
1
2
3
4
1
2
1
2
3
4
1
1























  

  




h
P
h
P
Введем норму     






N
i
V
V
N
i
V
х
t
2
,
2
,
2
2


, тогда 
 






},
3
2
,
3
2
,
{
2
,
2
1
2
2
1
2
2
2




i
i
Ã
i
i
V
P
P
N
i
V
 
Пусть 
k
i
V
 - точное решение, сочленами 


2
2
1


h
O
, тогда  


 
2
6
3
2
,

P
N
i
V
V
k
i
k
i


,  

2
1

h
.                                             (14) 
где 
              
.
12
))
,
(
(
4
2
1
2
exp
6
D
T
C
V
T
P
P
P










                                          (15) 
Теорема.  Пусть  выполнено  условие  (3)  и  решение  задачи  (1)-(2)  существует  и 
имеет  непрерывные  частные  производные  до  четвертого  порядка  включительно    в 
области   
)
(T

.    Тогда    существует  постоянное  С
1
  >0    такое,  что  при 
1
1
/
C
h


  
решение конечно – разностной задачи (10)-(11) сходится к точному решению (8)-(9)  со 
скоростью  порядка 
)
2
2
1
(


h
Î
  в  классе 
 


T
W

1
2
  и  справедлива  оценка  (15). 
Коэффициент  С
1
 зависит только от  нормы коэффициентов уравнения. 
Из  эквивалентности задач  (8)-(9)  и  (1)-(2)  следует,  что  приближенное  конечно-
разностное  решение  задачи  (10)-(11)  также  сходится  к  точному  решению  (1)-(2)  со 
скоростью  порядка 
)
2
2
(
1


h
Î
  в  классе 
 


T
W

1
2
,  где   

,  h
1
  –  шаги  по  t  ,  x    при 
выполнении условии теоремы.  
 Заключение.  По  указанной  методике  можно  решить  и  другие  прямые  задачи, 
например  сейсмики,  акустики,  сейсмоакустики  и  т.д.  В  другой  статье  авторов 
проведены численные реализации данной задачи на различные модели. 
 
 
1.
 
Коваленко А.Д. Термоупргость. – Киев: АН УССР,1975. – 216с. 
2.
 
Карнаухов В.Г. Связанные задачи термоупругости. – К.: Наука, думка, 1982. – 260с. 
3.
 
Прусов  И.А.  Некоторые  задачи  термоупругости.  –  Минск:  Изд-во  Белорус.  ун-та, 
1972. – 200с. 
4.
 
Кит Г.С., Кривцун М.Г. Плоские задачи термоупругости для тел с трещинами. – К.: 
Наук. думка, 1983. – 280с. 
5.
 
Романов В.Г. Устойчивость в обратных задачах. Москва:,  2005, 296 с. 
6.
 
Сатыбаев  А.Дж.,  Калдыбаева  Г.А.  Конечно-разностное  решение  прямой  задачи 
термоупругости      с  плоской  границей  //  Вестник  КГУСТА  №2  (32)  том  1,  Меж. 
научно – практ. конф-ция 1-2 июля 2011г. стр. 112-116. 
7.
 
Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. Москва: Наука, 
785 с. 
8.
 
Кабанихин  С.И.  Обратные  и  некорректные  задачи.  Новосибирск:  Сиб.  научное 
издательство. 2009, 458 с. 
 

 
96 
УДК 517.9 
Ж.Б. Кемалова 
 
УСЛОВНО-КОРРЕКТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ 
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 
 
(г.Алматы, КазНУ имени ал-Фараби) 
 
Жұмыс  Гурвиц  матрицалы  4  ӛлшемді  бірінші  ретті  жай  дифференциалдық 
теңдеулер  жүйесі  үшін  шекаралық  есептерді  зерттеуге  арналған.  Бастапқыда  есеп 
қисынсыз  болатындай  етіп  шекаралық  шартты,  яғни 
B
  матрицасын  табамыз.  Ары 
қарай    сол  матрица  арқылы  шешімдерін  іздейміз.  Есеп  шешу  кезінде  сызықты 
алгебралық  теңдеулер  жүйесіне  келеміз.  Сызықты  алгебралық  теңдеулер  жүйесінің 
H
C
  нормальді  немесе  псевдо  (нормальді)  шешімін  іздейміз.  Сосын 
H
C
  табылған 
векторының кӛмегімен дифференциалдық есептің сәйкес «шешімін» жазамыз. 
Работа  посвящена  исследованию  краевых  задач  систем  четырех  мерных 
однородных  обыкновенных  дифференциальных  уравнений  с  матрицей  Гурвица. 
Сначала находим граничние условия, такие что бы задача была некорректной, то есть 
находим  матрицу 
B
.  Далее  с  помощью  этой  матрицы  будем  искать  решения.  При 
решении  задачи  приходим  к  системе  линейных  алгебраических  уравнений.  Затем 
ищем  нормальное  или  псевдо(нормальное)  решение 
H
C
  системы  линейных 
алгебраических  уравнений.  При  помощи  найденного  вектора 
H
C
  записываем 
соответствующее «решение» дифференциальной задачи. 
The  work  is  devoted  to  the  study  of  boundary  value  problems  of  the  four-dimensional 
homogeneous systems of ordinary differential equations with a matrix of Hurwitz. First, we 
find the boundary conditions are such that the task would have been incorrect, that is,  find 
the matrix. Then with the help of this matrix will look for solutions. In solving the problem 
we  obtain  a  system  of  linear  algebraic  equations.  Then  look  normal  or  pseudo  (normal) 
solution  of  linear  algebraic  equations.  With  the  help  of  the  found  record  of  the  vector 
corresponding to the "solution" of the differential problem. 
 
Рассмотрим систему из 4 уравнений первого порядка 
0
),
(
)
(


t
t
Ay
t
y
 
с гурвицевой матрицей простой структуры. 
 
Как известно, такая матрица путем линейного невырожденного преобразования 
приводится к канонической (диагональной) форме 
0
,
0
)
(




t
t
y
y
 
 
 
 
 
(1) 
где матрица 
4
:
1
,
0
),
(




j
diag
j
j


. 
Задача. Найти такое граничные условие, чтобы задача была некорректной. 




)
0
(
)
0
(
)
(
)
0
(
)
(
2
1
y
B
y
d
B
y
d
B
   
 
 
 
(2) 
при этом 
4
)
1
(

rangB
. 
Утверждение 1. Среди (1), (2) имеются некорректно поставленные задачи. 
Доказательство. Написав общее решение системы (3) 




4
1
)
(
j
t
j
j
e
C
t
y

   
 
 
 
 
(3) 
Подставим в граничное условие (2) 
C
d
B
F
FC
)
(
,



 
 
 
 
(4) 
Итак,  задача  редуцироваласть  к  исследованию  системы  линейных  алгебраических 

 
97 
уравнений (С.Л.А.У.) (4). 
Ясно, что: 
I.
 
Если 
0
det




F
F
,  то  С.Л.А.У.,  значит  и  задача  (1),  (2)  однозначно 
разрешимы. 
II.
 
Если 




мала,  то  С.Л.А.У.  плохо  обусловлена,  тем  самым,  для 
дифференциальной задача нарушается условие устойчивости. 
III.
 
Если 
0


,  то  задача  не  при  всех 

  разрешима,  когда  разрешима  имеется 
множество решений т.е. нарушается однозначная разрешимость. 
Далее, займемся вариантом ІІІ т.е. изучим нули равенства 
0


. Для некорректности 
задача  необходимо,  чтобы  были 
3
)
1
(
1

rangB
  и 
3
2

rangB
.  В  часности,  можем 
представить в виде 
1.
 
Граничное условие, которое состояло из непересекаемых двух матриц 
Квадратная  матрица 
)
,
(
,
0
0
0
0
0
0
0
0
43
34
44
33
21
12
22
11
44
43
34
33
22
21
12
11
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
B



















 
с рангом 4, удовлетворяет одному из требований 
(М) (максимум условие) в ней нет пропорциональных столбцов; 
(м) (условие минимум) в матрице отсутствует нулевой столбец. 
Решение некорректной задач 

















4
4
44
3
43
3
4
34
3
33
2
2
2
22
1
1
21
1
2
2
12
1
1
11








C
b
C
b
C
b
C
b
C
b
C
b
C
b
C
b
  
 
 
(5) 
При  решении  задачи  приходим  к  С.Л.А.У.  Затем  ищем  нормальное  или 
псевдо(нормальное)  решение 
H
C
  С.Л.А.У.  При  помощи  найденного  вектора 
H
C
 
записываем соответствующее «решение» дифференциальной задачи. 
Сначала напишем первое уравнение  
1
2
2
12
1
1
11






C
b
C
b
 
откуда 
2
1
11
2
12
1
1
11
1
1
C
b
b
b
C







  
 
 
(6) 
Это связь называется условие решение: 
2
1
11
21



b
b
   
 
 
 
 
(7) 
Теперь найдем 

2
C
, которой удовлетворяет условие решение (7): 
2
inf
)
(
2
2
2
1
11
2
12
1
11
1
2
C
C
C
b
b
b
C
J








 

 
98 
Найдем решение 
H
H
C
C
2
1
,
 
1
2
1
2
11
2
2
2
12
2
12
2




b
b
b
C
H



, и ввиду (6) 
1
2
1
2
11
2
2
2
12
1
11
1




b
b
b
C
H



. 
Теперь ищем 
H
H
C
C
4
3
,
. Для того напишем третое уравнение 
3
4
34
3
33



C
b
C
b
 
откуда 
4
33
34
3
33
3
1
C
b
b
b
C



 
 
 
 
 
(8) 
Это связь называется условие решение: 
2
1
11
21



b
b
   
 
 
 
 
(9) 
Теперь найдем 

4
C
, которой удовлетворяет условие решение (9): 
4
inf
1
)
(
2
4
4
33
34
3
33
4
C
C
C
b
b
b
C
J




 
Найдем решение 
H
H
C
C
4
3
,
 
3
2
33
2
34
34
4

b
b
b
C
H


, и ввиду (8) 
3
2
33
2
34
33
3

b
b
b
C
H


. 
Значит решение систем будет нормальное  


H
H
H
H
H
C
C
C
C
C
4
3
2
1
,
,
,

  
 
 
 
(*) 
1
2
1
2
11
2
2
2
12
1
11
1




b
b
b
C
H



,       
1
2
1
2
11
2
2
2
12
2
12
2




b
b
b
C
H



,  
3
2
33
2
34
33
3

b
b
b
C
H


,                
3
2
33
2
34
34
4

b
b
b
C
H


 
Лемма.  Вектор  (*)  будет  «нормаль»  решение  система  линейных  уравнение  (5),  если 
выполняется условие решений (7) и (9). 
2.
 
Граничное условие, которое состояло из пересекаемых двух матриц 
Квадратная матрица 
,
0
0
0
0
44
43
42
34
33
32
24
23
22
21
12
11

















b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
B
 
)
,
,
,
,
(
43
34
44
33
42
33
43
32
24
33
34
23
32
23
33
22
21
12
22
11
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b





 с рангом 4, удовлетворяет одному из требований 
(М) (максимум условие) в ней нет пропорциональных столбцов; 
(м) (условие минимум) в матрице отсутствует нулевой столбец. 
Решение некорректной задач 
При  решении  задачи  приходим  к  СЛАУ.  Затем  ищем  нормальное  или 
псевдо(нормальное)  решение 
H
C   СЛАУ.  При  помощи  найденного  вектора 
H
C  

 
99 
записываем соответствующее «решение» дифференциальной задачи. 





















4
4
44
3
43
2
42
3
4
34
3
33
2
32
2
4
24
3
23
2
2
22
1
1
21
1
2
2
12
1
1
11








C
b
C
b
C
b
C
b
C
b
C
b
C
b
C
b
C
b
C
b
C
b
C
b
 
 
 
 
(5) 
откуда 











4
33
12
3
11
2
23
12
2
33
12
1
32
23
33
22
1
1
)
(
1
C
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
C






 
4
2
24
33
11
34
23
11
3
2
23
11
2
2
33
11
1
2
33
21
2
C
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
C
















   
 
(6) 
4
32
24
11
34
22
11
34
21
12
3
2
22
11
21
12
2
32
11
1
21
32
3
)
(
C
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
C















где 
32
23
11
33
22
11
33
21
12
b
b
b
b
b
b
b
b
b




. 
Это связь называется условие решение: 
4
3
2
1







R
Q
P
 
 
 
 
 
(7) 



2
2
42
33
43
32
21
)
(
b
b
b
b
b
P


, 



2
2
43
32
42
33
11
)
(
b
b
b
b
b
Q


, 



)
(
42
23
2
43
22
11
2
43
21
12
b
b
b
b
b
b
b
b
R



 
Теперь найдем 

4
C
, которой удовлетворяет условие решение (7): 
inf
)
(
)
(
)
(
2
4
4
32
24
34
22
11
34
21
12
2
22
11
21
12
2
32
11
1
21
32
4
2
24
33
11
34
23
11
3
2
23
11
2
2
33
11
1
2
33
21
4
1
33
12
3
1
11
2
23
12
2
1
33
12
1
1
32
23
33
22
4
















C
C
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
C
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
C
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
C
J






























 
Найдем нормальное решение  


H
H
H
H
H
C
C
C
C
C
4
3
2
1
,
,
,

  
 
 
 
(*) 
3
4
2
4
1
4
4









H
H
H
H
H
H
H
C



 
где








2
2
2
1
2
32
24
11
34
22
11
34
21
12
2
2
2
1
2
24
33
34
23
2
11
2
1
2
33
2
12
2
2
)
(
)
(







b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
H





)
(
)
(
33
24
11
34
23
11
33
21
2
1
32
23
33
22
33
12
2
2
4
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
H



 
)
(
32
24
11
34
22
11
34
21
12
32
21
2
2
2
1
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b





 
)
(
32
24
11
34
22
11
34
21
12
32
11
2
2
2
1
2
33
24
2
11
2
1
2
33
2
12
2
2
4
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
H










 




)
(
33
24
2
34
23
23
3
11
2
1
33
23
2
12
3
2
4
b
b
b
b
b
b
b
b
b
H




 

 
100 
)
2
(
32
24
22
2
11
32
24
21
12
11
34
2
22
2
11
34
21
12
22
11
34
2
21
2
12
11
3
2
2
1
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b







 
и ввиду (6) 
3
1
11
1
2
1
1
1
1
1
1












H
H
H
H
H
H
H
b
C



, 
3
2
2
2
2
2
1
2
2
2












H
H
H
H
H
H
H
C



,   
3
3
2
2
3
1
3
3










H
H
H
H
H
H
H
C



. 
где коэффициенты 
H
H
H
b
b
b
b
b
b
4
33
12
32
23
33
22
1
)
(






, 
H
H
H
b
b
b
b
b
b
b
b
4
24
33
11
34
23
11
33
21
2
)
(







,  
H
H
H
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
4
32
24
11
34
22
11
34
21
12
21
32
3
)
(







, 
H
H
H
b
b
b
b
4
33
12
33
12
1






,  
H
H
H
b
b
b
b
b
b
b
b
4
24
33
11
34
23
11
33
11
2
)
(






, 
H
H
H
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
4
32
24
11
34
22
11
34
21
12
32
11
3
)
(








,  
H
H
H
b
b
b
b
4
33
12
23
12
1





, 
H
H
H
b
b
b
b
b
b
b
b
4
24
33
11
34
23
11
23
11
2
)
(







, 
H
H
H
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
4
32
24
11
34
22
11
34
21
12
2
22
11
21
12
3
)
(
)
(









 
Лемма.  Вектор  (*)  будет  «нормаль»  решение  система  линейных  уравнение  (5),  если 
выполняется условие решение (7). 
 
 
 
 
УДК 621.01 
Б.А. Кожамкулов, К.Н. Джумадиллаев, M.K. Cеррахоглу,  Э. А. Хазар 
 
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НАСОСОВ СИСТЕМ 
ОХЛАЖДЕНИЯ ДВИГАТЕЛЕЙ ТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ 
 
(г.Алматы, КазНПУ имени Абая, Sakarya üniversitesi Sakarya M. Y. Okulu, Турция) 
 
Мақалада  кӛлік  құралдары  қозғалтқыштарының  ашық  қалақты  центрден  тепкіш 
сорғылары  ӛндірімділігінің    қалақшалы  дӛңгелек  пен  ұлу  тәрізді  қаптам  арасындағы 
саңылау енінен тәуелділігінің тәжирибелік зерттеуі қарастырылған. Бұл саңылаудың, 
оңтайлы  нәтижеге алып келетін, мәнінің болатыны кӛрсетілген.  
В  статье  рассматривается  экспериментальное  исследование  производительности 
центробежных  насосов  автомобильных  двигателей  от  ширины  зазора  и  от  вида 
крыльчатки.  Показано, что существуют оптимальные значения ширины запрещенной 
зоны. 
The  article  deals  with  experimental  investigation  of  the  dependence  of  performance  of 
centrifugal pumps with the open-geared radial pumps  used in the vehicle engines on the gap 
width between the gear and  the spiral casing. It is shown that there are optimal values of the 
gap width.  
 
Введение 
Насосы  с  открытой  лопастью  –  это  насосы,  в  основном,    применяющиеся  в 
системах  жидкостного  охлаждения  транспортных  средств.  Отличительная    часть 
насосов  с  открытой  лопастью  от  других  насосов  –  это  образование  большого  зазора 
между крыльчаткой и улиткообразным кожухом.   

 
101 
 
Рис.1. Экспериментируемый насос. 1) Корпус. 2) Улиткообразный кожух.                              
3) Крыльчатка. 4) Зазор между крыльчаткой улиткообразным кожухом. 
 
Поэтому,  в  насосах  такого  типа  промежуточное  течение,  проходящее  через 
поперечную  полость  в  открытой  части  крыльчатки,  приводит  к  порче  основного 
течения и является причиной потери эффективности. Зависимость потерь от величины 
зазора  сравнивался  с  потерей  при  начальном  (нулевом)  значении  зазора.  Ширину 
зазора,  между  крыльчаткой  и  улиткообразным  кожухом  центробежных  насосов  с 
открытой лопастью, можно легко изменять  (рис.1). Помимо этого, оптимальный зазор 
трудно  получить  в  процессе  производства  насоса.  Несмотря  на  то,  что    имеются  
достаточно    большое  количество  исследований  в  области  влияния  ширины  зазора  на 
производительность  насоса,    эти  влияния  все  еще  невозможно  подсчитать.  Тем  не 
менее,    некоторые    важные  результаты  были  получены  в  работах  Y.Seneoo,  M.Ishida, 
J.Lauer и Y.Suleyman  [1, 2, 3]. 
 
1. Экспериментальная установка 
Для  того  чтобы  изучить  экспериментально  насосы  систем  охлаждения 
транспортных  средств,  была  создана  и  изготовлена  экспериментальная  установка. 
Схема этого аппарата показана на Рис.2. Экспериментируемый насос был подсоединен 
к электродвигателю мощностью  0,55 кВт. К этому электродвигателю был подсоединен 
частотомер, с экрана которого снимались показатели насоса.  
На  основе  измерения  момента  силы  на  оси  электродвигателя  за  определенные 
промежутки времени, и определенные количества оборотов были получены данные по 
силе насоса. Сначала была измерена сила, приводящая в движение насоса, в которой не 
было  воды,  т.е.  при  работе  электродвигателя  в  холостую.  Затем  повторили  опыт, 
заполнив  систему  водой,    из  получившегося  результата  вычли  первый  результат  и 
получили  выходную  гидравлическую  силу  насоса.  Количество  воды,  выкаченное  при 
помощи  насоса,  было  измерено  при  помощи  водомера,  который  был  смонтирован  в 
линию закачки воды. 
В  насосе  экспериментируемого  аппарата  при  помощи  датчика,  измеряющего  разницу 
давления,  было  измерено  давление  между  всасывающими  и  давящими  дисками  при 
промежутке  давления  0-4  бар.  Для  регулирования  ширины  зазора  на  всасывающей 
трубке (оси вращения крыльчатки) была установлена гайка. 

 
102 
 
Рис.2.  Экспериментальная  установка.  1)  Резервуар  воды.  2)  Насос.  3)  Водомер.  4)  Линия  давления.  5) 
Электродвигатель. 6) Частотомер. 7) Аппарат, измеряющий разницу давления 
 
2. Экспериментируемый насос 
Показанный на Рис.3 насос состоял из пяти частей и 20 различных частиц. Насос 
был  сооружен  так,  чтобы  во  время  опытов  можно  было  осторожно  регулировать 
ширину  зазора  и  заменять  различные  крыльчатки  с  легкостью.  Опорная  часть  насоса, 
прикрепленная 
четырьмя 
болтами 
к 
улиткообразному 
кожуху, 
является 
вспомогательной  частью  для  опоры  и  регулировки  всасывающей  трубы.    Подвижная  

жүктеу/скачать 4,82 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: