Педагогика факультеті
жүктеу/скачать 0,58 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Əдебиеттер
- Екі ондық бөлшекті қосу үшін
- Екі ондық бөлшекті көбейту үшін
1-сұрақ: Математикада сандарды атау мен жазуға жəне сандарға қолданылатын амалдарды орындауға арналған тілді санау жүйесі деп атайды. Əр түрлі халықтарда жазудың пайда болуымен қатар санаудың да белгілі бір жүйелері пайда болды. Санаудың позициялық емес жəне позициялық жүйелері бар. Позициялық емес жүйелер əрбір таңбаның əрқашан санның жасалуындағы оның алатын орнына тəуелсіз түрде бір ғана санды белгілеумен сипатталады. Римдік жүйе осы жүйенің мысалы, бұл жүйеде сандарды жазу үшін латын алфавитінің əріптері қолданылады. І – бір, V – бес, Х – он, L – елу, С – жүз, Д- бес жүз, М-мың жəне т.б. Бұл жүйедегі қолданылатын əрбір əріп əрқашан бір ғана санды білдіреді. Сондықтан үлкен сандарды жазу мейлінше қолайсыз болды. Позициялық жүйелерде бір ғана таңба оның санның жазылуындағы алатын орнына байланысты əр түрлі сандарды белгілей алады. Ондық позициялық жүйе жаппай қабылданған жүйе болып табылады, ол əуелде саусақпен санаудан басталған. Ол Үндістанда ойлап табылған, онымен арабтар айналысқан жəне араб елі арқылы Европаға жеткен.
2-сұрақ: Санаудың ондық жүйесіндегі сандарды жазу үшін (0 таңба цифр) қолданылады. Осы цифрлардың əрқайсысының өз атаулары бар жəне олар бір таңбалы теріс емес бүтін санның атауларына сəйкес келеді. Олардан сандардың қысқаша жазылуы болып табылатын шектеулі тізбектер құрылады. Ан. Х натурал санның ондық жазылуы деп оның а n 10 n + а n-1 10 n-1 + а n-2 10 n-2 + …+ а 1 10 + а 0 түрінде берілуін айтады, мұндағы а n, а n-1, а 1, а 0 коэфициенттері 0,1,2,3,4 ...9 мəндерін қабыдлайды жəне а n ≠ 0.
Ал
n 10 n + а n-1 10 n-1 + .... а 1 10 + а 0 қосындысын қысқаша а n а n-1 .... а 1 а 0 түрінде жазу қабылданған. Теорема: Кез-келген натурал Х санын х= а
түрінде көрсетіп беруге болады жəне оның былай жазылуы жалғыз ғана болады.
Теорема: Ондық санау жүйесіндегі жазылуы х 1 = а n 10 n + а n-1 10 n-1 + ... + а 1 10 + а 0 у = в m 10 m + в m-1 10 m -1 + ... + в 1 10 + в 0 түрінде көрсетілген х пен у натурал сандары берілсе жəне егер: а) n < m ə) n = m, ...., а n < в m б) n = m а n = в n , ...., а n = в n бірақ та а к-1 < в к-1 шарттардың бірі орындаса, онда х саны у санынан кем болады.
Сандардың осылайша көрсетілуіндегі 1,10,10 2 ... 10 11 сандарын сəйкес түрде бірінші, екінші, ... разрядтардың бірліктері деп атайды жəне бір разрядтың 10 бірлігі келесі жоғары разрядтың бір бірлігін құрайды, яғни көршілес разрядтың қатынасы 10-ға, яғни санау жүйесінің негізіне тең болады.
Əрбір сан разрядтарға бөлінеді, ол разрядтар оңнан солға қарай есептеледі жəне сандардың жазылуындағы алғашқы үш разряды бір топқа біріктіріп, оны бірінші класс немесе бірліктер класы, ал əрі қарай мыңдар класы, милииондар т.б. класы деп атайды. Тексеруге арналған сұрақтар: 1. Санау жүйесі ұғымын анықтаңыз; 2. Санаудың позициялық жəне позициялық емес жүйелерін тұжырымдаңыз; 3. Позициялық емес жүйеге мысал келтіріңіз; 4. Ондық санау жүйесіндегі сандардың жазылуы мен атауларының мəн-мағынасын ашыңыз; 5. Сандардың разряд бірліктеріне, кластарына мысалдар келтіріңіз.
9 - Дəріс Тақырыбы: Санаудың ондық жүйеден басқа жүйелері. Санаудың бір жүйедегі жазылуынан басқа жүйеге көшу. 1. Санаудың басқа позициялық жүйелерінде арифметикалық амалдар орындау. 2. Бір санау жүйесінен басқа жүйеге көшу. Дəрістің мақсаты: Студенттерді санаудың басқа позициялық жүйелері, бір санау жүйесінен басқа санау жүйесіне көшу мен таныстырып,алған білімдерін есептер шығаруда қолдана білуге үйрету.
машиналар. Əдебиеттер: /1/
152-154 беттер /2 ІІ тарау §10 п 3,4 /3/ ІІІ тарау §7 п 53-54 Қосымша 2. ІІ тарау §12 п 74-76 1-сұрақ. Санаудың позициялық жүйесінің негізі кез-келген Р≥2 натурал сан болуы мүмкін. Бірден артық болатын Р натурал саны санау жүйесінің негізі таңдап алынады. Санаудың Р-лық жүйесінде сандарды белгілеу үшін: 0,1,..., Р-1 сияқты символдар (белгілер) қажет болады. Мұнда да санаудың дəл ондық жүйесіндегідей кез-келген натурал санды бір ғана түрде былайша жазуға болады, яғни х = а n р n + а n-1 р n-1 + ... + а 1 р + а 0 мұндағы 1≤ а n ≤ р -1, 0 ≤ а n-1 ≤ р-1,..., 0≤ а 0 ≤ р-1. Бұл жүйе қысқаша х = а n а n-1 .... а 0 р түрінде жазады. Санаудың р-лық
жүйесіндегі а n а n-1 .... а 0 деп
оқиды, ал Р санының өзін
жүйесіндегі сандарға қолданылатын амалдар ондық жүйедегі амалдар ережелерімен орындалады. Алайда негізі Р болатын жүйелер үшін тек қана бір таңбалы сандарды қосу мен көбейтудің сəйкес кестелері болу керек. Үштік жүйедегі (р=3) қосу жəне көбейту кестесін құрайық:
+ 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 10
2 2 10 11 Мысалы, - 1212 3 + 1212
3
221 3
221
3
221 2210
- 1212 3 221
3
1212 2 3
0
* 1212
3
221 3
1212
+ 10201 10201 1201022 3
2-сұрақ. Бір ғана натурал санның өзін кез-келген санау жүйесінде жазуға болады. Сонда сандардың бір жүйедегі жазылуынан оның екінші түрде жазылуын алу үшін, берілген жүйеде жазылған сандардан ондық жүйеде жазылған сандарға жəне керісінше көшуді үйрену жеткілікті болып табылады. 1.
Санаудың Р-лық жүйесінде х=а к а к-1 ...а 0 саны берілген болсын. Осы санның ондық жазылуын табу керек, яғни санның негізі р жүйедегі жазылуынан ондық жүйедегі жазылуына көшуді жүзеге асыру керек. Ол үшін а к р к + ... а 0 саны берілген болсын. Осы санның ондық жазылуын табу керек, яғни санның негізі р жүйедегі жазылуынан ондық жүйедегі жазылуына көшуді жүзеге асыру керек. Ол үшін а к р к + ... а 0 түрінде жазу жеткілікті, ол содан кейін а к ... а 0 жəне р сандарын олардың ондық жазылуымен алмастырып жəне ондық жүйеде қабылданған ережелер бойынша көрсетілген амалдарды орындау керек. Нəтиженің ондық жазылуы ізделінді жауап болады.
Мысалы, 362 7 = 3*7 2 +6*7+2 = 191 , яғни 362 7 = 191 10 Тексеруге арналған сұрақтар: a. Санды Р-лық жүйеде жазу үшін қандай белгілер қажет, мысал келтіріңіз b. Санды Р-лық жүйеде жазу тəртібін жəне қысқаша жазу үлгісін көрсетіңіз c. Бір жүйеден екінші санау жүйесіне көшу жолын тұжырымдаңыз.Мысал келтіріңіз.
10 - Дəріс Тақырыбы: Натурал сан мен қатыстар анықтамаларының теориялық-жиындық мəн-мағынасы. Дəрістің мазмұны: 1. Натурал сан мен ноль ұғымдары 2. Теріс емес бүтін сандар жиындағы «тең» «кем» «артық» қатыстары. 3. Қосындының анықтамасы, оның бар жəне жалғыз болуы. Қосу заңдары. 4. Айырманың анықтамасы, оның бар жəне жалғыз болуы. Қосындыдан санды, саннан қосындыны азайту ерекшелерінің теориялық-жиындық мəн-мағынасы. Дəрістің мақсаты: Студенттерге теориялық – жиындық тəсіл тұрғысынан натурал сан, ноль ұғымдары мен «тең» , «кем», «артық» қатынастарының мəн-мағынасын түсіндіріп, қосу мен азайту амалдарын теориялық жиынтық тұрғыдан анықтап, олардың мəн-мағынасын ашу. Тірек сөздер: Эквивалентті жиындар класы, тең қуаттас жиындар, мөлшерлік жəне реттік сан, ноль саны, «тең» , «кем», «артық» қатынастары, жинақтық жəне ретік сан, қосу, қосынды, қосылғыш, азайту, айырма, азайғыш, азайтқыш, ауыстырымдылық, терімділік. Əдебиеттер: 1Т.К.Оспанов Математика А.2000 ж. 102-104 бет 2. О.М. Жолымбаев, Г.Е. Берікханова М-ка А.2004 ж. 87-88, 93-94 б. 3.Л.П.Стойлова А.М. Пышкало Основы начального курса математики. М. 1988 г. 126-127, 132-134
1 –сұрақ. Теріс емес бүтін сандар жиындық тəсілі тұрғысынан,натурал сан деп бос емес шектеулі бір-бірімен эквивалентті жиындар қласының ортаққасиетін айтады. Ондай тəсіл мейлінше көрнекі жəне істің шын мəнісінде мектепте өтілетіндерге дəл келеді. Алайда оның бір елеулі кемшілігі бар: негізгу ұғым- шектеулі жиын, бұл жағдайда белгісіз болып қалады. Натурал сан ұғымына негіз делмеген шектеулі жиынұғымынынң мүмкін болатын формальды анықтамалары бастапқы арифметиканың мектептің курсын құруға негіз бола алмайды.Сондықтан сандық теорияда натурал сан əуел бастан-ақ шектеулі жиын элементтерінің саны ретінде, яғни жалпы ұғым болып табылатын кез-келген жиынның құаты ұғымның жеке жағдайы ретінде қабылдағанымен, натурал сандар арифметикасын бастапқы оқыту натурал сандар туралы алғашқы
түсініктерді қалыптастырудың нақты жолдарын ескермей кете алмайды. Сондықтан натурал сандар заттарды санау кезінде қолданылады деп есептейді. . 0
2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 11 Санау процесінде реттік натурал сандарды пайдаланады, ал жиынның барлық элементтерін санап шыққан соң осы жиынның сандық сипаттамасын алады. Басқа сөзбен айтқанда санау кезінде сандық натурал катарының кесіндісін пайдаланады. Сөйтіп, теориялық – жиындық тұрғыдан алғанда сандық /мөлшерлік/ натурал сан дегеніміз шектеулі теңқұаттас жиындар класының ортақ қасиеті екен. Сонымен əрбір класқа таң бір ғана натурал сан, ал əрбір натурал санға тең құаттас шектеулі жиындар класының біреуі ғана емес сəйкес келеді. Жалпы алғанда, əрбір шектеулі М жиынына бір ғана натурал сан а = п /М/ сəйкес келеді. «Нол» санының да теориялық-жиындық түсіндірмесі бар ол бос жиынға сəйкес қатылады.
Теріс емес бүтін сандар жиыны дегеніміз – NU {0}= немесе Ź . 2 сұрақ .N жиындағы «артық» «кем» «тең» қатыстары теріс емес бүтін сандарды салыстырудың нəтижесін білдіреді. Бұл қатыстар теориялық- жиындық негізде былайша анықталады. Егер а,в,е N болса, онда а = в↔ А ~ В, мұндағы а = п /А/, в = п /В/ Егер А жəне В жиындары теңқұаттас болмаса, онда олар анықтайтын сандар əртүрлі. Ан: Егер А жиыны В жиынының меншікті ішкі жиынымен тең-құаттас жəне п /А/ = а, п /В/ = в болса, онда а санын в санынан кем деп айтады да былай жазады? А ‹ в немесе в артық а – дан, яғни в › а
0 ‹ а теңсіздігінің, кез-келген натурал а үшін ақиқаттылығы, бос / / жиынның сандардың натурал қатарының кез-кезкелген кесіндісінің ішкі жиыны болатындығына байланысты.
Натурал қатардың N кесіндісі а санымен анықталған болса, онда кем қатысын былайша да анықтауға болады. Ан: Натурал қатардың N а кесіндісі осы қатардың N в кесіндісінің меншікті ішкі жиынды болғанда, тек сонда ғана а саны в санынан кем /в артық а / болады. А ‹ в ↔ N а
N в жəне N а ≠ N в Теориялық – жиындық тұрғыдан «кем» қатысына басқаша да анықтама беруге болады. Ан. А+с = в болатын с ≠ 0 теріс емес бүтін сан болғанда, тең сонда ғана а саны в санынан кем / «в артық а»/ болады. Демек в = а+с «Теңдік» таңбасын ағылшынның математик мұғалімі Р.Рекорд /1510-1558/, ал «артық» /›/ «кем» / ‹ / таңбаларын тұнғыш рет ағылшын математигі Т.Харриот /1560-1621/ қолданған. 3 сұрақ Теріс емес бүтін сандарды қосу қос-қостан алғанда қиылыспайтын шекті жиындардың бірігу операциясымен байланысты. Осы амалды қолданып қосындыны табады. Ан: Теріс емес бүтін а мен в сандарының қосынлысы деп п/А/= а, п /В/ = в Болғандағы қиылыспайтын А жəне В жиындары бірігуіндегі элементтердің санын айтады. / ∀
∪ В/ мұндағы п /А/ =а, п/В/= в Екі қосылғыштың қосындысын анықтау бірнеше қосылғыштардың қосындысын анықтауға да мүмкіндік береді, мысалы, а+а+а+а = (/а+а/+а)+а Теорема. Теріс емес бүтін а жəне в сандарының қосындысы қиылыспайтын А жəне В жиындарды таңдап алу ретінде тəуелді емес жəне ол əрқашан бар, əрі жалғыз болады. Дəлелдеу келтіріледі
Жиындардың бірігу операциясының ауыстырымдылығы жəне терімділігінен теріс емес бүтін сандарды қосудың оларға ұқсас заңдары шығады. Қосудың ауыстырымдылығы жəне терімділігі зағдары қосылғыштардың кез-келген саны үшін де орындалады. 4 сұрақ. Теріс емес бүтін сандарды азайту жиынның толықтаушын табу амалымен байланысты. Осы амалдың көмегімен айырманы табады. Ан. Теріс емес бүтін а жəне в сандарының айырмасы деп п/А/ = а п /В/ = в жəне В ⊂
Қосындыдан санды, саннан қосындыны азайту ережелеріне теориялық- жиындың тұрғыдан түсінік беруге болады. Ол үшін символдары пайдаланып қосындыдан санды азайтудың ережесін жазамыз, егер а,в жəне с – теріс емес бүтін сандар болса, онда: а/ а > с болғанда, /а+в/-с=/а-с/+в ə/ в> с болғанда, /а+в/-с=/а+/в-с/ б/ а > с жəне в> с болғанда берілген формулардың кез-келгенін пайдалануға болады. Теорема. Теріс емес бүтін а жəне в сандардың айырмасы в ≤ а болғанда жəне тең санда ғана бар болады жəне ол жалғыз болады.
Тексеруге арналған сұрақтар: 1. Натурал сан жəне ноль ұғымдарын даму жолын түсіндіріңіз.Оларды теориялық –жиынтық тұрғыдан анықтаңыз. 2. «Кем», «артық», «тең» қатынастарын теориялық-жиынтық тұрғыдан түсіндіріп беріңіз. 3. Теріс емес бүтін екі санның қосындысын жəне айырмасын теориялық-жиынтық тұрғыдан түсіндіріп беріңіз. 4. Теріс емес бүтін екі санның қосындысының (айырмасының) бар жəне жалғыз болатындығы туралы теореманы тұжырымдап беріңіз. 5. Теріс емес бүтін сандар үшін қосу заңдарын жазыңыз. 6. Теріс емес бүтін сандардың айырмасының анықтамасын қосынды арқылы беріңіз.
11-дəріс
Тақырыбы: Теріс емес бүтін сандарға амалдардың теориялық-жиындық мəн- мағынасы. Дəрістің мазмұны: 1. Көбеітіндініңанықтамасы, оның бар жəне жалғыз болуы. Көбейту заңдары 2.Теріс емес бүтін санның натурал санға бөліндісінің анықтамасы, оның бар жəне жалғыз болуы.
3.Қалдықпен бөлу. Дəрістің мақсаты: Студенттерді теріс емес бүтін сандарды көбейту мен бөлуді теориялық-жиынтық тұрғыдан қалай анықтайтындығымен таныстыру.Қалдықпен бөлудің, қосындыны жəне көбейтіндіні санға бөлу ережелерінің теориялық-жиынтық мəн-мағынасымен таныстыру. Ті рек сөздер: Көбейтінді, көбейткіш, қосуға қатысты жəне азайтуға қатысты көбейтудің үлестірімділігі, қалдықпен бөлу, қалдық, толық емес бөлінді, ішкі жиындарға бөлшектеу, жиындарды тең санды ішкі жиындарға бөлу. Əдебиеттер: 1.Т.К.Оспанов Математика А.2000 ж. 105-114 б. 2.О.М.Жолымбаев Т.Е.Берікханова математика А. 2004 ж. 98-119, 138 - 146 3.Л.П.Стоянова А.М.Пышкало Основы школьного курса математикпи М. 1988 г. 128-132, 135-141 бет 1 сұрақ Көбейтіндіні теориялық-жиындық тұрғыдан талдап түсіндіру жиындардың декарттың көбейтіндісімен байланысты. Көбейтіндіні табу үшін қолданылатын амал көбейту деп аталады. Ан: Теріс емес бүтін а жəне в сандарының көдейтіндісі деп п/А/ = а п /в/ = болғандағы А жəнеВ жиындары көбейтіндісінің элементтер айтады: / V а, в е N / а в = п /А х В/ мұндағы п/А/ =а, п/В/=в. Егер А =Ø немесе В= Ø болса, онда Ах Ø = Øх А = Ø немесе В х Ø= ØхВ =Ø болады дейді. Екі көбейткіштің көбейтіндісін анықтау бірнеше көбейткіштердің көбейтіндісін анықтауға да мүмкіндік береді. Теорема.Теріс емес бүтін а жəне в сандарының көбейтіндісі А жəне В жиындарын /п /А/ = а, п/В/=в болатын/ таңдап алу ретінде тəуелді емес жəне ол арқашан бар жəне жалғыз болады. Жиындардың декарттық көбейтіндіс арқылы алынған көбейтіндісі арқылы алынған көбейтіндінің анықтамасын басшылыққа алып жəне жиындармен жүргізілетін осы амалдың қасиеттеріне сүйене отырып, теріс емес бүтін сандарды көбейтудің заңдарын шығарып алуға болады. Ан. Теріс емес бүтін а жəне в сандарының көбейтіндісі деп мына шарттарды қанағаттандыратын теріс емес бүтін а.в санын айтады. 1/ в>1 болғанда а·в = /а+а+а+ ....+а / в қосылғыш. 2/ в = 1 болғанда а·1= а 5. в = 0 болғанда а·0= 0 2 сұрақ. Егер қос-қостан алғанда қиылыспайтын тең санды жиындардың бірігуінде элементтердің п саны берілген болса, онда бүдан екі мəселе туындайды: 1/ п саны бойында жəне жиындардың в саны бойынша əрбір жиындағы элементтер санын табу керек. 2/ п саны бойынша жəне жиындардың бірігуіне кіретін əрбір жиындағы элементтердің а саны бойынше, сол жиындардың в санын табу керек. а = п/А/ жəне А жиыны қос-қостан алғанда қиылыспайтын тең құаттас жиындарға бөлінген болсын. Ан:Егер А жиынын бөлшектегендегі /бөлудегі ішкі жиындар саны в болса, онда əрберішкі жиын элементтердің саны ажəне в сандарының бөліндісі деп аталады. Ан: Егер А жиынын бөлшектеудегі /бөлудегі/ əрбер ішкі жиын элементтеріннің саны в болса,онда осы бөлшектеудегі ішкі жиындардың саны а жəне в сандарының бөліндісі деп аталады. а в бөліндісін табатын амалды бөлу деп атайды. Бөліндіні сондай-ақ, көбейтінді арқылы да анықтауға болады.
Ан Теріс емес бүтін а саны мен натурал в санының с= а-в бөліндісі деп.в санымен көбейтіндісі а-ға тең болатын теріс емес бүтін санды айтады. Теорема: Теріс емес бүтін а санының натурал в санына бөліндісі, егер в≤а болса ғана бар жəне ол жалғыз болады.
3 Сұрақ. Қалдықпен бөлудің теориялық-жиындық мəн-мағынасын қарастырайық. Шекті жиынын A 1 , A 2 , … A q , R жиындарын бөлуге болады дейік жəне A 1 , A
2 , … A
q теңсанды жиындар, сонымен қатар олардың əрқайсысының элементтерінің санынан R жиынының элементтерінің саны кем болсын. Сонда, егер n(A)=a n(A
1 )=…=n(A
q )=b, n(R)=r болса, онда a=bq+r (мұндағы 0≤r жиындардың саны q берілген а санын b санына бөлген кездегі толық емес бөлінді, ал R жиыны
элементтерінің саны осы бөлудегі қалдық деп аталады. Мысалы: 15:6=2 (қалдық 3) немесе
15=6·2+3 Тексеруге арналған сұрақтар:
1. Теріс емес бүтін сандарды көбейтудің анықтамасын, жиындардың декарттық көбейтіндісі арқылы беріңіз.
2. Теріс емес бүтін сандарды көбейтудің анықтамасын қосынды арқылы беріңіз. 3. Теріс емес бүтін сандардың көбейтіндісінің (теріс емес бүтінсандарды натурал санға бөлудің) бар жəне
жалғыз болатындығ туралы теорема тұжырымдап беріңіз жəне дəлелдеңіз. 4. Теріс емес бүтін сандарды көбейтудің заңдарын жазыңыз жəне оларды теориялық-жиынтық тұрғыдан
түсіндіріңіз. 5. Қалдықпен бөлудің теориялық-жиынтық мəн-мағыеасын түсіндіріңіз.
12 дəріс Дəріс мазмұны: 1. Теріс емес бүтін сандар жиынындағы сандардың бөлінгіштік қатысының анықтамасы. Теріс емес бүтін сандар қосындысының, айырмасының жəне көбейтіндісінің бөлінгіштігі. Бөлінгіштік белгілері. 2. Жай жəне құрама сандарЭратосфен елегі. Жай сандар жиынының шексіздігі. 3. Сандардың ЕКОЕ жəне Е 4ОБ олардың негізгі касиеттері. Құрама сандарға бөлінгіштік белгілері. Дəріс мақсаты.: Студенттерді бөлінгіштік қатынасы ұғымымен қосындының, айырманың жəне көбейтіндінің бөлінгіштігі туралы мəселелермен таныстырып, жай жəне құрама сандар жөнінде түсініктер беріп, жай сандардың қасиеттерімен таныстыру. Тірек сөздер: Бөлінгіштік, нольдің бөлінгіштігі, рефлексивті, антисимметриялы, қосындының бөлінгіштігі, айрыманың бөлінгіштігі, көбейтіндінің бөлінгіштігі, бөлінгіштік белгілері, жай, құрама сандар, Эратосфен елегі, өзара жай сандар. Əдебиеттер: 1. Т. Оспанов. Математика. А. 2000 ж. 157-166 бет. 2. О.Жолымбаев, Т. Берікханова. Математика. А. 2004ж. 172-200 бет.
Анықтама: Егер а-ны b-ға қалдықпен бөлген кезде қалдық нөлге тең болса, онда b санын а санының бөлгіші атайды. Басқаша айтқанда «егер а=bq болатындай q саны бар болса, онда а саны b санына бөлінеді» дейді. Бұл жағдайда а M b деп жазады. Бұл бөлінгіштік қатысының жазылуы, ол а мен b сандарына қолданылатын амалдың жазылуын көрсетпейді, яғни a:b=q деп жазуға болмайды. Ал а M b жазылуын а саны b санына бөлінеді немесе а M b – бөлінгіштік қатыс деп оқиды. Бөлінгіштік қатыстың бір қатар қасиеттері бар. 1. 0 саны кез-келген натурал санға бөлінді, 2. Нөлден өзге ешбір сан 0-ге бөлінбейді, яғни шындығында, а≠0 болсын. Барлық үшін o·b=0, олай болса a=o·b теңдігі b-ның ешбір мəнінде орындала алмайды. Демек, а саны 0-ге бөлінбейді. 3. Бөлінгіштік қатыс – рефлексивті яғни а:а. Осы қасиеттен, кез-келген теріс емес бүтін сан 1-ге бөлінеді деген қорытынды келіп шығады. 4. Егер b саны натурал сан а-ның бөлгіші болып табылса, онда b саны а-дан артық бола алмайды, яғни b≤a. Осы қасиеттен натурал сан а-ның барлық бөлгіштерінің шектеулі екендігі келіп шығады. 5. Бөлінгіштік қатыс-антисимметриялы, яғни 6. Бөлінгіштік қатыс – транзитивті, яғни
Дəлелдеулдігі өз беттерімен Теорема: Егер а 1 , ..., а
n ∈ Z 0 сандарының əрқайсысы b ∈ N санына бөлінсе, онда олардың қосындысы да осы санға бөлінеді. Дəлелдеуі беріледі. Теорема: Егер а мен b ∈ Z 0 сандары с ∈ N санына бөлінсе жəне а≥b болса онда олардың а-b айырмасы да осы санға бөлінеді. Теорема: Егер көбейткіштерінің бірі с ∈ N сананы бөлінсе, онда олардың көбейтінді де осы санға бөлінеді. Теорема: Егер а саны с-ға бөлінсе, онда ах мұндағы х ∈ Z 0 түріндегі барлық сандар да с-ға бөлінеді. Теорема: Егер аb көбейитіндісіндегі а көбейткіші m ∈ N санына, ал b көбейткіші n ∈ N санына бөлінсе, онда аb көбейтіндісі m· n көбейтіндісіне бөлінеді. Теорема: Егер қосындыдағы бір қосылғыш b санына бөлінбесе, ал қалған барлық қосылғыштар b-ға бөлінсе, олардың қосындысы b санына бөлінбейді. Дəлелдеулері өз беттерімен. Санаудың ондық жүйесіндегі х санының жазылуы бойынша оны b-ға бөлуді тікелей орындамай-ақ, х саны b- ға бөліне ме, соны білудің ережесін b санына бөлінгіштік белгісі деп айтады. Бізге x=a n 10 n + a
n-1 10 n-1 +…+a 1 10+a берілсін. Осы түрдегі санның 2, 3, 4, 5, 9, 25 сандарына бөлінгіштік белгілерін қарастырайық. 1. Егер х санының ондық жазылуы 0, 2, 4, 6, 8 цифрларының бірімен аяқталса, сонда жəне тек сонда ғана х саны 2-ге бөлінеді. Дəлелдеуі беріледі. 2. Егер х санының ондық жазылуы 0 немесе 5 цифырымен аяқталса, сонда жəне тек сонда ғана х саны 5-ке бөлінеді. 3. Егер х санының ондық жазылуындағы соңғы екі цифрдан құралған екі таңбалы сан 4-ке бөлінсе, сонда жəне тек сонда ғана х саны 4-ке бөлінеді. 4. Егер х санының ондық жазылуы не ені нөлмен, не 25-пен, не 50-мен, не 75-пен аяқталса, сонда жəне тек сонда ғана х саны 25-ке бөлінеді. 5. Егер х санының ондық жазылуындағы цифрлардың қосындысы 3-ке бөлінсе, х саны 3-ке бөлінеді. 6. Егер х санының ондық жазылуындағы цифрлардың қосындысы 9-ға бөлінсе, сонда жəне тек сонда ғана х саны 9-ға бөлінеді. Дəлелдеулері өз беттерімен. 2 сұрақ / Ύ а е № / санды қарастырайық.Егер а = 0 болса, онда нөл саны кез-келген натурал санға бөлінеді. Сонда а санының шексіз көп əр түрлі бөлгіштерінің болатындығы өзінен-өзі айқын. Ал а е № саны үшін, бөлгіштердің шектеулі санын аламыз,өйткені а в болғандықтан 1 ≤ в ≤ а,яғни в үшін а-дан аспайтын əр түрлі мəндер болады. Натурал сандардың ішінде 1 санының алатын орны ерекше, өйткені оның бір ғана натурал бөлшегі, бар,ол-1 санының өзі. Егер а>1 долса, онда а-ның кем дегенде екі əр түрлі бөлгіштері: 1 жəне а бар болады.Ан: Бірден артық натурал сан егер тең өзіне жəне бірге бөлінсе, онда ол жай сан леп аталады:Натурал а саны егер а d. Мұндағы 1‹ d ‹ а, онда ол құрама сан деп аталады. Бастапқы жай сан 2 болып табылады. Сондықтан əуелі 2-ден п-ге дейінгі барлық натурал сандарды көшіріп жазады, содан кейін 2 санының өзінен басқа 2-ге еселік болатын сандарды үстінен сызады. Екіден кейінгі қалатын бірінші сан 3 болып табылады. 3 санының өзінен басқа 3-ке еселіп болатын барлық санды сызады. Келесі қазанда 5-ке еселін сандарды сызады.Үш ретсызғаннан кейін қалатын сандар не 2-ге, не 3-ке бөлінбейді, яғни олардың жай көбейткіштері ең жөн дегенде 7-ге тең болуы керек. Теорема: Егер натурал сан 1-ден артық болса, онда оның ең болмағанда бір жай бөлгіші болады. Дəлелдеуі келтіріледі. Теорема: Құрама сан а-ның ең кіші жай бөлгіші а-нен асып кетпейді. Дəлелдеуі өз беттерімен.Жай сандардың алғашқы кестесін,ежелгі грек математигі Эратсфен құрастырған оның жасаған əдісін қазірде Эратосфен Елегі /торы/ деп атайды. Теорема /Жай сандар туралы Евклид теоремасы/.Жай сандар жиыны шексіз Дəлелдеуі беріледі. Жай сандардың жиыны шексіз. Дəлелдеуі беріледі.Жай сандардың 1. Егер жай саны 1-ден өзге қандай да бір нетурал п санына бөлінсе, онда ол п-мен беттеседі /бірдей болады/
2.Егер мен əр түрлі жай сандарболса, онда саны ға бөлінбейді жəне керісінше болады. 3. Егер екі а саны санына бөлінбесе, онда а жəне озара жай сандар болады. 4. Егер екі натурал а жəне в сандарының көбейтіндісі жай санына бөлінсе, онда олардың ең болмағанда біреуі ға бөлінеді. 3 сұрақ Екі натурал а жəне в санын алайық. Ан: Егер м саны а санына да жəне в санына да еселік болса, онда ол осы сандардың ортақ еселігі деп аталады. Берілген а жəне в сандарының ортақ еселіктерінің бірі олардың ав көбейтінді болып табылады,жəне ол көбейтнді а-ға да, в-ға да бөлінеді.
Сонда а жəне в сандарына ортақ еселік болатын сандардың жиыны в –ға да еселік жəне а-ға еселік сандар жиындарының қиылысуы болып табылады. Ан: Берілген а жəне в сандарының ортақ есіліктерінің ең кішісін осы сандардың ең кіші ортақ есілігі /ЕКОЕ/ деп атайды. Осы «а саны в санына еселік» қатысына қай тысты алғанда «в саны а санының бөлгіші» қайтысы кері болып табылады. Ан: Егер а жəне в сандары с санына бөлінсе, онда с-ны бұл сандардың ортақ бөлгіші деп атайды. Ал а жəне в сандарының ортақ бөлгіштерін табу үшін а саны бөлгіштерінің жиыны мен в саны бөлгіштері жиынының қиылысуын табу керек. Ан: Берілген а жəне в сандары ортақ бөлгіштерінің ең үлкенін осы сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші /ЕОБ/ деп айтады. Теорема: Егр с саны натурал а жəне в сандарының ортақ бөлгіші болса, /яғни а = а,с в = в,с/, онда l = саныда жəне в сандарының ортақ есілі болады. Дəлелдеуі келтіріледі.
Теорема Егер мұндағы К= Е КОЕ /а,в/ болса, онда а жəне в сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші d ,болып табылады. Дəлелдеуі беріледі 1-салдар Екі натурал санның ең үлкен ортақ бөлгіші мен олардың ең кіші ортақ еселігінің көбейтіндісі осы сандардың көбейтіндісіне тең болады. Шынында да, ЕКОЕ /а,в/ Е4ОБ /а,в/ 2-салдар. Екі өзара жай натурал сандардың ең кіші артақ есілі осы сандардың көдейтіндісіне тең. 3 салдар Берілген натурал а жəне в сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші d осы сандардың кез-келген ортақбөлгішіне бөлінеді. 4 салдар. Егер натурал а жəне в сандарының көбейтіндісі ав натурал м санына бөлінсе, сонымен бірге а жəне м өзара жайт сандар болса, онда в саны м санына бөлінеді. Дəлелдеулері өз беттерімен. Теорема: Дерілген х саны құрама а= вс санына бөлінуі үшін, мұндағы Е4ОБ /в,с/ = 1, ол санның в-ға да жəне с-ға да бөлінуі қажетті жəне жеткілікті болып табылады. Дəлелдеуі өз беттерімен Е 4ОБ /в,с/ = 1.осы жалпы түжырымнан, екі өзара жай сандардың көбейтіндісі болып табылатын сандарға бөлінгіштік белгілері келіп шығады. Мыс: «Натурал сан х саны 21-ге бөлінуі үшін, х-тің 3-не де жəне 7-ге де блінуі Қажетті жəне жеткілікті. Е 40Б /3,7/ = 1жəне х::3,х:7 болғандықтан, бүдан х: 21 шығады. Тексеруге арналған сұрақтар: 1. Теріс емес бүтін сандар жиынындағы бөлінгіштік қатынасты анықтаңыз. 2. Бөлінгіштік қатынастың қасиеттерін негіздеп беріңіз жəне тұжырымдаңыз. 3. Қосындының,айырманың жəне көбейтіндінің бөлінгіштігі туралы теоремаларды тұжырымдап беріңіз. 4. 2,3,4,5,9,25 сандарына бөлінгіштік белгілерін негіздеп беріңіз, тұжырымдаңыз. 5. «Жай сан», «құрама сан» ұғымдарын анықтап беріңіз. 6.Жай сандар туралы Эвклид теоремасын тұжырымдап беріңіз. 7. ЕКОЕ жəне ЕҮОБ-терін табуға мысалдар келтіріңіз. 13- дəріс.
Тақырыбы: Сан ұғымының кеңеюі. Дəріс мазмұны: 1. Сан ұғымын кеңейту мəселесі. 2. «Теріс сан» ұғымының пайда болу тарихы. 3. Теріс бүтін сандар. 4. Рационал сандар. Дəрістің мақсаты: Студенттерді сандар жиынын кеңейтудің қажеттілігімен, «бөлшек сан», «теріс сан» ұғымдарының пайда болуымен таныстыру. Бүтін сандар мен рационал сандарғ амалдар орындау үлгілерімен таныстыру. Тірек сөздер: Сан ұғымын кеңейту, шаманың өлшемі, бөлшек, ондық бөлшек, теріс сан, бүтін жəне бөлшек теріс сан, қайтымдылық жəне қысқартымдылық, реттелген, тығыздылық, бөлшек бөлімі мен алымы, бөлшектерді қысқарту, тең бөлшектер. Əдебиеттер. 1. Т.Оспанов Математика А. 2000 ж. 171-178 бет. 2. О.Жолымбаев, Т.Берікханова Матиматика А. 2004 ж. 202-205 241-246. 1 сұрақ. Сан ұғымын кеңейтуге қатысты мына сияқты талаптар қойылады.
1) Кеңейтілген А 1 жиыны кеңейтілетін, бастапқы А жиынын, өзінің ішкі жиындарының бірі ретінде қамтуы тиіс; 2) Кеңейтілетін А жиынындағы амалдар мен қатынастар кеңейтілген А 1 жиыны үшін де дəл солай анықталуы тиіс, сонымен бірге олардың А 1 жиынындағы мəн-мағнасы кеңейтілгенге дейін, А жиынында орын алған мəн-мағнасымен дəл келіуі керек. 3) А жиынындағы орындалмайтын (немесе ішінара орындалатын) амалдар А 1 жиынында орындалу тиіс. 4) Кеңейтілген А 1 жиыны 1-3 талаптарды қанағаттандыратындай етіп А жиынына қатынасты орындалатын барлық мүмкін кеңейтулердің ішіндегі ең минимал жиын болуы тиіс (яғни 1-3 талаптарды қанағаттандыратыдай жəне А ⊂ В
⊂ А 1 шартын орындалатындай аралық В жиыны бар болмауы керек). А сандық жиынды А 1 жиынына дейін кеңейтудің əр түрлі оқу құралдарында қарастырылған бірнеше тəсілдері бар: а) А жиынында 1-4 талаптар орындалатыны тағайындалады; ə) белгілі А сандық жиынды K A A ∪ = 1 жиыны үшін 1-4 талаптар орындалатындай етіп К жиыны мен толықтыруға болады. Мектептің матиматика курсында сан ұғымын кеңейту оның тарихи дамуына сəйкес қарастырылады: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. 2 сұрақ Бөлшек сандар əр түрлі шамаларды – ұзындықты, салмақты, ауданды жəне т.с.с. өлшеу үрдісіне байланысты пайда болған. Мысыр елінде алымы 1- ге тең болатын бөлшектер кеңінен қолданылған. Ежелгі Грецияда да алымы 1- ге тең бөлшектер қарастырылған. Бөлшек санды жазып көрсетуге бөлшек сызығын пайдалану Леонардо Визанскиидің (ХІІІ ғасыр) еңбектерінде кездеседі. Алайда бөлшекті бөлшек сызығы арқылы жазып көрсету XVI ғасырдан бастап қана жаппай қолдана бастады. Бөлшек сандарды жазудың ең ықшам жəне қолайлы түрі, ондық бөлшектерді Əл-Коши (1427ж) енгізген. XVIІ ғасырдың басында ондық бөлшектерді жазуда, айыру таңбасы ретінде, үтір немесе нүкте қолданыла бастады. Оны ұсынған Дж.Непер. Алайда ең қолайлы таңба австрия астрономы И.Кеплер ұсынған бірліктер разряды мен ондық үлестер разряды арасын үтір арқылы айыру. Сан ұғымының тарихи дамуында теріс сандарды қарастыруға келтірілген негізгі себеп- арифметикалық теория мен оның қолданбалы салаларының мұқтаждығы болып саналады. Өйткені натурал сандар жиынын ең қарапайым арифметикалық амал, қосу амалы кері амал-азайтуды да əрқашан орындалатындай етіп кеңейту қажет болды. Теріс сандар сондай-ақ əр түрлі теңдеулердің шешулерін зерттеуге байланысты пайда болған. Өлшемдес болмайтын кескіндердің барлығы б.э.д. ІV ғасырда Пифагор мектебінің математиктері ашқан «иррационал сан» тарихы өте күрделі. Оны түсіндіру ерте заманда үлкен қиындықтарға соқтырды. Алайда математиктердің иррационал сан ұғымын енгізіп, мұндай сандар мен оның жуық мəнін шектеусіз ондық бөлшек түреінде жазып көрсету тəсілін қалыптастыру үшін де бірнеше ғасыр уақыт қажет болды. Сонымен иррационал сандар – рационал бола алмайтын нақты сандар. 3 сұрақ. Теріс емес бүтін сандар жиынында азайту амалының ішінара орындалатынын білеміз, олай болса N
0 жиынын кеңейту қажеттігі туындайды. Біз оны теріс бүтін сандарды қосу арқылы кеңейтеміз. N 0
0 жиынын қосу жəне азайту амалдарының осы жиындағы қасиеттері сақталатындай етіп анықталатын Z жиынына дейін кеңейтейік, яғни соңғы Z жиынындағы қосуға кері амал азайту əрқашан орындалатын болсын жəне реттік қатынас анықталсын. N натурал (Z + - оң бүтін сандар) жиынын алып, əрбір + ∈Z x санына – х (минус икс саны) деп белгіленген жаңа санды сəйкестендірейік. Ал – х, мұндағы + ∈Z x түріндегі сандарды бүтін сандар деп атап жəне олардың жиынын Z - деп белгілеуге келісейік. Сонымен бірге, О санын да алайық. Ал бүтін сандар жиыны деп мынадай { } 0
∪ = − + Z Z Z жиынды айтады. Z жиынның элементтері бүтін сандар деп аталады. Z + жиынынан алынған сандар оң бүтін сандар деп, оларды «+» таңбасымен белгілеуге болады. «+» - «плюс».
Z – жиынынан алынған сандар теріс бүтін сандар деп, оларды «-» таңбасымен белгілейді. «-» - «минус». Қандай да бір натурал саны үшін + п жəне – п сандарын қарама –қарсы сандар деп атайды. О санына қарама –қарсы сан 0 болып есептеледі. Кез келген бүтін х санына қарама-қарсы санды –х деп белгілейді. Сондай-ақ, кез-келген бүтін х саны үшін –(-х)=х теңдеуі орындалатыны түсінікті. Анықтама : Бүтін х санының модулі (немесе абсолют таңбасы) деп бүтін екі х жəне –х сандарының теріс емесін айтады. Оны
деп белгілейді. Санның модулін, сондай-ақ мына түрде анықтайды.
= ∈ − ∈ = − + 0 0
егер Z x егер x Z x егер x x
Анықтама: Кез-келген Z в а ∈ , үшін а+в қосындысы мына төмендегі ережелер бойынша анықталады: 1) Егер Z с в а ∈ , , болса, онда Z + жиынтығы а+в қосындысы N жиынтығы а мен в-ның қосындысымен дəл келеді. 2) a+0=0+a=a 3) егер
, болса, онда а+в = - ( b a + ) 4) Айталық + ∈Z а − ∈Z в
егер b a > болса, онда а+в = в+а = b a −
егер b a < болса, онда а+в= в+а = - ( a b − ) егер b a = болса, онда а+в= в+а = 0 Ан: Кез-келген
, үшін а-в көбейтіндісі былай анықталады: 1) егер а мен в сандарының біреуі 0-ге тең болса, онда а · в= 0 2) егер а мен таңбалары бірдей болса, көбейтінді оң əр түрлі болса теріс. Z жиынындағы бөлу амалы Z + жиынындағы сияқты əрқашан орындала бермейді. Z жиынында азайту амалы əрқашан орындалады. 4 сұрақ: Кесіндінің ұзындығы бірғана санмен өрнектеуге тиіс болғандықтан, тең бөлшектер бір ғана санмен əр түрлі жазулары деп есептеледі. Ал ол санның өзі оң рационал сан деп аталады. Сонымен оң рационал сан үшін осы санның жазылуы болып табылатын бір жəне тек бір ғана қысқартылмайтын бөлшек бар болады. Теорема: Кез келген рационал а саны үшін оны өрнектйтін алымы мен бөлімі өзара жай сандар болатын, бір жəне тек бір ғана бөлшек табылады. Енді рацонал сандар жиынының сан өсінің нүктелері ретінде геометриялық кескін көрсетейік. Мысалы: 4 3 рационал санын сан өсіне салайық. Ол үшін бірлік кесіндіні 4-ке бөліп, бір бөлігін 3 рет алып, ось бойында 4 3
Ан: Рационал сай деп q p түрінде жазуға болатын өзара жай, бүтін p жəне q сандарының жұбын айтады. Кез-келген бүтін санды бөлімі 1 бөлшек түрінде жазуға болады, олай болса бүтін сандар рацонал сандардың дербес жағдайы, ал барлық рацонал ) 1 ( >
q p сандары Z жиынына тиісті емес, жаңа сандар болып табылады. Барлық рационал сандар жиынын Q деп белгілейді.
{ } Q Z Q Q Q ⊂ ∪ ∪ = − + 0 , Z Q Z I + + =
Z Q Z I − − =
Q жиынын барлық мүмкін болатын t S (t
≠ 0)(S,t
Z ∈ ) өрнектерінің жиыны деп те қарастыруға болады. Кез-келген S,t Z ∈ (t ≠ 0) үшін мына қатынастар орындалады: 1)
− = −
2) t S t S = − − 3)
0 =
S сонда жəне тек сонда ғана, егер S=0 болса. 4) 1
t S сонда жəне тек сонда ғана, егер S=t болса. Тексеруге арналған сұрақтар: 1. Сан ұғымын кеңейтудің қажеттігін түсіндіріз жəне кеңейтуге қатысты талаптарды атаңыз. 2. «Бөлшек сан», «теріс сан» ұғымдарының дамуын түсіндіріңіз. 3. Теріс бүтін сандар, бүтін саның модулі ұғымдарын түсіндіріңіз, мысалдар келтіріңіз. 4. «Бөлшек», «тең бөлшектер» ұғымдарын анықтаңыз. 5. Бөлшектің негізгі қасиетін тұжырымдап беріңіз. 6. «Қарама-қарсы сан», «кері сан» ұғымдарын анықтаңыз. 7. Бүтін сандарға жəне рационал сандарға амалдарды негіздеп беріңіз, мысалдар келтіріңіз. 8. Бүтін сандар жəне райионал сандар жиындарының қасиеттерін атаңыз.
14-дəріс Тақырыбы: Ондық бөлшектер. Дəріс мазмұны: 1. Ондық бөлшектер, қасиеттері жəне оларға қолданылатын арифметикалық амалдар. 2. Жай бөлшекті периодты ондық бөлшекке жəне кері айналдыру. 3. Иррационал сан үғымы 4. Нақты сандар жиыны, қасиеттері жəне оларға қолданылатын арифметикалық амалдар. Дəріс мақсаты: Студенттерді ондық периодты бөлшектермен жəне иррационал сан ұғымымен, ондық бөлшекті жай бөлшекке жəне керісінше айналдыруды көрсету, нақты сандарға амалдарды көрсету,сандарды дөңгелектеумен таныстыру. Тірек сөздер: Период, периодты ондық бөлшек, шектеусіз периодты ондық бөлшек, таза жəне аралас периодты ондық бөлшек, шектеусіз периодсыз ондық бөлшек, иррационал сан, жуық мəн, кемімен жəне артығымен алынған жуық мəн, дəлдік, абсолют шама, салыстырмалы жəне абсолют қателік, мəнді цифр, ондық таңба, үздіксіздік. Əдебиеттер: 1. Т.Оспанов Математика А., 2000 ж., 197-200 бет. 2. О.Жолымбаев \, Т.Берікханова Математика А., 2004 ж., 226-236 бет.
1 сұрақ. Ак.:Ондық бөлшектер деп позициялық ондық санау жүйесінде жазылған бөлімдері 10-ның дəрежесіне тең болатын жай бөлшектерді, яғни m 10 n (мұндағы m,n €N ) бөлшектерді айтады. m = m к , m
к-1 ••• m
0 = m
к 10 к + m к-1
+ ,,,+ m 0
Ак. Ондық бөлшекте үтірден кейін орналасқан цифрлар ондық таңбалар деп атайды.
Ондық бөлшектердің, анқытамасынан келіп шығатын қасиеттері: 1) Ондық бөлшектің жазылуында қатар тұрған екі қатардың сол жағындағысының разрядтық бірлігі оң жағындағысына қарағанда он есе артық болады. 2) Ондық бөлшекті 10 к санына көбейту үтірді оңға қарай к цифрға жылжыту, ал оны 10 к санына бөлу үтірді солға қарай к цифрға жылжыту арқылы жүзеге асырылады. 3) Ондық бөлшекке нөлдер тіркеп жазғаннан жəне ондық бөлшектің соңындағы нөлдері алып тастағаннан оның мəні өзгермейді, яғни натурал m,n жəне S сандары қандай болса да m жəне 10 S m бөлшектері тең болады. 10 n 10 n+s
4) Екі ондық бөлшекті ортақ бөлімге келтіру үшін олардың ондық таңбалары кемінің соңына, олардыңондық таңбалары бірдей болатындай етіп нөлдер тіркеп жазу жеткілікті. 5) Екі ондық бөлшектің қайсысының бүтін бөлігі артық болса, сол артық болады. Бүтін бөліктері тең болатын екі ондық бөлшектің тең емес ондық таңбаларының ішіндегі біріншісі қайсысында артық болса, сол ондық бөлшек артық болады. Теорема: Қысқартылмайтын m бөлшегі ондық бөлшекке тең болады үшін, оның n бөлімінің жай көбейткіштерге жіктелуіне тек 2 немесе 5 сандарының енді қажетті жəне жеткілікті болады.
Шамаларды, атап айтқанда ұзындықты өлшеу үшін рационал сандар қоры жеткіліксіз болады. Мəселен, қабырғалары өлшем бірлігіне тең болатын шаршы диогоналіның ұзындағын ешқандай рационал санмен бағалауға болмайды. Теорема: Шаршының диогоналі мен қабырғасы өлшемдес емес, яғни ұзындықтың бірлігі ретінде шаршының қабырғасын алсаң, онда осы шаршының диогоналының ұзындығын оң рационал сан арқылы өрнектеу мүмкін болады.
Сонымен бұл санның жиындары өңай əрі кеңейтудің қажеттігі туралы қорытынды кем Бүған дейін қарастырылған жəне құрылған рационал сандарды тегі жаңа – иррационал сандармен толықтыру керек болады. Осы сандардың көмегімен ұзындықтың таңдап алынған өлшем бірлігімен өлшемдес болмайтын кесіндінің ұзындығын таңдап алынған өлшем бірлігімен өлшемдес болса, онда өлшеуді\ң нəтижесі рационал санмен өрнектеледі. Сонымен, біз кесіндінің ұзындығын өлшеу үрдісі арқылы иррационал сан ұғымына келдік. Иррационал сандарды қандай да бір рационал саннан түбір табу барысында да шығарып алуға болады.
Иррационал сөзі латынның – ақыл –ойға сыймайтын, негіздеуге болмайтын /ақыл – ой көмегімен санап шығуға болмайтын/ -деген сөзінен шыққан. 4 сұрақ. Рационал сандар мен иррационал сандар жиынының бірігуі нақты сандардың R = Q ~JНақты сандардың R жиыны мен координаталық түзу нүктелерінің жиыны өзара бір мəнді сəйкестікте болады: əрбір нақты санға координаталық түзудің бір ғана нүктесі сəйкес келеді жəне координаттық түзудің əрбір нүктесіне бір ғана и нақты сан сəйкес келеді.Кез-келген х пен у сандары үшін мына: х < у, х > у, х = у жағдайлардың біреуі, тең біреуі ғана ақиқат болады. R жиынындағы «артық» «кем» қатынастары қатаң сызықты кестік қатынас болып табылады, яғни «кем» қатынасы ассиметриялы, транзитивті жəне х ±у болғанда не х < у, не у < х .R жиыны реттелген жиын R жиынында ең үлкен элемент те, ең кіші элементке болмайды. Сондықтан R жиынының алынған кез-келген екі санның арасындағы шексіз көп нақты сандар жатады, сондықтан R жиыны тығыздалған жиын болады. R жиыны үздіксіз қасиетке ие болады. R жиының үздіксіз қасиетін былайша тұжырымдайды: егер сандық х жиыны сандық у жиыны сол жағында орналасса, онда осы жиындардың бөліп тұратын ең болмағанда бір сан табылады. Үздіксіз қасиетінің мəн-мағынасы мынада: R жиыныңда натурал сандардың N жиынындағыдай «секірмелелілік» те, сондай – ақ рационал сандардың Q жиынын дағыдай «қуыс» та болмайды. Оң рационал сандары қолданылатын амалдар, мағынасы жағынан, натурал сандарға қолданылатын амалдарды келтіріледі Ал иррационал сандарға қолданылатын амалдарды рационал сандарға қолданылатын амалдарды əкелуге бола ма? Ол үшін алдымен нақты санның артығымен жəне кемімен алынған жүық мəні деген ұғымды еңгізу керек
А = п,п,п,…п … -ұандай да бір нақты сан болсын, а санының дəлдігі бойынша кемімен алынған жүық мəніндегі соңғы п цифры 1-ге арттырады.Кез-келген нақты сан үшін а теңсіздігі тура болады. Мысалы: нақты санының 0, 001 дейінгі дəлдік пен кемімелі алынған жуық мəні 1,782 ал артығымен алынған жазық мəні 1,2733 болады. А жəне в нақты сандары беріліп, а в олардың сəйкес келенімен а в артығымен асылған жуық мəндері болсын. Ан: Он нақты а жəне в сандарының қосындысы деп а + в < а+в/ теңсіздігін қанағаттандыратын а + в санын айтады. Мысалы: қосындысын 0, 001-ге дəлдікпен табайық. Берілген сандардың 0,001-ге дейінгі ондық жақтауларын аламыз. 1,4142 < 1,41143 1,7320 < 1,7321 Сонда: 3,1462 + 3,1464, 0,001 –ге дейінгі дəлдікпен алынған қосынды + 3,146 болады.
Ан: он қатысы а жəне в сандарының көбейтіндісі деп а Теңсіздігін қанағаттандыратын ав санын айтады. R – жиынындағы амалдар мен олардың қасиеттері өз беттеріңмен. Тексеруге арналған сұрақтар: 1. Рационал санды шексіз периодты ондық бөлшек ретін анықтаңыз жəне оны өрнектеудің алгоритімін тұжырымдап беріңіз. 2. «Периодты бөлшек» ұғымын анықтаңыз. 3. Периодты ондық бөлшекті жай бөлшекке жəне керісінше айналдыру алгоритмін тұжырымдап беріңіз. 4. Иррационал сан ұғымын анықтаңыз. 5. Нақты сандарға амаолдарды анықтаңыз. 6. Сандарды дөңгелектеу ережесін тұжырымдаңыз. 7. «Абсолют қателік», «салыстырмалы қателік», «санның жуық мəні», «санның жуық мəнінің ондық таңбалары», «санның жуық мəнінің мəнді цифрлары» ұғымдарын анықтаңыз.
8. Нақты сандар жиынының қасиеттерін атаңыз 13 дəріс
Тақырыбы: Ондық бөлшектерге амалдар қолдану Дəріс мазмұны: 1.Ондық бөлшектерді қосужəне азайту 2. Ондық бөлшектерді көбейту жəне бөлу Ондық бөлшектерді қосу ережесі былайша тұжырымдалады: Екі ондық бөлшекті қосу үшін: 1) Бұл бөлшектердің, қажет болған жағдайда біреуінің соңына нөлдер тіркеу арқылы үтірден кейінгі ондық таңбаларының санын теңестіреді; 2) бөлшектердің үтірлерін ескермейді де, сонда шыққан натурал сандарды қосады; 3) қосылғыштардың əрқайсысында үтірден кейін қанша таңба болса, қосындыда сонша таңбадан соң үтір айырылады. Ондық бөлшектерді азайту ережесі де тура осылайша енгізіледі. Жалпы жағдайда, ондық бөлшектерді көбейту ережесі төмендегіше тұжырымдалады.
1. Олардың жазылуындағы үтірлерді алып тастайды; 2. Сонда шыққан натурал сандарды көбейтеді; 3. бірінші жəне екінші көбейткіштерде үтірден кейін барлығы қанша цифр болса, нəтиженің соңғы сонша цифрларын үтірмен айырады, яғни егер бірінші көбейткіште үтірден кейін p цифр, ал екіншісінде g цифр болса, онда нəтижеде оңнан солға қарай соңғы p+ g цифрды үтірмен айырады. Бөлу ережесі. Ондық бөлшекті ондық бөлшекке бөлу үшін: 1. бөлгіште үтірді, ол бүтін санға айналатындай етіп жылжытады; 2. бөлінді өзгермес үшін бөлгіште үтір қанша орынға жылжытылса, бөлінгіште де оны сонша орынға жылжытады. 3. мұнан кейін бөлу үйреншікті / «бұрыштап бөлу»/ тəсіл бойынша орындалады; 4. бөліндіде бөлінгіштің бүтін бөлігі таусылған кезде үтір қойылады. 5. «бұрыштап бөлу» барысында бөлу аяқталғанша бөлінгішке нөлдер тіркеп жазылады. 2-сұрақ: Қысқартылмайтын р өрнектелетін а санын ондық бөлшекке айналдыру g үшін натурал р санын натурал g санына бөлу керек.
Бұл жағдайда пайда болатын қалдықтар g-дан кем, яғни мына 0,1,2 ..., g-1 түрдегі сандар болатыны өзінен-өзі айқын.
Егер бөлу процесінің белгілі бір қадамында қалдық нөлге тең болса, онда бөлу аяқталады да а = р санының ондық жазылуы ондық таңбалардың шектеулі
g тізбегімен, яғни шектеулі ондық бөлшекпен өрнектеледі. Егер əрбір қадамда пайда болатын қалдықтардың барлығы нөлден өзгеше болса, онды бөлу ешқашан аяқталмайды. Шынында да əр түрлі қалдықтар саны шектеулі болатындықтан белгілі бір қадамнан бастап қандай да бір қалдық қайталанады, демек бөлінді де цифрлар қайталана бастайды. Осылайша қацталанатын цифрлар период құрайды. Мұндай бөлшекті қайталанатын цифрлар тобын жақшаға алу арқылы жазып көрсетеді жəне қайталанатын цифрлар тобын бөлшектің периодты деп атайды. Мысалы: 8 = 0,1 (45) 3 = 0, (27) 1 = 0, (3), 15 = 0,46875 (0). 55 11 3 32 Егер қысқартылмайтын бөлшектің бөлімінің жай көбейткіштерге жіктелуіне тек 2 мен 5 қана енсе, онда ол шектеулі ондық бөлшекке, ал жіктелуіне 2 мен 5 енбесе, онда таза периодты ондық бөлшекке, ал жіктелуіне 2 мен 5 тен басқа да сандар енсе, онда аралас периодты ондық бөлшекке айналады. Енді шексіз периодты ондық бөлшекті қалай жай бөлшекке айналдыруға болады. Сонымен танысайық. Айталық, периодты 0, (24) бөлшегі берілсін. Оған сəйкес болатын санда а деп белгілейік, онда а= 0,24,2424 .....
егер үтірді оңға қарай екі орынға жылжытсақ, а саны 100 есе артады, яғни 100 а = 24,2424 .... Немесе 100а = 24+а 2424 .... Сонымен 100 а = 24+а. Соңғы теңдеуді шешсек 99а = 24 а = 24 = 8. Бұдан 24- бір мезгілде 24 бөлшегінің алымы
99 33 99 жəне 0, (24) бөлшегінің периодты екенін байқау оңай. Осылай периоды 0,7 (61) бөлшегін де жай бөлшекке айналдыру ережесін шығарып алуға болады. Сонымен: 1. Таза периодты шексіз ондық бөлшек алымы оның периодына, ал бөлімі периодта қанша цифр болса, сонша тоғыздықтан тұратын сан болатын жай бөлшекке тең.
2. Бүтін бөлігі нөлге тең болатын аралас периодты шексіз ондық бөлшекке алымы екінші период басталғанға дейінгі цифрлардан тұратын сан мен бірінші период басталғанға дейінгі цифрлардан тұратын санның айырмасы, ал бөлімі периодта қанша цифр болса сонша тығыздықтардан жəне бірінші период басталғанға дейін қанша цифр болса, сонша нөлдерден тұратын жай бөлшекке тең. 6. Практикалық, семинарлық, лабораториялық сабақтардың жоспарлары № Тақырыбы Практикалық сабақтың мазмұны Апта Əдебиеттер 1 Жиындар теориясының ұғымдары. Жиындарға амалдар. Жиындар
ұғымдары мен
олардың берілу тəсілдері. Эйлер дөңгелектерін қолдану. Жиындардың қиылысуы, бірігуі жəне айырмасы.
1 /1/
19-20 б. /3/
ІІ тарау. § 1. п.1,3. 1,4. 1,5. 2,2. 2,3. 2,7. 3,1. 3,5. 4,1. 4,2. 4,3. 5,1.
Жиындардың декарттық көбейтіндісі жəне
амалдардың заңдары.
Жиындардың декарттық көбейтіндісі. Жиынды қос-
қостан алғанда қиылыспайтын ішкі
жиындарға бөлшектеу. Қиылысудың жəне
бірігудің заңдары.
/1/
22-23 /2/
21-22 б. /3/
ІІ тарау. § 1. п. 6,1. 6,2. 6,5.
Сəйкестіктер жəне олардың түрлері.
сəйкестік түрлері. Сəйкестіктің графы мен графигі. Бейнелеу графі мен графигі.
/3/
ІV тарау. § 1. п.1,1. 1,2. 1,3. 2,3.
Жиындағы қатынастар жəне оның қасиеттері.
Жиындағы бинарлық қатынас. Бинарлық қатынастың графы мен графигі. Реттік қатынастар жəне олардың графтары.
4 /3/
ІV тарау. § 1. п. 3,2. 3,3. 3,4. 3,17. 3,18.
Комбинаторикалық есептер.
Шекті жиындардың бірігуіндегі жəне декарттық көбейтіндісіндегі элементтерінің санын табу; шекті жиынның əр түрлі элементтерінен алынған барлық ішкі жиындардың санын табу.
5
/3/ ІІ тарау. § 2 п. 1,2. 1,3. 1,4. 1,6. 2,3. 2,6. 2,7. 2,8.
Қайталамалы жəне қайталаусыз орналастырулар, алмастырулар, терулер.
жəне көбейтінді ережесі. Қайталамалы жəне қайталаусыз орналастырулар, алмастырулар ,терулер санын табу.
6 /3/
ІІ тарау. § 2. п. 3,1. 3,2. 4,1. 5,1. 5,2.
Пікірлерге қолданылатын амаладар жəне олардың заңдары.
Пікірлерді теріске шығару,
пікірлер конъюкциясы, дизъюкциясы, импликациясы, эквиваленциясы. Тавтология. Конъюкциялық жəне
дизъюкциялық коммутативтігі мен ассоциативтігі, конъюкциялық дизъюкцияға қатысты жəне дизъюкцияның конъюкцияға қатысты дистрибутивтігі; екі рет теріске шығару, үшіншіліктің болмауы, қайшылық, де-Морган заңдары. 7 /3/
І тарау. § 2. п. 1,2. 2,2. 2,6. 3,3. 3,4. 4,1. 4,4. 5,2. 5,6. 5,7.
8 Санау жүйелерінің біреуінен екіншісіне көшу.
Натурал санды ондық санау жүйесінде жазу. Санды кез- келген негіздегі жүйеде жазу.
8
1,23,5, 9 Əр түрлі негіздегі санау жүйелерінде амалдар
орындау.
2-лік жəне 8-дік
санау жүйелерінде арифметикалық амалдар орындауға үйрену.
/1/
19-20 б. /3/
ІІ тарау. § 1. п.1,3. 1,4. 1,5.
Теріс
емес бүтін
сандарға амалдар.
Теріс емес бүтін
сандарды салыстыру. Теріс емес бүтін сандарға амалдар.
10 5. 102 – 113 6. 87 – 128 6. 126 – 152 бет
Теріс емес бүтін санның натурал санға бөліндісі. Қалдықпен бөлу. Теріс емес бүтін санды натурал санға бөлу.
Нөлге бөлудің
мүмкін еместігі. Қалдықпен бөлу.
11 113 – 114бет 138 – 140, 145 – 146 бет
152 – 156 бет.
2, 3, 4, 5, 9, сандарына бөлінгіштік белгілері. Сандардың ең кіші
ортақ есебі
(ЕКОЕ) жəне ең үлкен ортақ бөлгішін (ЕҮОБ) табу.
Бөлінгіштік белгілеріне есептер. Сандардың ЕКОЕ жəне ЕҮОБ табу
12 1. 157-169 бет. 2. 172-186 бет.
Бүтін жəне рационал сандарға амалдар.
Бүтін жəне рационал сандарға амалдар қолдану.
13 1.171-191бет. 2.III тарау
жүктеу/скачать 0,58 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|