Өз бетімен шығаруға арналған тапсырмалар: Исследовать на устойчивость тривиальные решения систем: 6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
№7 практикалық сабақ Ляпуновтың орнықсыздық туралы теоремалары.
Тақырып бойынша сұрақтар:
1. Ляпуновтың үшінші теоремасы (орнықсыздық туралы бірінші теорема).
2. Ляпуновтың қосымша теоремасы (орнықсыздық туралы екінші теорема).
3. Четаев теоремасы.
Мысалдар. 1. Мына теңдеудің:
нөлдік шешімінің орнықты не орнықсыз болатынын тексеру керек.
Шешуі. Өткен параграфта, -тақ, болғанда шешімінің бірқалыпты және асимптотикалық оргықты болатынын көрсеткенбіз.
1.Айталық -тақ, -сандар болсын. Теоремадағы үшін
функциясын алайық. Ол ақырсыз аз жоғарғы шекке ие, ал оның теңдеуге сүйеніп табылған туындысы
анықталған оң таңбалы. Себебі мейлінше аз болғанда мүшесінің модулі -ден аспайды. Сондықтан теңдеудің нөлдік шешімі орнықсыз.
2. Енді -жұп сан болсын. Бұл жағдайда үшін функциясын
алайық. Теңдеуге сүйеніп алынған туындысы
анықталған таңбалы. Оның таңбасы айнымалысы мейлінше аз болғанда. санының таңбасы арқылы анықталады. Әрі мен бірдей таңбалы мән қабылдайтын нүктелер бар. Егер
болса, онда Сондықтан теңдеудің еөлдік шешімі орнықсыз. Сонымен қатар
болғанда болады. Бұл теңсіздік орындалатын нүктеден өтетін шешімдер Ляпуновтың екінші теоремасы бойынша асимптотикалық орнықты (15-сызба).
15-сызба
2. Төмендегі теңдеулер мен жүйелердің нөлдік шешімдерінің орнықты, орнықсыздығын тексеру керек.
1.
Теоремадағы үшін функциясын алайық. Ол облысында шенелген. Теңдеуге сүйеніп алынған туындысы мына түрде
