Тақырып: Ферми-газ. Бозе-газ. Тепе-тең сәулелену

Бозе-Эйнштейн статистикасы жартылай немесе толық спинге ие болатын кванттық бөлшектерден құралатын термодинамикалық жүйелердің қасиеттерін бейнелуеге пайдалнады. Ондай бөлшектерге мысалы фотондар, - мезондар, атомдар, нуклондар жатуы мүмкін. Осындай бөлшектерден құралатын жұйені бозондар газы деп атайады.

Бозон газ жұйесінің бөлшектерінің энергиялық деңгейіне таралуы Бозе-Эйнш- тейн үлестірім функциясымен сипатталады:

(12.1)

мында - бір энергиялық деңгейдің бөлшектерінің санының орташа мәні. тұрақты коэффициентының мәні келесі нормалау шартынан алынады. Жалпы жағдайда оны осылай жазуға болады:

(12.2)

ақырғы өрнекте - кванттық жүйенің күйлерінің статистикалық салмағы.

Ертеректе кванттық осциллятордың статистикалық салмағы , ал кванттық ротартордың деп анықталған. (11.70) үлестрім функциясын нормалау шартын орындау үшін бозе бөлшектердің статистикалық салмағын табуымыз керек. Ол үшін еркін бөлшектің энергиясын импульсы арқылы байланысын еске алуы-мыз керек:

(12.4)

Енді ақырғы өрнекті нормалау (12.2) шартына қондырсақ, онда:

Осы алынған нормалау шартынан тұрақты коэффициентының мәні алынады.

Әрқашанда темепратура бойынша туындының болатынын дәлелдеуге болады. Онда кванттық жүйенің температурасы төмендесе -ның мәні ұлғаю керек.

тұрақтысы бір, жүйенің нөлге тең емес температурасында нөлге тең болады.

тұрақтысы температурасында нөлге теңейіп оданда кем температураларда нөлге тең боп сақталады. Бұл жағдай тұрақтысының нөлден кем болғандықтан және туындының белгісі ауыстырылмайтынынан. Ал тұрақтысы жүйенің температу-расы төмендей бергенде нөлге тең болу үшін (12.6) теңдік орындылу керек және өрнектегі бөлщектердің саны азаю керек. Сондықтан (12.6) теңдік орындылу үшін жүйенің бөлшектері энергияның нөлдік деңгейіне көшу керек. Яғни осындай кванттық жүйенің температурасы температурадан кем болса, онда бозе бөлшектердің бір бөлімі энергияның нөлдік деңгейінде орналасады, ал қалғанддары жүйенің энергиялық деңгейлерінде

үлестірім заңымен орналасады.

Осы қарастырылған бөзе бөлшектерінің жүйенің энергиялық нөлдік деңгейіне

көшу құбылысы бозе конденсациясы деп аталады. Абсолюттік ноль тепературасында бөзе бөлшектерінің түгелі жүйенің нөлдік энергиялық деңгейінде орналасады.

Бозе газдың қысымы тең болады

Ақырғы өрнекті бозе газдың күй өрнегі дем санауға болады.

Енді (12.6) өрнекті есептеп отырып және қосымшадағы пайдаланып дәләелдеуге болады:

Енді бозе газдың қысымын алсақ онда боладыда:

Яғни бозе газдың қысымы температураларда тек қана температураға тәуелді. Көлеміне тәуелді емес. Осындай газ қысылса немесе көлемі ұлғайса, онда оның бөлщектері энергияның нөлдік деңгейіне орналасады немес нөлдік энергиялық деңгейден тұрақты температурада шығады.

Жоғары температураларда бозе газдың қасиеттері жай газдардың қасиеттеріне ұқсайтыны ешқандай дәлелдік сұрамайды. Бірақ төмен темепературалардағы бозе кон-денсация құбылысы өте еркше боп табылады.

Бозе газдың конденсация температурасында көптеген заттар текқана қатты немесе сұйық қалпын сақтайды. Бірақ сұйық гелийдың температурасы 2,19 K температурадан төмен болғанда оның ерекше күйінің өзгерісі байқалады. Оны бозе газдың конденсациясы деп санауға болады. Осы көрсетілген 2,19 K төмен темпера-тураларда сұйық гелий екі сыңардан құралады деп санауға болады: әлі конденсациялмаған құрамасынан және жоғары аққыштық құрамасынан. Ақырғыны энергияның нөлдік деңгейіне орналасқан конденсияланған бозе газ деп саналады. Энергияның нөлдік деңгейінде орналасқан жоғары аққыштық гелйдің құрамасы ешқандай жылу сыйымдылығына қатыспайдыда және солыстырмалық қозғалыстарға қатысқанда ешқанадай энергияларлармен басқа денелермен беріспейлі. Басқаша жоғары аққыштық сұйық гелийде ішкі үйкеліс қасиеті болмайды.

Осымен сұйық гелийдің жоғары аққыштық күйіне өтуі (екінші тектік фазалық өту) бозе конденсациясы құбылысының дәлелі боп саналады.

Ферми – Дирак статистикасы Планк тұрақтысының жартылай бұтін санымен өлшенетін кванттық бөлшектердің қасиеттерін сипаттайды. Ондай бөлщектерга электрондар, нуклондар, – мезондар сонымен қоса элетрондардың және нуклон-дардың сандары тақ атомдар жатады. Мысалы, Не³ атомы спины Планк тұрақтысының жартылай бүтін санды белгілі бөлшек боп саналады. Ферми – Дирак статистикасына бағынатын кванттық бөлшектер фермиондар деп аталады. Сондықтан Ферми бөлшектерден құралатын жиынтығы ферми газы деп аталады.

Егер кванттық бөлшектің энергиясы тең болса онда Ферми – Дирак үлестірім функциясы:

(12.27)

орындалса онда Ферми-Дирак үлестірім функциясы Больцман үлестіріміне айналады деп келтірілген. Сондықтан кері:

2 (12.29)

осындағы екіге көбейткені ферми бөлшектердің меншікті касиетінен алынған: әрбір энергиялық күйінде спиндері немесе тең тек қана екі бөлшектер орналаса алады.

Алдынғыда қарастырылған сияқты тәсілді пайдаланып, яғни бөлшектердің күйлерін p имульстерінің кеңістігінде қарастырып, бөлшектердің энергиялық интервалындағы лүйлерінің санын алсақ онда (12.4) өрнек бойынша алынады:

Бөлшектердің энергиясы көбейе берісімен үлестірім функциясы азая береді, ал үлестірім функциясы экпонента заңымен азаяды:

Кванттық бөлшектерінің энергиянсынының Ферми-Дирак үлестірім функциясының үзілуіне сәкес мәні (Т=0) ферми бөлшектерінің кейбір шекаралық энергиясын сипаттайды.

Егер кванттық жүйенің температурасы нөлге тең болса(Т=0), онда жүйенің барлық кем энергиялық деңгейлер толтырылған болады, ал энергиялық деңгейлері бос болады.

Кванттық ферми бөлшектердің энергиясының шекаралық мәні жүйенің температурасы Т=0 болғанда келесі шарт бойынша есептеп шығарылады: жүйенің абсолюттік ноль температурасында толық бөлшектерінің саны барлық энергиялық дең-гейлерінің санына тең боп саналады, яғни:

Осыдан ферми бөлшектерінің энергиясының шекаралық мәні тең:

Осы шекаралық энергияға кванттық жүйенің фазалық кеңістігінде сфералық көлемді шектейтін шекаралық cәйкес келеді.

Яғни ферми газдың күйі кванттық жүйенің нөлдік температурасында толық анықталды. Кванттық бөлшектер кезектеп барлық төмен энергиялық деңгейлеріне ор-наласады. Егер кванттық жүйе тек қана екі бөлшектен құралатын болса, онда олар ең төменгі энергиялық деңгейде орналасар еді. Ал кез-келген үшінші бөлшек кезекті келесі жоғарғы энергиялық деңгейге орналауға мәжбүр болады. Паулидың тыйым салу шарты бойынша үшінші бөлшек ең томенгі энергиялық деңгейге орналаса алмайды. Төртінші ферми бөлшегі егер оның спины үшінші бөлшекктің спинына қарама қарсы болса онда екінші энергиялық деңгейде орналасады. Осындай келтірілген энергиялық деңгейлерді толтыру заңы ферми бөлшектерге әрқашанда орындалады. Абсолюттік нөлдік температурада бозондардың бары нөлдік энергиялық деңгейінде орналасады.

Егер кванттық жүйенің температурасы жоғарлай бастаса, онда жоғарғы энергиялық деңгейлерге көшуі мүмкін. Ол үшін олардың энергиясының айырмашылығы болу керек. Яғни Ферми- Эйнштэйн үлестірімінің энергялық шайылатын аймағы боп саналады.

Ферми- Эйнштэйн үлестірімінің графигі тек қана нөлдік температурада емес сонымен қоса кез-келген температурада «тікбұрыш» түрін сақтауы мүмкін. Ол келесі шарт орындалу керек: .

Осындай Ферми-Эйнштейн үлестірімінің «тікбұрыш» түрінде бағынатын фермиондарды айныған ферми газы деп атайды. Ферми газдың айнығатын кретерийін келесі айныған температурасы арқылы анықталады:

Егер термодинамикалық кванттық жүйенің темепратурасы болса, онда ферми газы классикалық касиетіне ие болады, яғни белгілі классикалық больцманның газына ауысады.

Ақырғы өрнекке импульстың шекаралақ мәнін енгізсек, онда:

Ферми газдың қысымын келесі түрінде алып: күй теңдеуін жазуға болады:

Яғни ферми газдың қысымы тығыздығының дәрежесінің пропорционал ал температурасына тәуелді емес.

Электрондардың спины Планк тұрақтысының жартылай бүтін санды болғандықтан фермиондарға жататынын белгілеп кеткенбіз. Фермион бөлшектерінің қасиетін мысалы түрінде металдардағы электрондар арқылы қарастыруға болады. Қатты денелердің электрондық теориясында белгілі екі көзқарас бар: электрондардың күшті байланысқан(адиабаталық жуықтау) жуықтауы және әлсіз байланыс жуықтауы. Бірінші теорияның нәтижелері жартылай өткізгіштіктердің электрондық қасиеттерін сипаттайды, ал екінші теорияда металлдардағы электрондардың қасиеттері анықталады. Металдардағы электрондардың арасындағы кулондық тебіліс күштері иондардың электрондарға әсер ететін тартылыс күштерімен басылады. Сондықтан металлдардағы өткізгіштік электрондарды бос бөлшектер түрінде қарастыруға болады.

Егер металлдардағы әрбір атом бір электрон босатады деп санасақ, онда (12.28) өрнек арқылы фермиондардың (өткізгіштік электрондардың) айныған температура-сын келесі түрінде табуға болады:

Металдардардың көбінесіне бұл бағалау бір неше мыңнан жүздік мыңнан тем-пературасының мәнін береді. Яғни көбінесе металдардағы электрондар айныған күйінде кездеседі. Сондықтан оларға (металлдардағы электрондарға) өткен параграфтадағы алынған нәтижелерді пайдалануға болады. Элетрондардың статистикалық салмағын екіге тең деп санаймыз.

Жылу сыйымдылыққа классикалық көзқарас бойынша металдардағы электрон-дардың үлесі өте жоғары болу керек: еркін дәрже саны бойынша кинетикалық энер-гияның тең бөліну заңы бойынша үлесі тең болу керек. Ал негізінде металдардың жылу сыйымдылығына электрондардың үлесі мәнінің тек қана . Соны мен қоса металлдың температурасы өзгерсе металдың жылу сыйымдылығы абсолюттік температурасына тура пропорционал болып өзгереді. Сондықтан қазырғы ең маңызды меселе металдың жылу сыйымдылығының температура бойынше ерекше өзгерісін Ферми газ қасиеттері арқылы түсіндіру.

Ол үшін металдың темепратурасы нөлден бір кез-келген Т температураға дейін көтерілде деп электрондардың өзінің энергиясын өзгерткен сандарының бөлігін анықтайық. Бұл жағдайда электрондарды сипаттайтын Ферми үлестірімі шекаралық энер-гияға қатанасты kT мөлшеріне шайылған деп саналады (Ферми деңгейіне).

Сол электрондардың санын жуық бағалау үшін электрондардың металлдағы то-лық саны (12.31) өрнекке бағынады деп белгілейік. Энергияның интервалына сәйкес келелтін электрондардың саны тең:

(12.38)

Сондықтан металлдағы электрондық газдың температурасы нөлден кез-келген Т температураға дейін өзгергенде ішкі энергиясының өскуі тең болады:

(12.39)

Осыдан металдың жылу сыйымдылығына электрондық газдың қосымшасы тең:

(12.40)

Яғни металдардың жылу сыйымдылығының температураға сызықтық тәуелділігі тұсіндірілді. Алынған нәтижеден электрондарды металлдардың жылу сыйымдылығына қосындысы өте аз боп табылды. Расында, металлдың айнығу температураcы болса, ал онда:

(12.41)

Осыған сәйкес металлдағы электрондардың жылу сыйымдылығына қосындысы тең:

Бозе-Эйнштейн үлестірімін тепе-теңдік сәулеленудің қасиеттерін қарастыруға пайдалануға болады. Ол үшін тепе-теңдік сәулеленуді бір- бірімен әрекет етпейтін фотондардың жиынтығы деп саналады. Фотондардың спиндері нөлге тең болғандықтан ондай газ Бозе-Эйнштейн үлестірімін бағанады:

(12.10)

Фотондық газдағы бөлшектердің саны айнамалы болуы мумкін. Ол температураға және көлемге тәуелді. Сондықтан фотондық газдың бос энергиясы температураға, көлемге және жүйедегі бөлшектердің санына тәуелді болады. Онда жүйедегі бөлшектердің саны бос энергиясының мәні минимумға тең болу керек деп анықтау керек:

(12.11)

Ақырғы өрнек бойынша фотондық газдың химиялық потенциалы

(12.12)

Сондықтан фотондық газдың бөлшектердің саны тең болады:

(12.13)

Фотондардың энергиясы болғандықтан фотондық газдың бөлшектерінің орташа мәні келесі түрінде алынады:

(12.15)

Осыдан тепе-теңдік сәулеленудің көрсетілген жиіліктің мәндерінің интервалына сәйкес келетін энергиясы тең:

Ақырғы өрнектегі шамалар фотондардың барлық көлеміне қатнасты деп саналады. Сондықтан ол фотондық газдың кейбір термодинамикалық функцияларын есептеуге мүмкіншілік береді.

Енді фотондардың жиілігі үздіксіз өзгереді деп санасақ, онда фотондық газдың толық энергиясын есептеп шығаруға мүмкінщілік бар:

(12.18)

мында . Фотондық газдың толық энергиясы белгілі болғандықтан фотондық газдың бос энергиясын табуға болады. Ол үшін Гиббс-Гельмгольц теңдігін еске алуымыз керек:

Осыдан:

болғандықтан фотондық газдың бос энергиясы:

Фотондық газдың бос энергиясы белгілі болғадықтан оның энтропиясын және қысымын анықтауға болады:

және фотондық газдың қысымы:

(12.23)

яғни фотондық газдың қысымы тепе теңдік сәлеленудің энергиясының тығыздығна тәуелді боп табылды.

Осыдан: фотондық газдың қысымы тек қана температурасына тәуелді болғандықтан ол изотермиялық кеңейсе онда фотондарды шығарады, ал изотермиялық қысылса онда онық қабырғалары фотондарды жұтатын болады

Фотондық газдың ішкі энергиясы арқылы оның жылу сыйымдылығын анықтауға болады:

Фотондық газдың көлеміндегі толық саны тең:

Егер фотондық газ адиабаталық кысылса немесе кеңейсе фотондық газдың бөлшектерінің саны N тұрақты болғандықтан оның температурасы және көлемінің байланысы тең:

Осы алынған фотондық газға арналған өрнектер жұлдыздардың ішкі құрылысын зерттеуге пайдаланады.