Пәннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Статистикалық физика және физикалық кинетика негіздері» «5В011000 – Физика» мамандығы үшін ОҚУ-Әдістемелік материалдары

Бірінші, екінші жағдайларда екі бөлшектер бір ұяшақта орналасады қалған ұящақ бос болады, үшінші, төртінші жағдайларда әрбір ұяшақта бір бөлшек орналасады(бірақ олар орныдарын ауыстыра алады).

Енді бөлшектер бір-біріненен ажыратылмайтын болса, онда олардың екі ұяшақта орналасудың үш мүмкіншілік бар: Бірінші, екінші жағдайларда әрбір ұяшақта екі бөлшек орналасады, ал екінші ұяшақ бос түрін сақтайды. Үшінші жағдайда әрбір ұяшақта бір бөлшек орналасады.

Ақырғыда ажыратылмушылық бөлшектер соны мен қоса Паулидың принципына бағынса, онда әрбір кванттық күйде тек қана бір бөлшек орналасуға мүмкіншілік болады. Сондықтан ондай қасиетке еи болған екі бөлшектердің еік ұяшақта орналасатын тек қана бір мүмкіншілік болады, яғни:

Осы келтірілген қарапайым мысал жүйенің микрокүйлерінің қасиеттері кванттық бөлщектің меншікті қасиеттеріне тәуелді екенін көрсетеді. Сондықтан осы келтірілген кванттық бөлшектірдің қасиеттеріне қатнасты екі кванттық үлестірімі бары тұжырымдалады:

1) Бозе –Энштейн стаистикасы мұнда кванттық бөлшектер ажыратылмаушылық принципына бағынады (симметриялық толқындық функциялармен сипатталады),

2) Ферми-Дирак статистикасы кванттық бөлшектер ажыратылмашылық принципына бағына тұрып, соны мен қоса Паулидың тийым салу принципын бағынады (антисим-метриялық толқындық функциялармен сипатталады).

Ендігі қойылытын мақсат кванттық үлестірім функциясян есептеп шығару. кванттық статистикалық үлестірім функцияларымен танысардың алданда әрқашанда үлестірімдердің келесі қасиеттері есептеулі болу керек. Максвелл-Больцман стаистикасында бөлшектердің энергиялары үздікті немесе үздіксіз болуы мүмкін, ал бөлшектер бір-бірінен ажыратылатын боып саналады. Бозе-Энштейн статистикасында бөлшекте ажырытлымаушылық принципына бағынады, энергиялары үздікті боп саналады. Ферми-Дирак статистикасында ажыратылмайтын бөлшектер Паулидың тыйым салынатын принципына бағынады, ал энергиялары әрине үздікті болады.

Бозе-Эйнштейн статистикасы. Ендігі қойылатын мақсат ажыратылмаушылық принципаны бағынатын, симметриялық функциялармен сипатталытын бөлшектердің энергия бойынша үлестірім функциясын есептеп шығару. Ондай бөлшектер бозондар деп аталады. Бозондардың спині әрқашанда Планк тұрақтсының бүтін немесе нөлге тең санымен өлшенеді. Бозондардан құралатын кванттық термодинамикалық жүйені қарастырайық. Егер ол өзінің тепе-теңдік күйін сақтаса, онда оның етеипературасы қысымы тұрақты болу керек, сонымен қоса жүйені құрастыратын бөлшектердеің саны және энергиясы тұрақты болу керек:

(10.43)

(10.43а)

Мында энергиясы тең бөлшектер күйлерінде орналасуы мүмкін. Сол орналасу мүмкіншіліктің саны тең болады:

(10.44)

Жүйеің барлық мүмкін болатын күйлерінің саны тең болады:

(10.45)

Егер Стирлинг теңдігін пайдалансақ, онда:

Егер кванттық жүйенің күйі тепе-теңдігі сақталса, онда энтропиясы максималдық мәніне ие болады. Осы қойылған шарт орындалу үшін үлкен жақшадағы қосынды нөлге тең болы керек, яғни:

(10.49)

Осыдан ұяшақта энергиясы тең бөлшектердің саны тең болады:

(10.50)

Бөлшектердің энергия бойынша үлестірім функциясы келесі түрінде жазуға болады:

(10.51)

Ақырғы алынған өрнек Бозе – Энштейннің бозондарға арналған үлестірім функциясы боп саналады. Мында тұрақтысы функцияның нормалау шартынан табылады, ал

(кешірек дәлелденеді) .

Ферми-Дирак статистикасы. Ендігі қойылатын мақсат Ферми тыйым салынатын шартына бағынатын кванттық бөлшектердің үлестірім функциясын есептеп шығару. Ондай бөлшектердің спины Планк тұрақтысы санымен өлшеленгенде жартылай бүтін болады, ал сонымен қоса антисимметриялық функциялармен сипатталады. Олар фермиондар деп аталады. Кванттық фермиондардан құралған термодинамикалық жүйні қарастырайық. Тағыда сол жүйе өзінің тепе-теңдік күйін сақтайды деп есептелсін. Онда оның энергиясы және жүйені құрастыратын бөлшектердің саны тұрақты болады. Ондай жүйенің бір кванттық күйінде тек қана бір фермион орналаса алады, яғны әрқашанда . Онда алдынғыда белгіліенген бөлшектердің ұяшақтар бойынша орналасуының мүмкіншілігінің саны тең:

(10.52)

Ондай кванттық жүйенің күйлерінің мүмкіншілік санының не бары тең болады:

(10.53)

Тағыда күйлерінің мүмкіншілік болатынын санының логарифымының вариациясы тең:

Тағыда фермиондардан құралған кванттық жүйенің тепе-теңдік күйі сақталсын десек, онда оның энтропиясы максималдық мәніне ие болу керек, яғни:

Осыдан жүйенің бөлшектердің ұяшақтар бойынша тепе-теңдік күйінде таралуы тең болады:

(10.56)

Осыдан Ферми бөлшектердің энергия бойынша үлестірімі тең болады:

(10.57)

мында тұрақтысы үлестірімнің нормалау шартынан табылады, ал .

Олардың графиктері келесі 32-суретте келтірілген. Кванттық бөлшектердің меншікті қасиеттері осы үлестірім функциялардың айырмашылығын анықтайды.

Бірақ мынадай шарт орындалса:

(10.61)

онда Бозе – Энштейн және Ферми-Дирак статистикалар Максвелл – Больцман статистикасына ауысады. ( 33 сурет). Осыдан классикалық және кванттық көзқарастардан алынған Максвелл–Больцман үлестірімі екі кванттық үлестірімдердің шегі боп табылады.

Максвелл – Больцман статистикасын есептеп шығарғанда біз классикалық бөлшек-терді бір-бірінен ажыратылады деп санағанбыз. Сондықтан, жалпы жағдайларда, үздікті энергияның деңгейлерінде нақты бір-бірінен ажыратылмайтын бөлшектердің таралуы үнемсіз болады. Бірақ кванттық жүйелердің көп шектелген деп аталатын қатары кездеседі. Ондай жүйелердің кванттық күйлері кеңістікті бір белгіліенген нектесінде орналасады. Яғни ондай жүйелерге оларды құрайтын бөлшектерің ажыратылмаушулық қасиеті әсер етпейді.

Шектелген жүйелерде кванттық бөлшектеріне қатнасты толқындық функцияларының симметриялық қасиеттері жүйенің күйлерінің мүмкінші болатын сандарына тәуелді емес боп табылады. Ондай жүйелерге меншікті мекенжайы шектелген бөлшектерден құралатын жүйелер жатады. Мысалы гармоникалы осциялляторлардың жиынтығынан құралатын жүй шектелген боп саналады. Осындай жүйелерге қатты дененің кристалдық торын санауға болады. Немесе газдардың жылу сыйымдылығын қарастырғанда молекулалардың тек қана жеке молекулалардың ішкі энергиясын есепке аламыз, ал олардың кеңістіктегі өзгерістері есептелмейді. Егре газдағы молекулалрдың толық саны белгілі болса, онда газдың энергиясын, жылусыйымдылығын анықтауға болады. Бұл жағдайда молекулалрдың кванттық ажыратылмаушылық қасиеті есептелмейді. Осындай кванттық шектелген, жүйелерге үздікті энергияларяның деңгейлеріне қатанасты Максвелл – Больцман үлестірімі апйдаланады.

Басқа жағдайларда Бозе-Энштейн немесе Ферми-Дирак үлестірім функциялары пайдаланады. Сондықтан, Бозе-Энштейн үлестірім функцияларымен сипатталатын бөлшектер бозондар деп аталады, ал Ферми – Дирак үлестірім функцияларымен сипат-талтын кванттық бөлшектер фермиондар деп аталады. Егер шарт орындалса, онда үш көрсетілген үлестірімдер бір-біріне түйіседі. Ол шартты басқаша көрсетуге болады:

Мысалы металдардағы электрондық газдардың айныған жағдайының температурасы тең. Су тегінің айнымалы температурасы басқа газдармен салыстыр-ғанда төмендеу боп табылады. Бірақ қалыпты жағдайларда көбінесе газдарға класси-калық және кванттық қасиеттерінің айырмашылығы өте аз боп табылды. Сондықтан қалыпты жағдайлардағы газдардың статистикалық қасиеттерін анықтауға екі кванттық үлестірімдердің орнына классикалық максвелл-Больцман үлестірімі пайдаланады.