Пікір берушілер
Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері
жүктеу/скачать 5,73 Mb.
|
Матанализдің кейбір есептерін теңсіздіктерді пайдаланып шешу
| Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері
Шектелген шексіз сандар жиыны құрамында де ең үлкен (ең кіші) элементтің болмауы да мүмкін екендігін білеміз. Ал функциясы анықталған және - тің қандай да бір өзгеру аралығында тіпті шектелген болса да, онда оның мәндерінің жиыны құрамында ең үлкен (ең кіші) элементтің болмауы да мүмкін. Бұл жағдайда функциясының мәндері осы аталған аралықта дәл жоғарғы (төменгі) шекараға жетпейді. Мысалы, функциясы жөнінде солай. 6 - сурет Шынында, кез келген аралығында өзгергенде, функция мәндерінің дәл жоғарғы шекарасы болады, бірақ функция мәндері бұл шекараға жетпейді, сондықтан функцияның ең үлкен мәні болмайды. Қарастырылып отырған функциялардың - тің натурал мәндерінде үзілісті болуы себепті бұл жағдай оқушыға айқын болар. Шынында да, тұйық аралықта үздіксіз функциялар үшін мынау дұрыс болады: Вейерштрасстың екінші теоремасы. Егер функциясы тұйық аралығында және үздіксіз болса, онда ол бұл аралықта өзінің дәл жоғарғы және дәл төменгі шекарасына жетеді. Басқаша айтқанда, аралығында және нүктелері табылып, және мәндері функциясының барлық мәндерінің ішіндегі сәйкес ең үлкені және ең кішісі болады. I Дәлелдеме. Айталық, дейік. Бұл сан – шектеулі. Теорема шартына қарсы жорып, әрдайым , яғни - ге жете алмайды деп ұйғарайық. Мұндай жағдайда, көмекші функциясын қарастыруға болады. Ал ұйғарым бойынша, бұл жерде бөлшек бөлімі нөлге айналмайды, олай болса, бұл – үздіксіз функция, сондықтан ол шектелген: . Бұдан теңсіздігін шығарып алу қиын емес, яғни - нен кіші саны функциясының мәндерінен жасалған жиынның жоғарғы шекарасы болып отыр, ал саны осы жиынның дәл жоғарғы болғандықтан, бұлай болуы мүмкін емес. Осы қарама – қайшылық теореманы дәлелдейді: аралығында нүктесі табылып, осы нүктедегі функция мәні сол функциясының барлық мәндерінің ішіндегі ең үлкені болады. Функцияның ең кіші мәні жөніндегі ұйғарым да осылайша дәлелденеді. II Дәлелдеме. Бұл жерде де Больцано – Вейерштрасс леммасын пайдалануға болады. Ең үлкен мәнді анықтаумен ғана қанағаттанады. Егер десек, онда дәл жоғарғы шекара қасиеті бойынша, кез келген үшін аралығынан нүктесі табылып, бұл нүктедегі функция мәні . Ол уақытта тізбегінен - дан алынған - ге жинақталатын дербес тізбегін бөлек көрсетуге болады: , олай болса, функция үздіксіз болуы себепті . Сонымен қатар , ал енді мұнан шек алсақ, болады. Бірақ функция мәндерінен жасалған жиынның жоғарға шекарасы - нен үлкен болмауы мүмкін емес, сондықтан, , дәлелдейік деп отырғанымыз осы еді. Осы келтірген дәлелдеудің екеуі де тек қана «Болатындықты дәлелдеу» екендігі ескертеміз. Мұнда, мысалы, мәнін есептеу үшін ештеңе айтылмаған. функциясы шектеулі тұйық аралығында және үздіксіз болсын. Осы уақытқа дейін оның максимумдарымен және минимумдарымен, оның осы аралықта қабылдайтын мәндерінің ішіндегі ең үлкенін және ең кішісін іздестіру мәселесімен шұғылданамыз. Сонымен, функцияның максимумы дегенде (сәйкес нүктенің тікелей өз төңірегіндегі оның ең үлкен мәнін) локалдық мағынасын түсінеміз де, оны қарастырылып отырған бүкіл аралықтағы функцияның ең үлкен мәнінен айырамыз. Осы айтылғандар функцияның минумумы мен ең кіші мәніне де тиісті. Ал Вейерштрасстың екінші теоремасы бойынша функцияның ең үлкен мәнін іздестіруге тоқталайық. Егер де функция ең үлкен мәніне мен - ның арасындағы қандай да бір нүктеде жететін болса, онда бұл мән максимумдардың да біреуі (әрине, ең үлкен) болып табылады, бірақ ең үлкен мәнге функция аралықтың шеткі нүктелерінің, немесе - ның біреуінде де жетуі мүмкін. Сөйтіп, функциясының барлық максимумдары мен шекаралық және мәндерін бір – бірімен салыстыру керек, бұлардың ең үлкені функциясының аралығындағы барлық мәндерінің ең үлкені болады. Функцияның ең кіші мәні де осылайша іздестіріледі. 7 - сурет Мысалы, аралығында функциясының ең үлкен және ең кіші мәндері ізделіп отыр дейік; бұл аралықтағы - ге тең екі максимум шекаралық мәндерінен үлкен, сондықтан көрсетілген аралықта саны функцияның ең үлкен мәні болады. - ге тең болатын минимумы шекаралық мәндерден үлкен сондықтан саны ең кіші мән болады. аралық үшін ең үлкен мән ретінде және - ге сәйкес және ...- ге тең екі максимумның үлкекнін алуға тура келер еді, себебі шеткі нүктелердегі ... және мәндері - ден кіші. Ең кіші мәнге функция аралықтың оң жақ ұшында жетеді, сонымен бірге ол болғанда минимумға тең болады. Іс жүзінде қолданылатын есептерде және арасында «күмәнді» тек бір ғана нүктесі болатын қарапайым жағдай өте жиі кездеседі. Егер де, бұл нүктеде функцияның максимумы (минимумы) болса, онда функцияның осы мәні аралықтағы ең үлкен (ең кіші) мән болатындығы шекаралық мәндермен салыстырмаса да ап - айқын. Осыған ұқсас жағдайларды функцияның жеке мәндерін есептеп және оларды салыстырып жатудың орнына (әсіресе, функция өрнегінің құрамына тұрақты әріптер енгенде), максимумдарды және минимумдарды зерттеу оңайлау болады. Осы айтылғандардың ашық аралығында да және шектеусіз аралықта да толық қолданылатындығына ерекше көңіл аударамыз. жүктеу/скачать 5,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|