геометриялық орташалар деп аталады. Бұл сандар үшін теңсіздігінің орындалатынын өткен ғасырдың басында француз математигі О.Коши көрсеткен. Бұл теңсіздіктің дұрыстығын жалпы алғанда математикалық индукция әдісімен дәлелдейді. Бұл теореманың дұрыстығын төменде көмекші тұжырым арқылы көрсетеміз.
Егер - оң сандар көбейтіндісі 1–ге тең болса, онда олардың қосындысы n-нен кіші емес. Бұл тұжырымның, n=2 үшін дұрыстығын, яғни =1 болса,онда екенін көрсетейік.
1) болғанда яғни тұжырым дұрыс. 2) болса, онда бірақ көбейтіндісі 1-ге тең. теңдігімен шығады.Соңғы теңдіктен сандарының ешбірі шектелмегендігін байқауға болады, екінін еркерсек,
1).Егер десек, соңғы қосылғыш оң. Олай болса, . Сонымен үшін тұжырым дұрыс екен. Сан мен оның керісінің қосындысы ге тең не одан үлкен болады. болғанда ғана теңдігі орындалатынын байқау оңай.
10-мысал. теңсіздігінің дұрыстығын көрсету керек (мұндағы оң сандар, шаршы орындалғанда ғана теңсіздік теңсіздікке айналады).
Егер десек, онда теңсіздік жоғарыдағы тұжырым сияқты дәлелденеді. Тек болғанда ғана теңдік таңбасы орындалады:
