Практикум по алгебре



Pdf көрінісі
бет26/42
Дата10.12.2023
өлшемі0,63 Mb.
#135717
түріПрактикум
1   ...   22   23   24   25   26   27   28   29   ...   42
Байланысты:
moiseev 2

Z
и
над
Q

36.
Каталог
неприводимых
над
Z
p
многочленов

37.
Разложение
на
неприводимые
над
R
множители

Задание
 1 
 
1. 
а

В
некотором
множестве
М
выделена
система
подмножеств
τ

каждые
два
из
которых
имеют
непустое
пересечение

Пусть
А

М

Доказать

что
либо
А

ли
-
бо
A
имеет
непустое
пересечение
с
каждым
подмножеством
из
семейства
τ

б
)
Решить
систему
уравнений
А

Х
 =
В

А

Х
 =
С

где
В

А

С

2.
а

Пусть
τ
 – 
система
из
2
n
–1
подмножеств
n

элементного
множества
А

обла
-
дающих
свойством

что
любые

подмножества
из
τ
имеют
непустое
пе
-
ресечение

Доказать

что
пересечение
всех
подмножеств
из
τ
 
не
пусто

причем
содержит
в
точности
один
элемент

б

Решить
систему
уравнений
А

Х
 =
В

Х

А

Х
 =
С
 

Х

3. 
а

В
множестве

состоящем
из
n
элементов

выбраны
2
n
–1
подмножеств

каж
-
дые

из
которых
имеют
общий
элемент

Доказать

что
все
эти
подмноже
-
ства
имеют
общий
элемент

б

Решить
систему
уравнений
А
\
Х
 =
В

Х
\
А
 =
С

где
В

А

А

С
 =


4.
а

Пусть
А
=
{1, 2, ..., 
n
}, 
В
 =
{1, 2, ..., 
k
}. 
Сколько
существует
подмножеств
М

А
таких

что
М

В
 =


б

Решить
систему
уравнений
А

Х
 =


В

Х
 =


выяснить
условие
разре
-
шимости
и
указать
решение

5. 
а

Сколько
решений
имеет
уравнение
{1, 2, ..., 
n
}

X =
{1, 2, ..., 
k
}

X

б

Решить
систему
уравнений
А

Х
 =
В

Х

А

Х
 =
С
 

Х

6. 
а

На
каждой
клетке
шахматной
доски
записано
одно
из
чисел
1, 2, ..., 64. 
За
один
вопрос
можно

указав
на
любую
совокупность
клеток

узнать
мно
-
жество
чисел

стоящих
на
этих
клетках

Доказать

что
за

вопросов
мож
-
но
узнать
число
в
каждой
клетке
(
указание

воспользоваться
тем

что

круга
Эйлера
делят
плоскость
на

частей
). 
б

Решить
систему
уравнений
А

Х
 =
В
\
Х

С

Х
 =
Х
\
А

Задание
 2 
 
1. 
а

Привести
примеры
транзитивного

не
симметричного
и
не
рефлексивного
отношения
на
конечном
и
на
бесконечном
множествах

б

Привести
пример
отношения

одновременно
симметричного
и
антисим
-
метричного

Верно
ли

что
это
отношение
также
и
рефлексивно



80 
2. 
а

Привести
примеры
рефлексивного

не
симметричного
и
не
транзитивного
отношения
на
конечном
и
на
бесконечном
множествах

б

Доказать

что
всякое
симметричное

транзитивное

всюду
определенное
отношение
является
отношением
эквивалентности

3. 
а

Привести
примеры
симметричного

не
рефлексивного
и
не
транзитивного
отношения
на
конечном
и
на
бесконечном
множествах

б

Доказать

что
если
S
любое
рефлексивное
и
транзитивное
отношение

то
S

S
~
— 
отношение
эквивалентности

4. 
а

Привести
примеры
рефлексивного

симметричного

но
не
транзитивного
отношения
на
конечном
и
на
бесконечном
множествах

б

Привести
пример
отношения

одновременно
симметричного
и
антисим
-
метричного

Доказать

что
всякое
такое
отношение
транзитивно

5. 
а

Привести
примеры
транзитивного

симметричного

но
не
рефлексивного
отношения
на
конечном
и
на
бесконечном
множествах

б

Доказать

что
всякое
сюръективное

симметричное

транзитивное
отноше
-
ние
является
отношением
эквивалентности

6. 
а

Привести
примеры
рефлексивного

транзитивного

но
не
симметричного
отношения
на
конечном
и
на
бесконечном
множествах

б

Верно
ли

что
всякое
симметричное

транзитивное
отношение
является
от
-
ношением
эквивалентности

Следующие

задания
формулируются
одинаково
для
всех
бригад

в

Составить
таблицу

устанавливающую
связь
между
свойствами
отношений
S
и
S
~
(
имеются
в
виду
свойства

рефлексивность
, ..., 
сюръективность
и
произ
-
водные
от
них

отношения
эквивалентности

порядка
и
т

д
.). 
г

Аналогичным
образом

составить
таблицу

устанавливающую
связь
между
свойствами
отношений
S


и
S

T



T

S
\
T

S

д

Задав
разбиение
множества
{1, 2, 3, 4, 5, 6}, 
построить
отношение
эквива
-
лентности
на
этом
множестве

Построить
граф
этого
отношения

е

Построить
второе
отношение
эквивалентности
на
множестве
из
задания
Д

а
затем
составить
отношение


T
и


T

Являются
ли
получившиеся
отно
-
шения
отношениями
эквивалентности

Задание
 3 
 
1. 
а

Доказать

что
композиция
двух
инъекций
является
инъекцией

б

Доказать

что
если
ψ
o
ϕ
инъекция

то
ϕ
также
инъекция

в

Привести
пример

показывающий

что
ψ
не
обязательно
инъекция

если
ψ
o
ϕ
инъекция

2.
а

Доказать

что
композиция
двух
сюръекций
является
сюръекцией

б

Доказать

что
если
композиция
ψ
o
ϕ
сюръекция

то
ψ
также
сюръекция



81 
в

Привести
пример

показывающий

что
ϕ
не
обязательно
сюръекция

если
композиция
ψ
o
ϕ
сюръекция

3.
а

Доказать

что
если
ψ
o
ϕ
=
χ
o
ϕ
и
ϕ
сюръекция

то
ψ
=
χ

б

Привести
пример

показывающий

что
если
ϕ
не
сюръекция

то
утвержде
-
ние
примера
а

не
выполняется

в

Пусть
функция
ϕ
такова

что
выполняется
условие
(
∀ψ
)(
∀χ
)(
ψ
o
ϕ
=
χ
o
ϕ
 

ψ
=
χ
). 
Доказать

что
ϕ
сюръекция

4.
а

Доказать

что
если
ψ
o
ϕ

ψ
o
χ
 
и
ψ
инъекция

то
ϕ

χ

б

Привести
пример

показывающий

что
если
ψ
не
инъекция

то
утвержде
-
ние
пункта
а

не
выполняется

в

Пусть
функция
ψ
такова

что
выполняется
условие
(
∀ϕ
)(
∀χ
)(
ψ
o
ϕ

ψ
o
χ

ϕ

χ
). 
Доказать

что
ψ
инъекция

5.
а

Пусть
ψ
o
ϕ

ε
X

Доказать

что
ϕ
инъекция

а
ψ
сюръекция

б

Привести
пример

показывающий

что
если
ψ
o
ϕ

ε
X

то
не
обязательно
ψ
является
инъекцией

а
ϕ
сюръекцией

в

Пусть
функция
ϕ

Х

Х

где
|
Х
|
> 1, 
такова

что
выполняется
условие
(
∀ψ
)(
ψ
o
ϕ

ψ
). 
Доказать

что
ϕ
 = 
X
ε

6.
а

Доказать

что
если
ϕ
биекция

то
из
равенства
ψ
o
ϕ

χ
o
ϕ
следует
равен
-
ство
ψ

χ

а
из
равенства
ϕ
o
ψ

ϕ
o
χ
 — 
равенство
ψ

χ

б

Привести
пример

показывающий

что
если
ϕ
не
биекция

то
утверждение
пункта
а

не
выполняется

в

Пусть
функция
ψ

Х

Х

где
|
Х
|
> 1, 
такова

что
выполняется
условие
(
∀ψ
)(
ϕ
o
ψ

ψ
). 
Доказать

что
ψ
=
X
ε



Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   22   23   24   25   26   27   28   29   ...   42




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет