Z .  Дока - зать ,  что не существует c ,  d  ∈ Z

1.
x
4 
–
8
x
3 
+ 24
x
2 
–
29
x 
+ 13. 
2.
x
4 
+ 12
x
3 
+ 56
x
2 
+ 120
x 
+ 105.
3.
x
4 
+ 4
x
3 
+ 6
x
2 
+ 4
x 
+ 8.
4.
x
4 
+ 8
х
3 
+ 24
x
2 
+ 35
х
 
+ 28.
5.
x
4 
+ 8
х
3 
+ 24
x
2 
+ 35
x 
+ 16. 
6.
x
4 
–
12
х
3 
+ 52
x
2 
–
96
x 
+ 65. 
Б
. 1) 
Доказать
, 
что
Z
[
x
] 
не
является
кольцом
главных
идеалов
. 
2) 
Доказать
, 
что
элементы
2 
и
х
кольца
Z
[
x
] 
взаимно
просты
, 
однако
не
суще
-
ствует
элементов
u
, 
v
∈
Z
[
x
], 
таких
, 
что
u
2+
vx=
1. 
3) 
Доказать
, 
что
если
f
, 
g
∈
Z
[
x
], 
g
примитивный
многочлен
и
h
∈
Q
[
x
], 
причем
g
⋅
h
∈
Z
[
x
], 
то
h
∈
Z
[
x
]. 
Показать
на
примере
, 
что
примитивность
g
здесь
су
-
щественна
. 
4) 
Привести
пример
многочлена
f
(
x
)
∈
Z
[
x
], 
простого
в
Z
[
x
] 
и
составного
в
Q
[
x
]. 
5) 
Привести
пример
многочлена
f
(
x
)
∈
Z
[
x
], 
простого
в
Q
[
x
] 
и
составного
в
Z
[
x
]. 
6) 
Доказать
, 
что
множество
простых
элементов
кольца
Z
[
x
] 
есть
объединение
множества
простых
чисел
Z
и
множества
примитивных
многочленов
, 
не
-
приводимых
над
Q
. 
Задание
 36. 
Составить
каталог
неприводимых
над
Z
p
многочленов
. 
1.
deg 
f 
≤
5 
в
Z
2
[
x
].
2.
deg 
f 
≤
4 
в
Z
3
[
x
]. 
3.
deg 
f 
≤
3 
в
Z
5
[
x
].
4.
deg 
f 
≤
3 
в
Z
7
[
x
].
5.
deg 
f 
≤
2 
в
Z
11
[
x
].
6.
deg 
f 
≤
2 
в
Z
13
[
x
]. 
 
Задание
 37. 
Разложить
на
неприводимые
над
R
множители
. 
1. a)
x
3
+9
x
2
+11
x
–21. 
д
) (
x
2
+4
x
+8)
2
+3
x
(
x
2
+4
x
+8)+2
x
2
. 
б
) (
x
–4,5)
4
+(
x
–5,5)
4
–1. 
е
) 15
x
4
+49
x
3
+64
x
2
+49
x
+15. 
в
)
x
4
+5
x
2
+6. 
ж
)
x
4
+2
x
3
–16
x
2
–2
x
+15. 
г
)
x
4
–2
x
2
+25. 
з
) (
x
–1)
3
+(2
x
+3)
3
–27
x
3
–8. 
2. a)
x
3
–6
x
2
–
x
+30. 
д
)2(
x
2
+6
x
+1)
2
+5(
x
2
+6
x
+1)(
x
2
+1)+2(
x
2
+1)
2
б
) (2
x
2
–
x
+5)
2
+3(2
x
2
–
x
–1) –10. 
е
)
x
4
–10
x
3
+26
x
2
–10
x
+1. 
в
)
x
4
+5
x
2
+4. 
ж
)
x
4
–
x
3
+3
x
2
–2
x
+2. 
г
)
x
4
–10
x
2
+169. 
з
) (2
x
–
а
–
b
)
3
–(
х
–
а
)
3
–(
х
–
b
)
3
. 
3. a)
х
3
+9
х
2
+23
х
+15. 
д
)
х
4
+5
х
2
(
х
+1) –6(
х
+1)
2
. 
б
) (
х
2
–5
х
+7)
2
–(
х
–2)(
х
–3) –1. 
е
) 3
х
4
+7
х
3
+7
х
+3. 
в
)
х
4
–2
х
2
–15. 
ж
) 12
х
4
–4
х
3
–9
х
2
+1. 
г
)
х
4
–5
х
2
+9. 
з
)
х
12
–1. 
4. a)
х
4
+
х
2
+6
х
–8. 
д
) (
х
2
+
х
+1)
2
–
х
2
(3
х
2
+
х
+1). 
б
) (
х
2
+
х
+1)(2
х
2
+2
х
–3)+3(1–
х
–
х
2
). 
е
) 2
х
4
–9
х
3
+9
х
+2. 
в
)
х
4
+
х
2
–6. 
ж
)
х
5
–6
х
4
+9
х
3
–6
х
2
+8
х
. 
г
)
х
4
+81. 
з
)
х
7
+
х
6
+
х
5
+
х
4
+
х
3
+
х
2
+
х
+1. 
5. a)
х
3
–
х
2
–21
х
+45. 
д
) (
х
2
+3
х
+2)(
х
2
+7
х
+12)–15(
х
2
+5
х
+ 10). 
б
) (2
х
2
+3
х
–2)(5–6
х
–4
х
2
)+5(2
х
2
+3
х
+2). 
е
) 30
х
4
–17
х
3
–228
х
2
+17
х
+30. 
в
) 
х
4
–
х
2
–12. 
ж
)
х
4
–2
х
3
+2
х
2
+2
х
+1. 
г
) 
х
4
+
х
2
+49. 
з
)
х
6
+27. 

76 
6. a) 9
х
3
–15
х
2
–32
х
–12. 
д
) 10
х
2
(
х
–2)
2
–9(
х
2
+(
х
–2)
2
). 
б
) (
х
+1)(
х
+2)(
x
+3)(x+4) – 120. 
е
) 12
х
4
–44
х
3
+63
х
2
–44
х
 
+12. 
в
)
х
4
+2
х
2
–15. 
ж
) 4
х
4
–24
х
3
+29
х
2
+42
х
–63. 
г
)
х
4
+2
х
3
+7
х
2
+6
х
+9. 
з
)
х
4
–2
х
3
+2
х
–1. 
ЧАСТЬ
 3 
Система
 
заданий
 
к
 
семестровым
 
экзаменам
 
§ 1. 
Системы
 
векторов
 
и
 
системы
 
линейных
 
уравнений
 
1.
а
, b, 
с
∈
R
n
,
а
 = b + 
с
.
Верно
ли
, 
что
множество
линейных
комбинаций
вектора
а
совпадает
с
множеством
линейных
комбинаций
векторов
b
 
и
с
? 
2.
Даны
векторы
а
 
и
b
:
 
а
 
=
(1; 2; 2), 
b
=
(3; –2; 1). 
Верно
ли
, 
что
существует
вектор
с
∈
R
3
, 
который
единст
-
венным
образом
линейно
выражается
через
векторы
а
 
и
b
? 
3.
Существует
ли
вектор
b
∈
R
3
, 
который
не
является
линейной
комбинацией
векторов
а
1
, 
а
2
, 
а
3
,
 
где
 
а
1 
=
(1; 2; 
1), 
а
2 
=
(2; 3; 3), 
а
3
=
(3; 7; 1)? 
4.
Пусть
а
1
, 
а
2
, 
а
3
 – 
базис
системы
векторов
 
{
а
1
, 
а
2
, 
а
3
, 
а
4
, …}, 
а
4
=
а
1
+ 
а
2
, 
а
5
=
а
1 
+ 
а
2
+ 
а
3
. 
Составят
ли
базис
этой
системы
векторы
а
4
,
 
а
5
? 
а
3
, 
а
4
, 
а
5
? 
а
3
, 
а
4
, 
а
5
, 
а
6
? 
5.
а
1
, 
а
2
, 
b
1
, 
b
2
, 
b
3
∈
R
2
. 
Что
можно
сказать
о
линейной
зависимости
или
линейной
независимости
систем
{
а
1
, 
а
2
}
 
и
{
b
1
, 
b
2
, 
b
3
}? 
6.
Векторы
а
1
, 
а
2
, 
а
3
, 
а
4
, 
b
1
, 
b
2

жүктеу/скачать 0,63 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: