Практикум по алгебре

83 
11.
Доказать
, 
что
для
того
, 
чтобы
векторное
пространство
V
было
прямой
сум
-
мой
своих
подпространств
U
1
, 
U
2
, 
необходимо
и
достаточно
, 
чтобы
объе
-
динение
базисов
этих
подпространств
составило
базис
всего
пространства
. 
12.
Доказать
, 
что
если
U
1
, 
U
2
подпространства
пространства
V
и
их
объедине
-
ние
совпадает
с
V
, 
то
или
U
1
, 
или
U
2
совпадает
с
V
. 
13.
Пусть
U
1
, 
U
2
, 
U
3
подпространства
пространства
V
. 
а
) 
Показать
, 
что
равенство
U
1
I
(
U
2
+
U
3
) 
=
U
1
I
U
2
+
U
1
I
U
3
выполняется
не
всегда
. 
б
) 
Доказать
равенство
U
1
I
(
U
2
+
U
1
I
U
3
) 
=
U
1
I
U
2
+
U
1
I
U
3
14.
Возможно
ли
, 
чтобы
подпространство
U
векторного
пространства
V
, 
нену
-
левое
и
отличное
от
самого
V
, 
имело
единственное
дополнение
? 
15.
Доказать
, 
что
если
{
a
1
, 
a
2
, … , 
a
n
} 
базис
евклидова
пространства
V 
и
(
a
k
, 
x
) 
=
(
a
k
, 
y
) 
для
всех
k
=
1,
n
, 
то
x
=
y
. 
16.
Доказать
, 
что
если
{
e
1
, 
e
2
, … , 
e
n
} 
ортонормированный
базис
евклидова
про
-
странства
V
, 
то
x
=
∑
k
k
k
e
e
x
)
,
(
для
любого
вектора
x
∈
V
. 
17.
Доказать
, 
что
если
{
e
1
, 
e
2
, … , 
e
n
} 
ортонормированный
базис
евклидова
про
-
странства
V
и
x
, 
y
∈
V
, 
то
(
x
, 
y
) 
=
∑
k
k
k
e
y
e
x
)
,
)(
,
(
. 
18.
Доказать
, 
что
в
пространстве
R
n
любое
подпространство
можно
считать
подпространством
решений
некоторой
системы
линейных
уравнений
. 
19.
Доказать
, 
что
в
евклидовом
пространстве
V 
для
любых
подпространств
U
, 
U
1
, 
U
2
имеют
место
равенства
:
а
) 
V 
⊥
=
θ
; 
б
) 
θ
 
⊥
=
V
; 
в
) (
U 
⊥
)
⊥
=
U
; 
г
) (
U
1
+ 
U
2
)
⊥
=
U
1
⊥
I
U
2
⊥
; 
д
) (
U
1
I
U
2
)
⊥
=
U
1
⊥
+
U
2
⊥
. 
20.
Пусть
процесс
ортогонализации
преобразует
систему
векторов
{
a
1
, 
a
2
,…, 
a
n
} 
в
систему
векторов
{
b
1
, 
b
2
, …, 
b
n
} . 
Доказать
: 
а
) 
процесс
сохраняет
ортогональность
; 
б
) 
k
b
k
a
≤
; 
в
) 
k
b
=
⇔
k
a
a
k
ортогонален
всем
предыдущим
векторам
; 
г
) 
b
k
=
θ
⇔
a
k
линейно
выражается
через
предыдущие
векторы
. 
21.
Пусть
процесс
ортогонализации
преобразует
систему
векторов
{
a
1
, 
a
2
, … , 
a
s
} 
в
систему
векторов
{
b
1
, 
b
2
, … , 
b
s
}. 
Доказать
: 
а
) 
если
система
{
a
1
, 
a
2
, …, 
a
s
} 
линейно
зависима
, 
то
θ
∈
{
b
1
, 
b
2
, … , 
b
s
}; 
б
) 
если
векторы
b
1
, 
b
2
, … , 
b
k
–1 
ненулевые
, 
а
b
k
=
θ
, 
то
система
{
a
1
, 
a
2
, …, 
a
k
–1
} 
линейно
независима
, 
а
a
k
линейно
выражается
через
предыдущие
векторы
. 
22.
Пусть
a
∈
R
n
. 
Найти
размерность
подпространства
векторов
x
, 
для
которых
выполняется
равенство
(
x
, 
a
) 
=
0. 

84 
23.
Пусть
{
a
1
, 
a
2
, …, 
a
n
} 
базис
действительного
пространства
V
. 
Доказать
, 
что
можно
так
определить
скалярное
произведение
в
V
, 
что
векторы
a
1
, 
a
2
, …, 
a
n
 
составят
ортонормированный
базис
пространства
V
. 
24.
Пусть
система
векторов
{
a
1
, 
a
2
, …, 
a
k
} 
линейно
независима
и
системы
{
b
1
, 
b
2
, …, 
b
k
} 
и
{
c
1
, 
c
2
, …, 
c
k
} – 
ортогональные
системы
ненулевых
векторов
, 
такие
, 
что
b
i
, 
c
i
∈
L
(
a
1
, …, 
a
i
), 
i
=
k
1,
. 
Доказать
: 
b
i
=
α
i
c
i
, 
где
α
i
≠
0. 
25.
Доказать
, 
что
в
евклидовом
пространстве
V
ранг
системы
векторов
равняется
размерности
пространства
V
тогда
и
только
тогда
, 
когда
существует
только
единственный
вектор
, 
ортогональный
всем
векторам
этой
системы
(
какой
?). 
§ 5. 
Линейные
 
отображения
 
и
 
линейные
 
операторы
 
1.
Пусть
ϕ
1
и
ϕ
2
линейные
операторы
пространства
R
3
, 
определенные
следую
-
щим
образом
: 
ϕ
1
есть
поворот
вокруг
оси
Oz
на
угол
90
o
, 
ϕ
2
— 
поворот
во
-
круг
оси
Oy
на
угол
90
o
. 
Верно
ли
, 
что
:
а
) (
ϕ
1
ϕ
2
)
2
=
ϕ
1
2
ϕ
2
2
;
б
) 
ϕ
1
2
ϕ
2
2
=
ϕ
2
2
ϕ
1
2
;
в
) 
ϕ
1
ϕ
2
=
ϕ
2
ϕ
1
?
г
) 
показать
, 
что
, 
зная
ответ
на
а
), 
можно
сразу
ответить
на
б
). 
2.
Пусть
V
— 
n
-
мерное
векторное
пространство
, {
a
1
, 
a
2
, …, 
a
k
}, 
где
k
 < 
n
— 
ли
-
нейно
независимая
система
векторов
, 
а
{
b
1
, 
b
2
, … , 
b
k
} – 
произвольная
сис
-
тема
векторов
пространства
. 
а
) 
Верно
ли
, 
что
существует
линейный
оператор
ϕ
: 
V
→
V
, 
переводящий
век
-
торы
a
i
в
векторы
b
i
, 
i
=
k
1,
?
б
) C
колько
таких
линейных
операторов
существует
(
поле
коэффициентов
R
)? 
3.
а
) 
Доказать
, 
что
ранг
матрицы
сюръективного
линейного
отображения
ко
-
нечномерных
векторных
пространств
равен
числу
строк
, 
а
ранг
матрицы
инъективного
линейного
отображения
равен
числу
столбцов
этой
матрицы
. 
б
) 
Вывести
отсюда
, 
что
всякий
инъективный
линейный
оператор
конечно
-
мерного
векторного
пространства
является
сюръекцией
и
наоборот
. 
4.
Пусть
V
1
, 
V
2
векторные
пространства
размерностей
m
и
n
соответственно
,
над
полем
Z
p
. 
Сколько
существует
линейных
отображений
из
V
1
в
V
2
? 
5.
Привести
примеры
: 
а
) 
инъективного
, 
но
не
сюръективного
линейного
оператора
; 
б
) 
сюръективного
, 
но
не
инъективного
линейного
оператора
. 
6.
Доказать
, 
что
если
ϕ
и
ψ
линейные
операторы
конечномерного
векторного
пространства
V
и
ψ
o
ϕ
=
ε
V
, 
то
ϕ
и
ψ
автоморфизмы
. 
7.
Доказать
, 
что
если
{
a
1
, 
a
2
, …, 
a
n
} 
и
{
b
1
, 
b
2
, …, 
b
n
} — 
базисы
векторного
пространства
V
, 
ϕ
— 
такой
линейный
оператор
, 
что
ϕ
 
(
a
k
) 
=
b
k
, 
k
=
1,
n
и
А
— 
матрица
этого
линейного
оператора
, 
то
det 
A
≠
0. 
8.
Доказать
, 
что
линейный
оператор
n
-
мерного
векторного
пространства
обра
- 
тим
тогда
и
только
тогда
, 
когда
он
сохраняет
линейную
независимость
. 

85 
9.
Доказать
, 
что
если
линейный
оператор
конечномерного
пространства
перево
- 
дит
систему
образующих
в
систему
образующих
, 
то
он
является
автоморфиз
- 
мом
. 
10.
Доказать
, 
что
линейный
оператор
n
-
мерного
пространства
является
авто
-
морфизмом
тогда
и
только
тогда
, 
когда
для
любого
подпространства
U
его
размерность
и
размерность
его
образа
равны
. 
11.
Доказать
, 
что
если
ϕ
: 
V 
→
W
линейное
отображение
, {
a
1
, 
a
2
, …, 
a
n
} 
базис
V
, 
причем
система
векторов
{
a
1
, 
a
2
, … , 
a
k
} 
составляет
базис
Ker
ϕ
, 
то
{
ϕ
(
a
k
+1
), …, 
ϕ
(
a
n
)} 
линейно
независимая
в
W
система
векторов
. 
12.
Доказать
, 
что
если
ϕ
линейный
оператор
V
, 
для
которого
выполняется
ра
-
венство
ϕ
2
=
ϕ
, 
то
V
=
Ker
ϕ
 
⊕
Im
ϕ
. 
13.
Доказать
, 
что
всякое
подпространство
векторного
пространства
является
а
) 
ядром
некоторого
линейного
оператора
;
б
) 
образом
некоторого
линейного
оператора
. 
14.
Построить
два
различных
линейных
оператора
векторного
пространства
, 
имеющих
одинаковые
образ
и
ядро
. 
15.
Пусть
V
векторное
пространство
над

жүктеу/скачать 0,63 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: