Точными методами называются такие методы, которые в предположении, что вычисления ведутся точно (без округлений), за конечное число действий позволяют получить точные значения неизвестных xi.
Приближенными методами называются такие методы, которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение системы (x1, x2, ..., xn) лишь с заданной точностью. Точное решение СЛАУ в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса.
К приближенным методам относятся метод простой итерации, метод Зейделя и т.п.
3.2. Метод Гаусса
Наиболее распространенным методом решения СЛАУ является метод Гаусса, в основе которого лежит идея последовательного исключения неизвестных. Существуют различные схемы, реализующие данный метод. Рассмотрим одну из них – схему единственного деления.
Для простоты ограничимся рассмотрением СЛАУ с четырьмя неизвестными:
(3.7)
Пусть a11 0 (ведущий элемент). Разделив первое уравнение на a11, получим первую главную строку:
(3.8)
где (j = 2,3,4,5).
Используя уравнение (3.8), можно исключить неизвестные x1 из 2-го,
3-го и 4-го уравнений системы (3.7). Для этого последовательно умножаем уравнение (3.8) на a21; a31; a41 и вычитаем результат из 2-го, 3-го и 4-го уравнений системы (3.7) соответственно.
В результате получим систему из трех уравнений:
(3.9)
где коэффициенты вычисляются по формуле
(i = 2, 3, 4; j = 2, 3, 4, 5). (3.10)
Далее первое уравнение системы (3.9) делим на ведущий элемент и получаем
(3.11)
где , (j = 3, 4, 5).
Аналогично предыдущему шагу, исключая x2, как и x1, получим систему
(3.12)
Здесь (i = 3, 4; j = 3, 4, 5).
Достарыңызбен бөлісу: |
