7.2. Интерполирование алгебраическими многочленами
Пусть функциональная зависимость задана таблицей y0 = f(x0);…, y1= f(x1);…,yn = f(xn). Обычно задача интерполирования формулируется так: найти многочлен P(x) = Pn(x) степени не выше n, значения которого в точках xi (i = 0, 1 2,…, n) совпадают со значениями данной функции, то есть P(xi) = yi.
Геометрически это означает, что нужно найти алгебраическую кривую вида
(7.1)
проходящую через заданную систему точек Мi(xi,yi) (см. рис. 7.1). Многочлен Р(х) называется интерполяционным многочленом. Точки xi (i = 0, 1, 2,…, n) называются узлами интерполяции.
Рис. 7.1. Интерполирование алгебраическим многочленом
Для любой непрерывной функции f(x) сформулированная задача имеет единственное решение. Действительно, для отыскания коэффициентов а0, а1, а2 ,…, аn получаем систему линейных уравнений
(7.2)
определитель которой (определитель Вандермонда) отличен от нуля, если среди точек xi (i = 0, 1, 2,…, n) нет совпадающих.
Решение системы (7.2) можно записать различным образом. Однако наиболее употребительна запись интерполяционного многочлена в форме Лагранжа и в форме Ньютона.
Запишем без вывода интерполяционный многочлен Лагранжа:
(7.3)
Нетрудно заметить, что старшая степень аргумента х в многочлене Лагранжа равна n. Кроме этого, несложно показать, что в узловых точках значение интерполяционного многочлена Лагранжа соответствует заданным значениям f(xi).
Достарыңызбен бөлісу: |
