Процессы управления и устойчивость

Колбин В.В., Кудряшова Т.Е.

Санкт-Петербургский государственный университет

Исследование групповых решений

в условиях нечетких данных

Рассматривается задача построения групповых экспертных ре-

шений, удовлетворяющих классическому принципу единогласия Па-

рето, для случаев, когда исходные данные представлены в форме

нечетких бинарных отношений. Задача решается на основе резуль-

татов исследования структур выпуклых множеств и их оболочек в

пространствах нечетких бинарных отношений. В отличие от четкого

случая, решение доводится до единственного группового суждения.

Для пространств нечетких частных порядков вводится метрическая

структура.

Пространством нечетких бинарных отношений (Φ, R) над мно-

жеством A называется произвольное подмножество множества всех

нечетких бинарных отношений на A. При этом под "нечетким пред-

почтением" будем подразумевать произвольное нечеткое бинарное

отношение.

Пусть (Φ, R) – произвольное пространство нечетких отношений.

Определение 1 [1]. Пусть R и R – различные точки простран-

ства (Φ, R). Точка R лежит между точками R и R (обозначается

R ∈ [R , R ]) тогда и только тогда, когда R

R ⊆ R ⊆ R

R .

Введенное понятие позволяет сформулировать аналогичное опре-

деление для произвольного семейства точек:

i∈I

R

i

⊆ R ⊆

i∈I

R

i

,

а также для линейного сегмента.

Теорема 1. В произвольном пространстве нечетких отноше-

ний (Φ, R) между любыми двумя различными точками существу-

ет линейный сегмент.

Теорема 2. Для любого линейного сегмента L(R , R ) суще-

ствует определенная на нем взаимно однозначная функция l(R) со

значениями в интервале [0, 1], удовлетворяющая следующим усло-

виям: l(R ) = 0; l(R ) = 1; R ∈ [P, Q] тогда и только тогда, когда

(l(R) − l(P )) ≤ (l(R) − l(Q)) ≤ 0.

Определение 2. Выпуклой оболочкой C(X) множества X в про-

странстве (Φ, R) называется наименьшее выпуклое множество, со-

держащее данное множество X.

569

Выпуклая оболочка множества X всегда существует, определяет-

ся единственным образом и совпадает с пересечением всех выпуклых

множеств пространства (Φ, R), содержащих X. Определение для со-

вокупности точек пространства (Φ, R) приводит к понятию точки

Парето для множества точек пространства.

Определение 3. Точку P пространства (Φ, R) будем назы-

вать точкой Парето множества X точек пространства (Φ, R), если

R∈X

R ⊆ P ⊆

R∈X

R.

Установим теперь взаимосвязь понятий выпуклости и точек Па-

рето. Для любого множества точек X в пространстве (Φ, R) C(X) ⊆

Π(X). Множества C(X) и Π(X) различны. Однако, как и в четком

случае, имеется целый класс пространств, для которых множество

точек Парето любого множества совпадает с выпуклой оболочкой

этого множества.

Определение 4. Пространство (Φ, R) называется полным, если

для любых различных точек R и R существует линейный сегмент

L(R , R

”

) в (Φ, R), который можно представить в виде объединения

линейных сегментов

L(R , R ) = L(R

0

, R

1

)

L(R

1

, R

2

)

. . .

L(R

m−1

, R

m

),

где R

0

= R , R

m

= R , таких, что симметрическая разность R

i

R

i+1

есть одноэлементное нечеткое множество для всех i = 1, m.

Сформулированное определение полноты пространства гаранти-

рует не только достаточный запас точек в пространстве, но и относи-

тельно "плотное" их расположение. Для любого множества точек X

полного пространства (Φ, R), справедливо включение Π(X) ⊆ C(X).

В полном пространстве (Φ, R) выпуклая оболочка C(X) произволь-

ного множества X совпадает с множеством точек Парето: C(X) =

Π(X).

Теорема 3 [3]. В полном пространстве (Φ, R), выпуклая оболоч-

ка любого множества X есть пересечение пространства (Φ, R),

с выпуклой оболочкой X в пространстве (Φ, B) : C

(Φ,R)

(X) =

C

(Φ,B)

(X) (Φ, R).

Далее рассматриваем пространство нечетких частичных поряд-

ков (Φ, R, σ). Полнота данного пространства является достаточным

условием для совпадения понятий выпуклой оболочки – множества

точек Парето.

Лемма 1. Пересечение любого множества отношений нечет-

кого частичного порядка есть нечеткий частичный порядок.

570

Из леммы следует, что для установления полноты пространства

(Φ, R, σ) достаточно построить основу линейного сегмента между

точками P и Q для случая, когда P ⊂ Q.

Лемма 2. Пусть P ⊂ Q. Тогда существует точка P

1

в про-

странстве (Φ, R, σ), соседняя к Q и такая, что P ⊆ P

1

⊂ Q. Про-

странство (Φ, R, σ) является полным.

Тем самым для него справедливы все результаты, полученные

для полных пространств.

Определение 5. Мерой близости между нечеткими частичны-

ми порядками будем называть функцию d(P, Q), заданную на мно-

жестве всех пар (P, Q) элементов множества (Φ, R, σ), удовлетворя-

ющую следующим условиям:

1. d(P, Q) = d(Q, P ),

2. d(P, Q) = d(P, R) + d(R, Q) только тогда, когда R ∈ [P, Q],

3. d(p, Q) = |µ

P

(x, y)−µ

Q

(x, y)| для соседних нечетких частичных

порядков P и Q.

Теорема 4. Существует единственная функция d(P, Q), удо-

влетворяющая условиям 1 – 3. Ее значения могут быть вычислены

по формуле d(P, Q) =

(x,y)

|µ

P

(x, y) − µ

Q

(x, y)|.

Из теоремы видно, что мера близости, удовлетворяющая усло-

виям 1 – 3, существует и определяется ими единственным образом.

Такую меру близости можно рассматривать как метрику на про-

странстве (Φ, R, σ). Для построения выпуклой оболочки C(M ) мно-

жества M не всегда необходимо использовать все точки из M. Может

оказаться так, что C(M

1

) = C(M ) для некоторого собственного под-

множества M

1

⊂ M.

Определение 6. Минимальное (по включению) подмножество

B множества M, обладающее свойством C(B) = C(M ), называется

базисом. Точки базиса B называются базисными точками M .

Данное множество M может обладать различными базисами.

Объединение всех базисов совпадает с множеством всех базисных

точек.

Теорема 5. Выпуклая оболочка C(M ) любого конечного множе-

ства M точек пространства (Φ, B) имеет вид C(M ) = {R : R ∈

[R , R ], R ⊂ R }, где R , R – точки пространства (Φ, B).

571

Теорема 6. Если точка P ∈ M является базисной, то µ

P

(x, y) =

R

i

∈M

µ

R

i

(x, y) или µ

P

(x, y) =

R

i

∈M

µ

R

i

(x, y) хотя бы для одной

пары (x, y) ∈ A × A.

Основной задачей является построение множества допустимых

групповых решений в пространстве (Φ, B, σ). Такое множество бу-

дет построено в виде ядра выпуклой оболочки, определенное как

некоторое подмножество выпуклой оболочки, находящееся в ее сере-

дине.

Обозначим M

0

= M и определим последовательность множеств

M

k

рекуррентным соотношением M

k

= M

k−1

, k = 1, 2, . . . Так как

M – конечное множество, а iM ⊂ M , то последовательность M

k

,

начиная с некоторого номера N, стабилизируется: M

N +1

= M

N +2

=

. . . =

. Это означает, что iM

N

=

, то есть M

N

= δM

N

. Таким об-

разом, построена последовательность вложеных подмножеств мно-

жества M , из которых последнее непустое совпадает со своим гра-

ничным слоем.

Определение 7. Ядром K(M ) конечного множества M точек

пространства (Φ, B, σ) будем называть выпуклую оболочку послед-

него непустого множества в последовательности K(M ) = C(M

N

).

Описанное в этом определении множество нечетких частичных

порядков представляет собой множество групповых решений, до-

пустимых для выбора среди них одного единственного решения.

Процедура построения такова: пусть M – конечное множество то-

чек в пространстве (Φ, B, σ). Обозначим µ

M

I

=

R∈M

µ

R

(x, y) и

µ

M

II

=

R∈M

µ

R

(x, y). Для k = 1, 2, . . . определим процедуру постро-

ения ядра следующим образом.

Шаг 1. Среди точек множества M

k

выделим те, у которых

функция принадлежности хотя бы на одной паре (x, y) совпадает с

µ

M

k

I

или с µ

M

k

II

. Эти точки составляют множество δM

k

. Определяем

M

k+1

= iM

k

= M

k

δM

k

.

Шаг 2. Если M

k+1

=

, то полагаем K(M ) = C(M

k

). Если

M

k+1

=

, то k = k + 1, и переходим к шагу 1.

Эта процедура за конечное число шагов позволяет сформулиро-

вать множество K(M ). Задача алгоритма в том, чтобы для исход-

ного множества M из N отношений предпочтения, представленных

в форме нечетких частичных порядков, построить последователь-

ность из s вложенных друг в друга выпуклых оболочек – граничных

слоев δM

s

.

Далее строим единственное групповое решения на основе опе-

572

рации осреднения. Так как нечеткий частичный порядок определя-

ется двумя условиями – антирефлексивностью и транзитивностью,

то возникающая здесь проблема состоит в том, чтобы построенное

среднее отношение также обладало этими свойствами. Сначала стро-

ится такая модель пространства (Φ, R, σ), изоморфная в рамках гео-

метрического подхода к самому пространству (Φ, R, σ), что опера-

ция осреднения, примененная к произвольной совокупности исход-

ных данных, не нарушает свойства антисимметричности. Тем самым

вопрос сводится к построению транзитивного группового решения.

Определение 8. Пространством AS будем называть множество

всех действительных функций на A × A, удовлетворяющих условию

антисимметричности f (x, y) = −f (y, x)

Модель пространства (Φ, R, σ) и взаимно однозначное отображе-

ние Φ пространства (Φ, R, σ) в эту модель позволяют предложить

следующий подход к построению единственного группового реше-

ния. Обозначим через f

cp

среднее арифметическое образов тех ис-

ходных точек, выпуклой оболочкой которых является ядро. Вообще

говоря, прообраз f

cp

, хотя и антисимметричное отношение, может не

принадлежать (Φ, R, σ), так как может оказаться нетранзитивным.

Рассмотрим в пространстве AS отрезок, соединяющий точки f

min

(образ минимального отношения из ядра) и f

cp

, и на этом отрез-

ке выберем точку, ближайшую к f

cp

, прообраз которой принадле-

жит (Φ, R, σ). Прообраз этой точки принимается за групповое реше-

ние, соответствующее исходным данным, для которых было постро-

ено ядро. Необходимо задать точность ε, с которой будет опреде-

лено групповое решение. Алгоритм последовательно, начиная с f

cp

,

с определенным шагом перебирает точки отрезка [f

min

, f

cp

] до тех

пор, пока не будет получена точка, прообраз которой транзитивен.

Шаг алгоритма равен

/ε, где

= max

(x,y)

|f

cp

(x, y) − f

min

(x, y)|.

Литература

1. Кузьмин В.Б., Овчинников С.В. Построение групповых решений в

пространствах четких бинарных отношений. М.: ВНИИСИ, 1979.

2. Колбин В.В., Кудряшова Т.Е. Манипулирование в социальных

группах СПб: НИИ Химии СПбГУ, 2002.

3. Zadeh L.A. Similarity Relations and Fuzzy Orderings // Information

Siences, 1971. Vol. 3. P. 177–200.

573

Константинов А.М., Малафеев О.А.

Санкт-Петербургский государственный университет

Компромиссное решение в динамической модели

акционированной фирмы с кредитованием

Рассматривается математическая модель F деятельности фирмы

F на промежутке времени t ∈ [0, T ], владельцы которой (акционеры)

составляют множество I = {1, . . . , n} = {i}

n

1

. Фирма F в момент

времени t ∈ [0, T ] обладает капиталом K(t) =

n

i=1

K

i

(t), который

складывается из чистых капиталов акционеров X(t) =

n

i=1

X

i

(t) и их

кредитных займов Y (t) =

n

i=1

Y

i

(t):

K(t) =

n

i=1

X

i

(t) +

n

i=1

Y

i

(t).

На размер кредита накладываются ограничения:

0 ≤ Y

i

(t) ≤ kX

i

(t).

В каждый момент t ∈ [0, T ] фирма выпускает однородную про-

дукцию в объеме Q(t) = qK(t) (где q – производительность капи-

тала), которая реализуется на рынке, и выручка в момент времени

t ∈ [0, T ] равняется S(t) = p(t)Q(t) = p(t)qK(t), где p(t) – цена товара

на рынке.

В каждый момент времени t ∈ [0, T ] фирма платит зарплату

wL(t), где w > 0 – ставка заработной платы, а L = L(t) – численность

рабочих, L(t) = (1/l)K(t), где l – величина капитала на одного рабо-

чего. Фирма также платит проценты по кредиту

t

0

r(τ )Y (τ )dτ , где

r(t) > 0 – процентная ставка, и делает амортизационные отчисления

aK(t), где a – норма амортизации.

Обозначим через X

0

=

n

i=1

X

i

(0), K

0

=

n

i=1

K

i

(0) – начальные объ-

емы чистого и общего капиталов, через I(t) =

n

i=1

I

i

(t) – объем инве-

стиций.

574

Каждому акционеру в момент времени t ∈ [0, T ] выплачиваются

дивиденды D

i

(t), D(t) =

n

i=1

D

i

(t).

Тогда имеют место следующие балансовые тождества:

˙

X(t) = (p(t)q − a −

w

l

)K(t) −

t

0

r(τ )Y (τ )dτ − D(t),

˙

K(t) = −aK(t) + I(t) + Y (t),

X(t) =

n

i=1

X

i

(t),

K(t) =

n

i=1

K

i

(t),

D(t) =

n

i=1

D

i

(t),

I(t) =

n

i=1

I

i

(t),

X

i

(0) = X

i0

,

K

i

(0) = K

i0

,

i = 1, . . . , n.

(1)

Пусть выполнены все условия теоремы существования и един-

ственности решений задачи Коши для системы дифференциальных

уравнений (3). Тогда в рассматриваемой модели каждому набору

(D

i

(t), I

i

(t), Y

i

(t)), t ∈ [0, T ] допустимых управлений акционера i со-

ответствует единственная траектория X(t), K(t), t ∈ [0, T ] системы

уравнений (1).

Допустимым управлением акционера i в модели F назовем трой-

ку кусочно-непрерывных функций D

i

(t), I

i

(t), Y

i

(t), t ∈ [0, T ], удо-

влетворяющих неравенствам:

0 ≤ D

i

(t) ≤

X

i0

n

i=1

X

i0

D

max

, I

min

i

≤ I

i

(t) ≤ I

max

i

, 0 ≤ Y

i

(t) ≤ kX

i

(t),

где D

max

> 0, I

min

i

, I

max

i

> 0, k > 0 – заданные числа.

Конечный доход каждого акционера i определяется взвешенной

суммой объема накопленного чистого капитала и выплаченных дис-

контированных дивидендов:

V

i

(D

i

(t), I

i

(t), Y

i

(t)) = α

i

e

−dT

X(T ) +

T

0

e

−dt

D

i

(t)dt,

где d – коэффициент дисконтирования, α

i

– весовой коэффициент,

равный

575

α

i

=

X

i0

+

T

0

Y

i

(τ )dτ

n

i=1

X

i0

+

T

0

Y

i

(τ )dτ

.

В данной модели в качестве решения принимается компромисс-

ная точка:

u = arg min

D

i

,I

i

,Y

i

max

i

( max

D

i

,I

i

,Y

i

V

i

(D

i

(t), I

i

(t), Y

i

(t))−V

i

(D

i

(t), I

i

(t), Y

i

(t))).

Рассмотрим числовой пример одношаговой математической мо-

дели деятельности фирмы с тремя акционерами на временном про-

межутке t ∈ [0, 3]. Рассмотрим разбиение данного промежутка на

интервалы [0, 1), [1, 2), [2, 3]. Положим управляющие функции посто-

янными на данных интервалах.

Пусть k = 1, 5 – значение отношения возможного максимального

кредита к чистому капиталу,

q = 0, 1 – значение производительности капитала,

w = 1200 – ставка заработной платы,

a = 0, 05 – норма амортизации, берущаяся из расчета, что срок

полезного использования нашего оборудования равен 20 годам,

r

0

= 0, 05, r

1

= 0, 1, r

2

= 0, 08 – процентные ставки выплат по

кредиту на каждом временном интервале,

i = 0, 07 – коэффициент дисконтирования.

Пусть цена на товар линейно зависит от времени и вычисляется

по следующей формуле p(t) = 30 + 2(t − 1).

На начальный момент времени, чистый капитал первого игро-

ка положим равным X

0

1

= 20000, второго X

0

2

= 30000 и третьего

X

0

3

= 6000 соответственно. В связи с тем, что в начальный момент

времени в данном примере реализован случай дешевого кредита, так

как i > r

0

, то игрокам целесообразно взять максимально возможную

сумму в кредит. Пусть количество нанятых рабочих в начальный мо-

мент времени есть L(0) = 35. Отсюда величина капитала на одного

рабочего составляет l = 4000.

576

Тогда балансовые тождества будут выглядеть следующим обра-

зом:

˙

X(t) = (0, 2t + 2, 45)K(t) −

3

0

r(τ )Y (τ )dτ − D(t),

˙

K(t) = −0, 05K(t) + I(t) + Y (t),

X(t) =

n

i=1

X

i

(t),

K(t) =

n

i=1

K

i

(t),

D(t) =

n

i=1

D

i

(t),

I(t) =

n

i=1

I

i

(t),

X

0

= 56000,

K

0

= 140000,

i = 1, . . . , n.

Положим на каждом временном интервале D

1max

= 16800,

D

2max

= 19800,

D

3max

= 21000, I

1max

1

= 6000, I

2max

1

= 7100,

I

3max

1

= 7600, I

1max

2

= 9000, I

2max

2

= 10000,

I

3max

2

= 11000,

I

1max

3

= 1600, I

2max

3

= 1900, I

3max

3

= 2100, I

jmin

i

= 1000, i = 1, 2, 3,

j = 1, 2, 3.

Тогда компромиссное решение в построенной конечной игре до-

стигается при D

1

1

= 6000,

D

2

1

= 7200, D

3

1

= 1800,

D

1

2

= D

2

2

=

D

3

2

= 0, D

1

3

= 1100, D

2

3

= 2000, D

3

3

= 4700, I

1

1

= 3000, I

2

1

= 4000,

I

3

1

= 7600, I

1

2

= 4000, I

2

2

= 10000, I

3

2

= 11000, I

1

3

= 0 = I

2

3

= I

3

3

= 0,

Y

1

1

жүктеу/скачать 30,48 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: