Процессы управления и устойчивость

V / 2(ch β

1

− cos α) =

∞

n=0

B

n

sh(n + 1/2)(β

0

− β

1

)P

n

(cos α).

Используя второе граничное условие и проводя соответствующие

вычисления [4], коэффициенты B

n

можно выписать в явном виде

B

n

=

V e

−(n+1/2)β

1

sh(n + 1/2)(β

0

− β

1

)

.

(3)

Далее используем непрерывность потенциала U

0

(α, β

0

− 0) =

U

1

(α, β

0

+ 0),

0 ≤ α ≤ π, находим связь между коэффициентами

A

n2

= A

n1

sh(n + 1/2)(β

0

− β

1

). Учитывая непрерывность производ-

ной по нормали на границе раздела двух областей

∂U

0

∂β

β=β

0

+0

=

∂U

1

∂β

β=β

0

−0

, 0 < α < α

0

, и (3), приходим к уравнению

∞

n=0

(n + 1/2) A

n1

e

(n+1/2)(β

0

−β

1

)

+

+

V e

−(n+1/2)β

1

sh(n + 1/2)(β

0

− β

1

)

P

n

(cos α), 0 < α < α

0

.

(4)

Введем новые коэффициенты

C

n

= A

n1

e

(n+1/2)(β

0

−β

1

)

+

V e

−(n+1/2)β

1

sh(n + 1/2)(β

0

− β

1

)

,

(5)

тогда уравнение (4) преобразуется к виду

∞

n=0

(n + 1/2)C

n

P

n

(cos α) = 0, 0 < α < α

0

.

(6)

Используя граничное значение U

0 β=β

0

= 0, α

0

< α < π, получа-

ем второе уравнение

∞

n=0

A

n2

P

n

(cos α) = 0, α

0

< α < π.

(7)

Из (5) коэффициенты A

n2

можно записать так:

161

A

n2

=

C

n

sh(n + 1/2)(β

0

− β

1

) − V e

−(n+1/2)β

1

e

(n+1/2)(β

0

−β

1

)

.

(8)

Тогда уравнение (7) примет вид

∞

n=0

C

n

sh(n + 1/2)(β

0

− β

1

)

e

(n+1/2)(β

0

−β

1

)

P

n

(cos α) =

=

∞

n=0

V e

−(n+1/2)β

1

e

(n+1/2)(β

0

−β1)

P

n

(cos α), α

0

< α < π.

(9)

Введем обозначения

f (α) =

∞

n=0

V e

−(n+1/2)β

1

e

(n+1/2)(β

0

−β1)

P

n

(cos α),

(10)

g

n

=

sh(n + 1/2)(β

0

− β

1

)

e

(n+1/2)(β

0

−β1)

.

(11)

Так как lim g

n

= 1/2, n → ∞, то ряд (9) примет вид

∞

n=0

(1 − g

∗

n

)C

n

P

n

(cos α) = f

∗

(α),

где g

∗

n

= 1−2g

n

, f

∗

(α) = 2f (α). Коэффициенты A

n1

можно выразить

через коэффициенты

A

n1

=

C

n

sh(n + 1/2)(β

0

− β

1

) − V e

−(n+1/2)β

1

e

(n+1/2)(β

0

−β1)

sh (n + 1/2)(β

0

− β

1

)

.

(12)

Итак, ряды (4) и (7) сводятся к стандартным парным рядам

∞

n=0

(n + 1/2)C

n

P

n

(cos α) = 0, 0 < α < α

0

,

∞

n=0

(1 − g

n

)C

n

P

n

( cos α) = f (α), α

0

< α < π.

(13)

Решение системы (13) известно [1-3]. Полагая

162

C

n

=

π

α

0

ϕ(t) sin(n + 1/2)tdt,

(14)

получаем уравнение Фредгольма второго рода относительно функ-

ции ϕ(x)

ϕ(x) −

1

π

π

α

0

K(x, t)ϕ(t)dt =

2

π

d

dx

π

x

f

∗

(α) sin α

2(cos x − cos α)

,

α

0

≤ α ≤ π,

(15)

ядро которого имеет вид

K(x, t) = e

−2(n+1/2)(β

0

−β

1

)

×

× cos(n + 1/2)(t − x) − cos(n + 1/2)(t + x) ,

а правая часть после преобразований выглядит так:

4V

√

2π(1 + cos x)

2

∞

n=0

e

−(n+1/2)β

0

n + 1/2

×

× (n sin nx + (n + 1) sin(n + 1)x)(1 + cos x)−

− sin x(cos nx + cos(n + 1)x) .

Таким образом, решив уравнение (15), согласно формулам (3–14)

найдем распределение потенциала (1), (2) в любой точке системы.

Литература

1. Виноградова Е.М. Метод парных уравнений в задачах матфизи-

ки. Методические указания. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000. 24 с.

2. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической

физики. Л.: Наука, 1977. 220 с.

3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физи-

ки. М.: Наука, 1977. 736 с.

4. Справочник по специальным функциям / Под ред. Абрамовица

М., Стиган И. М.: Наука, 1979. 832 с.

163

Макаров А.А.

Санкт-Петербургский государственный университет

Об алгебраических тождествах

в теории B

ϕ

-сплайнов

1

Рекомендовано к публикации профессором Демьяновичем Ю.К.

1. Введение. Аппроксимация и интерполяция широко использу-

ются при построении приближенных методов решения задач мате-

матической физики и обработки информации. В работе [1] введены

непрерывно дифференцируемые B

ϕ

-сплайны второго порядка, даны

условия существования и единственности пространств таких сплай-

нов. При построении теории B

ϕ

-сплайнов (вообще говоря, неполино-

миальных) возникает необходимость в упрощении полученных фор-

мул [2]. В данной работе рассматриваются алгебраические тожде-

ства, природа появления которых изначально не была ясна, но ис-

пользование которых существенно упрощает доказательство ряда

утверждений из общей теории.

2. Пространство B

ϕ

-сплайнов второго порядка. Пусть Z –

множество всех целых чисел, R

1

– множество всех вещественных

чисел, {a

j

}

j∈Z

– множество трехмерных вектор-столбцов a

j

с ве-

щественными компонентами. Квадратную матрицу третьего поряд-

ка с трехкомпонентными вектор-столбцами a, b, c будем обозначать

(a, b, c), а ее определитель det(a, b, c). Точкой ”·” обозначим скалярное

произведение векторов, а ”×” – векторное произведение векторов. На

вещественной оси R

1

введем сетку

X :

. . . < x

−2

< x

−1

< x

0

< x

1

< x

2

< . . .

и положим

lim

j→−−∞

x

j

= α, lim

j→+∞

x

j

= β.

Пусть M =

j∈Z

(x

j

, x

j+1

), S

j

= [x

j−1

, x

j+2

], J

k

= {k − 1, k, k + 1},

k, j ∈ Z. Рассмотрим трехкомпонентную непрерывно дифференци-

руемую вектор-функцию ϕ(t), t ∈ (α, β). Пусть N (t) = ϕ(t) × ϕ (t),

ϕ

j

= ϕ(x

j

), ϕ

j

= ϕ (x

j

), N

j

= N

j

(x

j

), a

j

= N

j

× N

j+1

.

1

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 04-01-00692 и

04-01-00026)

164

Предположим, что {a

j

}

j∈Z

– полная цепочка векторов, т.е. для

всех j ∈

Z имеем det(a

j−1

, a

j

, a

j+1

) = 0. Рассмотрим функции

Ω

j

(t), заданные на M, равные нулю на множестве M \S

j

и удо-

влетворяющие аппроксимационным соотношениям

j∈Z

a

j

Ω

j

(t) ≡

ϕ(t), для всех t ∈ M. Отсюда по формулам Крамера получаем

Ω

j

(t) ≡ 0 t ∈ M \S

j

,

j ∈ Z,

Ω

j

(t) =

det(a

j−2

, a

j−1

, ϕ(t))

det(a

j−2

, a

j−1

, a

j

)

при t ∈ (x

j−1

, x

j

),

Ω

j

(t) =

det(a

j−1

, ϕ(t), a

j+1

)

det(a

j−1

, a

j

, a

j+1

)

при t ∈ (x

j

, x

j+1

),

Ω

j

(t) =

det(ϕ(t), a

j+1

, a

j+2

)

det(a

j

, a

j+1

, a

j+2

)

при t ∈ (x

j+1

, x

j+2

).

(1)

Функции Ω

j

(t) называются координатными B

ϕ

-сплайнами на сетке

X . Линейную оболочку этих функций обозначим B

ϕ

(X ) и будем ее

называть пространством B

ϕ

-сплайнов второго порядка на сетке X .

3. Алгебраические тождества. Сформулируем ряд утвержде-

ний, в которых содержатся интересующие нас алгебраические тож-

дества.

Лемма 1. Для векторов a, b, c, d, e, f ∈ R

3

справедливо тождест-

во det(a × b, c × d, e × f ) = det(a, c, d)det(b, e, f ) − det(b, c, d)det(a, e, f ).

При доказательстве используется следующая формула двойно-

го векторного произведения: (x × y) × (z × w) = det(x, z, w)y −

−det(y, z, w)x, x, y, z, w ∈ R

3

и формула представления смешанного

произведения векторов в виде определителя.

Лемма 2. Для векторов A, B, C, D ∈ R

3

справедливо соотноше-

ние det(A × B, B × C, C × D) = det(A, B, C)det(B, C, D).

Доказательсво основывается на подстановке a = A, b = c = B, d =

e = C, f = D в предыдущую лемму.

Лемма 3. Для векторов A, B, C, c ∈ R

3

справедливо соотноше-

ние det(A × B, B × C, c) = det(A, B, C)(B · c).

Доказательсво аналогично доказательству леммы 1.

Лемма 4. Для векторов B, C, D, E, c ∈ R

3

таких, что C · c = 0

справедливо соотношение det(B × C, c, D × E) = det(C, D, E)(B · c).

При доказательстве используется следующая формула двойно-

го векторного произведения: (x × y) × (z × w) = det(x, y, w)z −

−det(x, y, z)w, x, y, z, w ∈ R

3

.

165

Лемма 5. Для векторов B, c, c , D ∈ R

3

справедлива формула

det

B · c

B · c

D · c

D · c

= det(B, C, D), где C = c × c .

Доказательство опирается на тождество Лагранжа

det

x · z x · w

y · z

y · w

= (x × y) · (z × w).

Лемма 6. Для произвольных векторов P, Q, R, S, T из R

3

спра-

ведлива формула det(P, Q, R)det(R, S, T ) + det(Q, R, S)det(P, R, T ) =

det(Q, R, T )det(P, R, S).

Доказательство основывается на использовании формулы опре-

делителя ступенчатой матрицы и на свойстве определителя матри-

цы, в которой каждый элемент некоторого столбца представляется

в виде суммы двух слагаемых.

4. Примеры. Рассмотрим два примера B

ϕ

-сплайнов второго по-

рядка. В первом случае получается известный полиномиальный B-

сплайн второй степени, во втором случае получается, вообще говоря,

неизвестный тригонометрический B

ϕ

-сплайн.

Пример 1. Пусть ϕ(t) = (1, t, t

2

)

T

; получаем полную цепочку

векторов a

j

= 1,

x

j+1

+x

j

2

, x

j+1

x

j

T

. По формулам (1) находим из-

вестный полиномиальный B-сплайн ω

B

j

второй степени, supp ω

B

j

=

[x

j−1

, x

j+2

].

Пример 2. Пусть ϕ(t) = (1, sin t, cos t)

T

. Предполагая, что

x

j+1

− x

j

< π,

j ∈ Z, получаем полную цепочку векторов

a

j

= cos

x

j+1

−x

j

2

, sin

x

j+1

+x

j

2

, cos

x

j+1

+x

j

2

T

. На сетке X по форму-

лам (1) находим тригонометрический B

ϕ

-сплайн ω

B

ϕ

j

второго поряд-

ка, supp ω

B

ϕ

j

= [x

j−1

, x

j+2

].

Литература

1. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. О сплайнах максимальной гладко-

сти // Вестник Санкт-Петербургского университета. 2004. Сер. 1.

Вып. 4. С. 3–11.

2. Демьянович Ю.К. Гладкость пространств сплайнов и всплесковые

разложения // Докл. АН, 2005. Т. 401, № 4. С. 1–4.

166

Малькова Ю.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Слабо искривленная трещина около

границы раздела двух сред

1

Рекомендовано к публикации профессором Грековым М.А.

Введение. Строится решение задачи для двухкомпонентной

плоскости с криволинейной трещиной около границы раздела сред.

Для решения этой задачи используется метод суперпозиции реше-

ний частных более простых задач. Основной является задача для

однородной плоскости с криволинейной трещиной. Задача решается

методом разложения по малому параметру, который входит в урав-

нение гладкой кривой, описывающей криволинейную трещину.

Постановка задачи. Рассматривается плоская задача теории

упругости (плоская деформация или плоское напряженное состоя-

ние) для двухкомпонентного тела. Обозначим Ω

k

(k = 1, 2) полу-

плоскости на плоскости комплексной переменной z = x

1

+ ix

2

. На

линии сопряжения полуплоскостей Γ выполняются условия идеаль-

ного контакта. В нижней полуплоскости находится криволинейная

трещина Γ

c

конечной длины, которая представляется как малое воз-

мущение прямолинейной базовой трещины, наклоненной по отноше-

нию к границе раздела на угол α

1

. В локальной системе декартовых

координат, связанной с трещиной, ее граница Γ

c

определяется урав-

нением

ζ

c

= ξ

1

+ iξ

2

= ξ

1

+ iεf (ξ

1

),

где функция f (ξ

1

) задает форму криволинейной трещины, кривая

Γ

c

предполагается простой и гладкой, |f (ξ

1

)| = O(1), |f (ξ

1

)| = O(1),

ε

1 – параметр, характеризующий величину максимального от-

клонения формы трещины от прямолинейной. Связь между двумя

системами координат имеет вид

ζ = (z + ih)e

−iα

1

,

h > l sin α

1

,

0 ≤ α

1

≤ π.

1

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фунда-

ментальных исследований (проекты № 05-01-00274 и № 06-01-00658)

167

Рис. 1. Двухкомпонентная плоскость с трещиной

На межфазной границе Γ имеют место условия сопряжения

u

−

(x

1

) = u

+

(x

1

), σ

−

(x

1

) = σ

+

(x

1

), x

1

∈ Γ,

а на трещине действуют самоуравновешенные постоянные усилия

σ

±

(ξ

1

) = p

0

(ξ

1

), |ξ

1

| ≤ l,

(1)

где u = u

1

+iu

2

, σ = σ

nn

+iσ

nt

, u

1

, u

2

– компоненты вектора переме-

щений, соответственно, вдоль осей x

1

и x

2

; σ

nn

, σ

nt

– нормальное и

касательное усилия на контуре трещины. Условия на бесконечности

имеют вид

lim

|z|→∞

σ

ij

(z) = 0,

lim

|z|→∞

ω(z) = 0,

где σ

ij

и ω – напряжения и угол поворота.

Основные соотношения. Напряжения и перемещения выража-

ются через комплексные функции по формулам Колосова – Мусхе-

лишвили [1, 2]

σ

11

+ σ

22

+ 8iµ (1 + κ)

−1

ω = 4Φ (z),

σ

22

− σ

11

+ 2iσ

12

= 2 [zΦ (z) + Ψ (z)],

2µ (u

1

+ i u

2

) = κ ϕ(z) − z ϕ (z) − ψ (z),

(2)

168

где κ = (3 − ν)/(1 + ν) при плоском напряженном состоянии, κ =

3 − 4ν при плоской деформации, ν и µ — соответственно, коэф-

фициент Пуассона и модуль сдвига среды. Комплексные функции

Φ (z) = ϕ (z) и Ψ (z) = ψ (z) кусочно-голоморфны во всей плоскости

[2], кроме концов разреза Γ

c

.

Для решения поставленной задачи используется метод суперпо-

зиции решений [1]. Следуя этому методу, решение ищется в виде

суммы решений двух задач: задача 1 – для двухкомпонентной плос-

кости со скачками напряжений и перемещений на линии сопряжения,

задача 2 – для изотропной плоскости с криволинейной трещиной,

σ

ij

=

σ

b

ij

+ σ

c

ij

, z ∈ Ω

1

,

σ

b

ij

,

z ∈ Ω

2

,

u

i

=

u

b

i

+ u

c

i

z ∈ Ω

1

,

u

b

i

z ∈ Ω

2

.

(3)

После замены комплексных потенциалов в формулах (2) для напря-

жений и перемещений получим выражения

σ

b

(z) = Φ

k

(z) + Φ

k

(z) − Φ

k

(z) + Φ

k

(z) − (z − z)Φ

k

(z) e

−2iα

−2µ

k

(du

b

/dz) = η

k

Φ

k

(z) + Φ

k

(z)−

(4)

Φ

k

(z) + Φ

k

(z) − (z − z)Φ

k

(z) e

−2iα

,

σ

c

(ζ) = Φ(ζ) + Φ(ζ) + Υ(ζ) − Φ(ζ) + (ζ − ζ)Φ (ζ) e

−2iβ

−2µ

1

(du

c

/dζ) = η

1

Φ(ζ) + Φ(ζ)+

(5)

Υ(ζ) − Φ(ζ) + (ζ − ζ)Φ (ζ) e

−2iβ

,

где α – угол между касательной к трещине t и осью x

1

, отсчитыва-

емый от оси x

1

против часовой стрелки, β = α − α

1

.

Задача 1. Рассматривается двухкомпонентная плоскость без

трещины, состоящая из двух областей, которые выполнены из раз-

ных материалов. На линии сопряжения полуплоскостей имеют место

скачки напряжений и перемещений, точнее, скачки производных от

перемещений по x

1

(σ

22

− iσ

21

)

+

− (σ

22

− iσ

21

)

−

=

σ (x

1

),

(u

1

+ iu

2

)

+

− (u

1

+ iu

жүктеу/скачать 30,48 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: