Процессы управления и устойчивость

t

2

=

p

2

−p

1

q

2

−q

1

. Построим функцию реакции для "верхней" фирмы, т.е.

фирмы, предлагающей товар более высокого уровня качества. Заме-

тим, что потребитель t будет покупать продукт этой фирмы, если вы-

полнены условия: t ≥ z (т.е. он получит положительный излишек) и

t ≥ t

2

(т.е. его излишек от приобретения товара более высокого уров-

ня качества выше, чем от приобретения товара более низкого уровня

качества. Заметим, что max{z, t

2

} = z при z ≤ t

1

, и max{z, t

2

} = t

2

при z ≥ t

1

. Таким образом, доля рынка "верхней" фирмы равна

• [z, 1], если z ≤ min{t

1

, 1},

• [t

2

, 1], если 1 ≥ z ≥ t

1

и t

2

≤ 1,

• пустому множеству во всех остальных случаях.

Соответственно доход "верхней" фирмы будет иметь вид:

Π

2

(q

1

, p

1

, q

2

, p

2

) =











(p

2

− aq

2

)(1 − z), при z ≤ min{t

1

, 1},

(p

2

− aq

2

)(1 − t

2

), при 1 ≥ z ≥ t

1

, t

2

≤ 1,

0, во всех остальных случаях.

Таким образом, функция реакции "верхней" фирмы имеет вид:

p

2

(p

1

) =































(1 + a)q

2

2

, при p

1

≥

(1 + a)q

1

2

,

p

1

q

2

q

1

, при

(1 + a)q

1

2

≥ p

1

≥ q

1

(1 + a)q

2

− q

1

2q

2

− q

1

,

p

1

+ (1 + a)q

2

− q

1

2

, при q

1

(1 + a)q

2

− q

1

2q

2

− q

1

≥ p

1

≥ 0.

Аналогично находится функция реакции для "нижней" фирмы,

т.е. фирмы, предлагающей товар более низкого уровня качества

p

1

(p

2

) =































(1 + a)q

1

2

, при p

2

≥

(1 − a)q

1

+ 2q

2

2

,

p

2

−q

2

+q

1

, при

(1 − a)q

1

+ 2q

2

2

≥ p

1

≥

(a − 2)q

1

+ 2q

2

2q

2

− q

1

q

2

1

q

2

,

p

2

+ aq

2

2q

2

q

1

, при

(a − 2)q

1

+ 2q

2

2q

2

− q

1

q

2

1

q

2

≥ p

1

≥ 0.

503

Точкой пересечения кривых реагирования является равновесный

вектор цен (1).

При использовании цен p

∗

1

и p

∗

2

доли рынка конкурирующих фирм

равны соответственно:

D

1

=

(1 − a)q

2

4q

2

− q

1

, D

2

=

2(1 − a)q

2

4q

2

− q

1

,

(2)

а прибыли фирм:

Π

1

=

(1 − a)

2

(q

2

− q

1

)q

1

q

2

(4q

2

− q

1

)

2

−

1

2

q

2

1

,

Π

2

=

4(1 − a)

2

(q

2

− q

1

)q

2

2

(4q

2

− q

1

)

2

−

1

2

q

2

2

.

(3)

Утверждение 2. В QP (a)-модели стратегической конкуренции

существует единственное абсолютное равновесие SPE. Оптималь-

ные уровни качества, выбираемые фирмами на первом шаге, соста-

вят:

q

∗

1

= 0, 0482(1 − a)

2

, q

∗

2

= 0, 2533(1 − a)

2

,

а оптимальные цены определяются по правилу (1) при q

1

= q

∗

1

,

q

2

= q

∗

2

.

Доказательство. Для того, чтобы уровни качества (q

∗

1

, q

∗

2

), вы-

бираемые фирмами, были оптимальными, необходимо, чтобы первые

производные от функций прибыли фирм (3) в точке (q

∗

1

, q

∗

2

) удовле-

творяли условиям:

∂Π

1

∂q

1

(q

∗

1

, q

∗

2

) = 0,

∂Π

2

∂q

2

(q

∗

1

, q

∗

2

) = 0,

(4)

а вторые производные были отрицательны в точке (q

∗

1

, q

∗

2

).

Первые производные фирмы 1 и 2 по q

1

и q

2

соответственно рав-

ны:

504

∂Π

1

∂q

1

=

(1 − a)

2

q

2

2

(4q

2

− 7q

1

)

(4q

2

− q

1

)

3

− q

1

,

∂Π

2

∂q

2

=

4(1 − a)

2

q

2

(4q

2

2

− 3q

1

q

2

+ 2q

2

1

)

(4q

2

− q

1

)

3

− q

2

.

Вторые производные:

∂

2

Π

1

∂q

2

1

=

−2(1 − a)

2

q

2

2

(8q

2

+ 7q

1

)

(4q

2

− q

1

)

4

− 1 < 0,

∂

2

Π

2

∂q

2

2

=

−8(1 − a)

2

q

2

1

(5q

2

2

− q

1

)

(4q

2

− q

1

)

4

− 1 < 0.

Заметим, что вторые производные отрицательны при ∀ q

1

, q

2

.

Cистема уравнений (4) может быть сведена к системе:

q

2

= µq

1

,

4µ

3

− 23µ

2

+ 12µ − 8 = 0.

Кубическое уравнение этой системы имеет единственное решение

µ = 5, 2512, большее единицы. Подставляя выражение q

2

= µq

1

в

любое из уравнений (4) и решая его, получаем оптимальные уровни

качества: q

∗

1

= 0, 0482(1 − a)

2

, q

∗

2

= 0, 2533(1 − a)

2

.

Прибыли фирм при выборе данных оптимальных уровней качест-

ва имеют вид:

Π

∗

1

= 0, 0015(1 − a)

4

, Π

∗

2

= 0, 0244(1 − a)

4

.

Отметим, что этого недостаточно для того, чтобы утверждать,

что вектор (q

∗

1

, q

∗

2

) является равновесным по Нэшу.

Необходимо проверить, что "нижняя" фирма не может совер-

шить выгодного одностороннего отклонения от (q

∗

1

, q

∗

2

) в области

q

1

∈ (q

∗

2

, +∞). Пусть "нижняя" фирма решила "перепрыгнуть" сво-

его конкурента и стать "верхней" фирмой, т.е. она выбрала уровень

качества q = kq

∗

2

> q

∗

2

при k > 1. В этом случае данная фирма

получит прибыль:

Π =

4(1 − a)

2

q

∗

2

3

(1 − k)k

2

(4kq

∗

2

− q

∗

2

)

2

−

1

2

k

2

q

∗

2

2

,

505

которая отрицательна при любом k > 1.

Аналогично доказывается, что "верхняя" фирма не может со-

вершить выгодного одностороннего отклонения от (q

∗

1

, q

∗

2

) в области

q

2

∈ (0, q

∗

1

).

Следовательно, найденные стратегии конкурирующих фирм об-

разуют абсолютное равновесие по Нэшу в рассматриваемой QP (a)-

модели стратегической конкуренции.

Литература

1. Петросян Л.А., Кузютин Д.В. Игры в развернутой форме: опти-

мальность и устойчивость. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000. 292 с.

2. Математические методы исследования экономики / Под ред. Н.А.

Зенкевича, Д.В. Кузютина. СПб.: Изд-во МБИ, 2006. 240 с.

3. Gabszewicz J., Thisse J. Price Competition, Quality and Income

Pisparities // Journal of Economic Theory, 1979. Vol. 20. P. 340–359.

4. Motta M. Endogenous auality choice: price vs. quantity competition

// The Journal of Industrial Economics, 1993. Vol. XLI, №. 2.

P. 113–130.

5. Ronnen U. Minimum quality standards, fixed costs, and competition

// The Rand Journal of Economics, 1991. Vol. 22, №. 4. P. 490–504.

6. Selten R. Reexamination of the perfectness concept for equilibrium

points in extensive games // Intern. J. Game Theory, 1975. Vol. 4.

P. 25–55.

7. Shaked A., Sutton J. Relaxing Price Competition through Product

Differentiation // Review of Economic Studics, 1982. Vol. 49.

P. 3– 14.

506

Вилкова Н.В., Слобожанин Н.М., Чумак Л.И.

Санкт-Петербургский государственный университет

Об оптимальном алгоритме распределения

трехпараметрического ресурса

Введение. Рассмотрим следующую задачу. Имеется множество

объектов, каждый из которых может обладать одним или несколь-

кими свойствами из множества свойств {ε

1

, . . . , ε

p

}. Задача заклю-

чается в том, чтобы разбить это множество объектов в соответствии

с наперед заданным критерием. В данной работе рассматривается

самый простейший вариант критерия: критерий равномерного раз-

биения по свойствам.

В рамках данной работы объект моделируется вектор-строкой из

нулей и единиц, при этом единица на j-м месте обозначает, что объ-

ект обладает j-м свойством; ноль – не обладает. Напомним некото-

рые понятия из работы [2].

Определение. Слоем толщины r будем называть конечное мно-

жество (0, 1) – векторов таких, что сумма их одноименных компонент

равна n. Слой будем называть неразложимым, если он не может

быть представлен в виде объединения двух слоев.

Определение. Разбиение слоя на слои, каждый из которых яв-

ляется неразложимым, будем называть остовным разбиением.

Заметим что остовное разбиение не единственное: например,

слой {(110), (101), (011), (100), (010), (001)} можно разложить на слои

{(110), (101), (011)} + {(100), (010), (001)}

и

{(110), (001)} +

+{(101), (010)} + {(011), (100)}. В [3] доказано, что в остовное раз-

биение могут попадать слои с толщинами не большими двух.

Рассмотрим случай трехпараметрического ресурса.

Пример. Рассмотрим два слоя толщины четыре: {(110), (011),

(101), (110), (011), (101)} и {(100), (011), (110), (011), (101), (111)}. Оче-

видно, что первый слой неразложим на два слоя с толщинами

один и три, а второй разложим в виде: {(110), (101), (011), (111)} +

{(100), (011)}.

Постановка задачи. Определить необходимые и достаточные

условия разложимости слоя толщины k, реализованного конкретным

507

набором данных на p слоев с толщинами k

1

, . . . , k

p

такими, что

p

i=1

k

i

= k.

Нетрудно заметить, что алгоритм полного перебора, решающий

эту задачу, принадлежит классу алгоритмов

O





i

1

+···+i

p

=n,i

j

∈N

n!

i

1

! . . . i

p

!



 ,

где N – множество натуральных чисел.

Для построения оптимального алгоритма введем обозначения:

s, s

1

, s

2

, s

3

, s

1

, s

2

, s

3

, где s – количество векторов (111) в исходном

слое, s

1

– количество векторов (011) в исходном слое, s

1

– количе-

ство векторов (100) в исходном слое, аналогично определяются числа

s

2

, s

3

, s

2

, s

3

.

Обзор результатов работы. Имеет место следующее

Утверждение. Максимальное количество неразложимых слоев

толщины один в остовном разбиении слоя толщины k равно S =

s + s

1

+ min(s

2

, s

2

) + min(s

3

, s

3

) = s + s

2

+ min(s

1

, s

1

) + min(s

3

, s

3

) =

s + s

3

+ min(s

2

, s

2

) + min(s

1

, s

1

).

Доказательство. Заметим, что остовное разложение, в ко-

тором присутствуют S неразложимых слоев толщины один, ре-

ализуется следующим образом: выделяем s слоев {(111)} , за-

тем min(s

1

, s

1

) слоев {(100), (011)}, аналогично, min(s

2

, s

2

) слоев

{(010), (101)}, min(s

3

, s

3

) слоев {(001), (110)} и, наконец, s

1

−min(s

1

, s

1

)

слоев

{(100), (010),

(001)}.

Рассмотрим некоторое разбиение, отличное от вышеописанно-

го. Пусть в исходном слое перенумерованы все вектора следу-

ющим образом: (011)

1

, . . . , (011)

s

1

, (100)

1

, . . . , (100)

s

1

, . . . , (111)

s

. Не

умаляя общности, пусть в новом разбиении нет какого-то слоя вида

{(100)

i

, (011)

j

}. Например, пусть вектор (011)

1

отсутствует в слоях

такого типа. Тогда он с необходимостью образует другой неразло-

жимый слой с некоторыми (101)

α

, (110)

β

, а (100)

1

также с необхо-

димостью образует слой с некоторыми (010)

γ

, (001)

δ

. Таким обра-

зом, в новом разбиении будут присутствовать неразложимые слои

508

{(011)

1

, (101)

α

, (110)

β

} и {(100)

1

, (010)

γ

, (001)

δ

}, но из этих же век-

торов можно организовать три неразложимых слоя толщины один:

{(110)

β

, (001)

δ

} + {(101)

α

, (010)

γ

} + {(011)

1

, (100)

1

}. Аналогично рас-

сматриваются остальные случаи. В итоге получили остовное разби-

ение со строго большим количеством неразложимых слоев толщины

один. Таким образом, рассматривая любое разбиение отличное от

вышеописанного, можно увеличить число неразложимых слоев тол-

щины один.

Процедуру увеличения количества слоев можно продолжать, по-

ка не реализуется число слоев, равное s + min(s

1

, s

1

) + min(s

2

, s

2

) +

min(s

3

, s

3

) + [s

1

− min(s

1

, s

1

)] = s + s

1

+ min(s

2

, s

2

) + min(s

3

, s

3

) =

s + s

2

+ min(s

1

, s

1

) + min(s

3

, s

3

) = s + s

3

+ min(s

2

, s

2

) + min(s

1

, s

1

).

Следствие. Исходный слой толщины k не может быть разло-

жен более, чем на S +

k−S

2

слоев.

Замечание. s

1

− min(s

1

, s

1

) = s

2

− min(s

2

, s

2

) = s

3

− min(s

3

, s

3

).

Теорема. Для того, чтобы слой толщины k, реализованный

конкретным набором данных, был разложим на p слоев с толщина-

ми k

1

, . . . , k

p

такими, что

p

i=1

k

i

= k, необходимо и достаточно,

чтобы количество нечетных чисел k

i

среди k

1

, . . . , k

p

было бы мень-

ше или равно S.

Доказательство. Необходимость. При выполнении условий необ-

ходимости существует искомое разбиение. Тогда разобьем каждый

из слоев толщины k

i

на неразложимые, получится остовное разбие-

ние исходного слоя, в котором количество неразложимых слоев тол-

щины один U больше либо равно количеству нечетных чисел среди

k

i

. Поскольку S – максимальное количество неразложимых слоев

толщины один в остовных разбиениях исходного слоя, то S ≥ U .

Достаточность. Доказательство достаточности приведено ниже в

виде следующего алгоритма.

Алгоритм. В начале следует проверить выполнение условий из

теоремы. Если они выполняются, то тогда разбиение существует. Да-

лее обсудим оптимальный алгоритм, позволяющий сформировать

искомое разбиение для слоя, реализованного конкретным набором

данных.

Пусть исходный слой состоит из n векторов.

Макрошаг 1. Просматривая слой с помощью счетчиков, опре-

деляем числа s, s

1

, s

2

, s

3

, s

1

, s

2

, s

3

, описанные выше.

Макрошаг 2. В каждый из слоев, определенный нечетным чис-

509

лом k

i

, помещаем слой толщины один.

Макрошаг 3. Исходя из максимального остовного разбиения по

единичным слоям, двигаясь в порядке возрастания чисел k

i

, реализу-

ем слои с толщинами k

i

, используя сначала все неразложимые слои

толщины один, затем все неразложимые слои с толщинами два.

Заметим, что приведенный алгоритм принадлежит классу O(n),

так как каждый из его трех шагов принадлежит классу O(n).

Замечание. Более быстрого алгоритма не существует, так как

при любых алгоритмах каждый элемент массива надо проанализиро-

вать. Таким образом, полученный алгоритм является оптимальным

по времени.

Литература

1. Слобожанин Н.М. Разбиение совокупности объектов на классы

по заданным свойствам // Вопросы оптимального управления и

исследования операций. Иркутск: Изд-во ИГУ, 1988. С. 130–142.

2. Слобожанин Н.М., Чумак Л.И. Эффективный алгоритм распре-

деления четырехпараметрического ресурса // Процессы управле-

ния и устойчивость: Труды 36-й научной конференции аспиран-

тов и студентов / Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н. Старкова. – СПб.:

Изд-во СПбГУ, 2005. С. 560–564.

3. Котина С.О., Слобожанин Н.М. Эффективный алгоритм распре-

деления трехпараметрического ресурса // Процессы управления

и устойчивость: Труды 36-й научной конференции аспирантов и

студентов / Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н. Старкова. – СПб.: Изд-

во СПбГУ, 2005. С. 503–506.

4. Слобожанин Н.М. Эффективный алгоритм разбиения множества

четырехбитовых строк на подмножества // Рук. деп. в ВИНИТИ

от 20.06.1996, № 2033-В96.

510

Галегов А.И., Гарнаев А.Ю.

Санкт-Петербургский государственный университет

Одна игра с выбором налоговой системы

1. Введение. Во многих странах налоговая ставка зависит от

суммы налогообложения. В России в 2003 году для поддержания

малого бизнеса была введена упрощенная система налогообложения,

которая состоит из двух налоговых ставок: 15 (когда налог платит-

ся с общей выручки за минусом всех затрат) и 6 процентов (когда

налог платится с общей выручки) [2]. Налоговая ставка для чистой

жүктеу/скачать 30,48 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: