Процессы управления и устойчивость

Гасратов М.Г.

Санкт-Петербургский государственный университет

Математическая модель управления запасами

Рекомендовано к публикации профессором Захаровым В.В.

Введение. Разработанные в теории управления запасами опти-

мизационные модели управления во многих случаях не учитывают

одновременно ряд факторов относительно природы рынка потребле-

ния. Они ориентированы на оптимизации одного вида финансовых

потоков, а именно, на критерии минимизации издержек [1–3]. По-

этому стратегии управления, получаемые на выходе, дают не вполне

эффективную систему.

Рассмотрим модель управления запасами, где учитываются сле-

дующие факторы: вероятностная природа спроса, временная стои-

мость денег, неудовлетворенный спрос. Найдем оптимальные стра-

тегии управления запасами, максимизирующие интенсивность пото-

ков доходов при различных контрактных требованиях относительно

схемы выплат издержек компании.

Описание модели. Рассмотрим однопродуктовую модель уп-

равления запасами.

Заказ размером y размещается тогда, когда объем запаса на скла-

де достигает порогового уровня R. Введем следующие обозначения:

f = f (x) — плотность распределения спроса x в течение срока

выполнения заказа,

D — ожидаемое значение годового потребления товара,

C

0

— накладные расходы на поставку одной партии заказа (сто-

имость размещения заказа),

C

n

— стоимость единицы товара,

P

n

— прибыль от реализации единицы товара,

C

t

— затраты доставки единицы товара, не включающие наклад-

ные расходы на поставку,

C

h

— годовые затраты хранения единицы товара на складе,

C

p

— потери от неудовлетворенного спроса на единицу товара,

y — размер партии заказа,

r — годовая ставка наращения денег, имеющее место на рынке,

R — пороговый уровень объема запаса.

531

В модели учитываются уходящие денежные потоки, которые бу-

дут относиться к определенным моментам периода поставки, и при-

ходящие денежные потоки, относимые к середине периода выполне-

ния заказа. Величины рассматриваемых денежных потоков, опреде-

ляются следующим образом.

1. Уходящие платежи (потоки).

2. Приближенное количество заказов за год равно D/y.

3. Период выполнения заказа, в среднем, T

m

равен y/D.

Стоимость размещения заказа не зависит от объема заказа, она

за период равна C

0

.

Ожидаемые затраты на хранение. Средний уровень запаса на

складе равен

Y

m

=

(y + M {R − x}) + (M {R − x})

2

=

y

2

+ R − M {x} .

Ожидаемые затраты на хранение за период равны C

h

Y

m

T

m

.

Затраты на поставку одной партии товара равны C

t

y.

Стоимость партии заказа равна C

n

y.

И, наконец, ожидаемые потери, связанные с неудовлетворенным

спросом. Дефицит возникает в том случае, когда x > R. Средний

уровень дефицита за период равен

S

m

=

∞

R

(x − R) f (x) dx.

Поэтому затраты, обусловленные дефицитом, равны S

m

C

p

.

Общие затраты E будут представлены формулой:

E = C

0

+ C

t

y + C

n

y + C

h

Y

m

T

m

+ SC

p

.

Приходящие платежи P , соотносимые с серединой периода,

P = (C

n

+ P

n

) y.

Здесь C

n

y – возвращенная стоимость партии заказа, а P

n

y – соот-

ветствующая прибыль.

Критерий оптимизации системы для схемы выплат из-

держек хранения и потерь от неудовлетворенного спроса

в начале периода. Денежные потоки, характеризирующие работу

системы управления запасами, являются периодическими со сред-

ним периодом T

m

. Соотнесем уходящие платежи с началом каждого

периода, а приходящие платежи — с его серединой. Соответствую-

щая разница приходящих и уходящих платежей с учетом годовой

532

ставки наращения к моменту T

m

/2 определяет доход на этом перио-

де. Рассмотрим интенсивность потока дохода, получаемую умноже-

нием дохода на 1/T

m

. Пусть m = M {x}. Этот доход представляется

в виде:

=

1

T

m

(C

n

+ P

n

)y − 1 + r

T

m

2

(C

0

+ C

t

y + C

n

y+

+C

h

Y

m

T

m

+ SC

p

) ,

→ max

y, R

, y ≤ min (V

h

, V

t

) , R ≤ V

h

,

где V

h

, V

t

– максимальный размер складских помещений и мак-

симальная грузовая вместимость всех транспортных перевозочных

единиц, используемых за один период, соответственно.

= DP

n

−

r

2

C

0

− DC

t

− C

h

(R − m) −

−

1

2

y C

h

+ rC

t

+ rC

n

+

rRC

h

D

−

rmC

h

D

−

−

D

y

(C

0

+ SC

p

) −

rC

h

4D

y

2

−

r

2

SC

p

.

Меняя знак всего выражения на противоположный и исключая

члены, не содержащие параметры y и R, перепишем задачу оптими-

зации в следующем виде:

F = C

h

R +

1

2

y C

h

+ rC

t

+ rC

n

+

rRC

h

D

−

rmC

h

D

+

+

D

y

(C

0

+ SC

p

) +

rC

h

4D

y

2

+

r

2

SC

p

→ min

y, R

.

Оптимальные значения y* и R* найдем, приравнивая частные

производные функции f по y и R к нулю, из системы















C

h

+ rC

t

+ rC

n

+

rRC

h

D

−

rmC

h

D

−

2D

y

2

(C

0

+ SC

p

) +

rC

h

2D

y = 0,

∞

R

f (x)dx =

C

h

y

C

p

D

.

В общем случае эта система решается численными методами. По-

этому, в качестве примера рассмотрим случай, когда спрос носит

равномерный характер, т.е.

533

f (x) =

1

h

, m −

h

2

≤ x ≤ m +

h

2

,

где m – средняя величина спроса, h – некоторое отклонение.

Определив интегралы

m+

h

2

R

f (x)dx и

m+

h

2

R

(x − R) f (x)dx, будем

иметь:

R

∗

= m +

h

2

−

C

h

y

C

p

D

.

Подставив это выражение в первое уравнение системы, после оче-

видных упрощений, запишем его в виде

C

h

+ rC

t

+ rC

n

+

rhC

h

D

−

hC

2

h

C

p

D

+ y

rC

h

D

−

hrC

2

h

C

p

D

2

−

2DC

0

y

2

= 0.

Введем обозначения:

A = C

h

+ rC

t

+ rC

n

+

rhC

h

D

−

hC

2

h

C

p

D

,

B =

rC

h

D

−

hrC

2

h

C

p

D

2

,

C = −2DC

0

.

Тогда последнее уравнение примет вид

A + By +

C

y

2

= 0.

Сделаем в нём замену переменных z = 1/y. В результате получим

неполное кубическое уравнение z

3

+ pz + q = 0, где p =

A

C

, q =

B

C

.

Пусть Q =

p

3

3

+

q

2

2

. В такой ситуации удобно для решения

уравнения использовать тригонометрический метод [4].

1. Если Q < 0, то z

∗

= 2 −p/3 cos

α

3

,

где cos α = −

q

2

√

−(p/3)

3

.

2. Если Q ≥ 0 и p > 0 , то z

∗

= 2 p/3 ctg 2α,

где tg α =

3

tg

β

2

|α| ≤

π

4

, tg β =

2

q

p

3

3

|β| ≤

π

2

.

3. Если Q ≥ 0 и p < 0 , то z

∗

= −2 −p/3 cosec 2α,

где tg α =

3

tg

β

2

|α| ≤

π

4

, sin β =

2

q

−

p

3

3

|β| ≤

π

2

.

534

Критерий оптимизации системы при распределении из-

держек хранения и потерь от дефицита по времени. Выплаты

могут осуществляться пропорционально объему хранимого товара.

Поэтому рассмотрим модель для случая, когда схема для учета из-

держек хранения и потерь от неудовлетворенного спроса предпола-

гают осуществлять их пропорционально хранимому товару в течение

всего периода поставки. Эти издержки можно для удобства соотно-

сить с моментом T

m

/2.

Задача максимизации интенсивности потока доходов в этом слу-

чае с учетом временной стоимости денег принимает вид

=

1

T

m

(C

n

+ P

n

) y − C

h

Y

m

T

m

− SC

p

−

− 1 +

rT

m

2

(C

0

+ y(C

t

+ C

n

)) ,

→ max

y, R

, y ≤ min (V

h

, V

t

) , R ≤ V

h

.

Меняя знак всего выражения на противоположный и исключая чле-

ны, не содержащие параметры y и R, перепишем задачу оптимизации

в следующем виде

F = C

h

R +

1

2

y (C

h

+ rC

t

+ rC

n

) +

D

y

(C

0

+ SC

p

) → min

y, R

,

y ≤ min (V

h

, V

t

) , R ≤ V

h

.

Из этого критерия получим систему уравнений



















1

2

(C

h

+ rC

t

+ rC

n

) −

D

y

2

(C

0

+ SC

p

) = 0,

∞

R

f (x)dx =

C

h

y

C

p

D

.

Как и раньше, возьмем в качестве вероятностной модели спроса

равномерное распределение. Тогда

R = m +

h

2

−

C

h

y

C

p

D

,

1

2

y (C

h

+ rC

t

+ rC

n

) − D C

0

+

hC

2

h

y

2

2C

p

D

2

= 0.

535

Решением этого уравнение будет следующее выражение:

y

∗

=

2DC

0

C

h

+ rC

t

+ rC

n

−

hC

2

h

C

p

D

.

Отсюда находим оптимальное значение уровня R*:

R

∗

= m +

h

2

−

2DC

0

C

h

+ rC

t

+ rC

n

−

hC

2

h

C

p

D

.

Критерий оптимизации системы при распределении из-

держек хранения и потерь от неудовлетворенного спроса в

конце периода поставки. Рассмотрим модель, в которой издерж-

ки хранения и потери от неудовлетворенного спроса соотносятся с

концом периода планирования (постнумерандо).

Задача максимизации интенсивности потока доходов в этом слу-

чае с учетом временной стоимости денег принимает вид

=

1

T

m

(C

n

+ P

n

) y − 1 + r

T

m

2

(C

0

+ C

t

y + C

n

y)−

− (C

h

Y

m

T

m

+ SC

p

) 1 −

r

r + 1

T

m

2

.

После несложных преобразований интересующая нас задача при-

водится к виду:

F → min

y,R

,

y ≤ min (V

h

, V

t

) ,

R ≤ V

h

,

где

F =

1

2

y C

h

+ rC

t

+ rC

n

−

r

r + 1

C

h

D

(R − m) +

D

y

(C

0

+ SC

p

) −

−

r

r + 1

C

h

4D

y

2

−

r

r + 1

SC

p

2

.

Вычисляя частные производные этой функции, получим уравне-

ния:

C

h

+ rC

t

+ rC

n

−

r

1 + r

C

h

(R − m)

D

−

−

2D(C

0

+ SC

p

)

y

2

−

r

1 + r

C

h

y

2D

= 0,

536

∞

R

f (x)dx =

C

h

y

C

p

D

.

В случае равномерного распределения спроса будем иметь:

R = m +

h

2

−

C

h

y

C

p

D

.

Для определения оптимального значения y* получим уравнение

A + By +

C

y

2

= 0.

Делая замену переменных z = 1/y, решим уравнение z

3

+ pz + q = 0,

где p = A/C, q = B/C,

A = C

h

+ rC

t

+ rC

n

−

r

1 + r

hC

h

2D

−

hC

2

h

C

p

D

,

B =

r

1 + r

C

h

D

hC

h

C

p

D

− 1 ,

C = −2C

0

.

Это кубическое уравнение решается вышеописанным методом.

Заключение. Для общей вероятностной модели спроса были по-

лучены во всех трех случаях: схемы выплат издержек на хранение

и дефицит; система уравнений для определения оптимальных зна-

чений стратегий системы, которая разрешается численными метода-

ми. Был рассмотрен частный случай распределения спроса, когда он

носит равномерный характер в течение выполнения заказа. В ряде

примеров были получено, что на оптимальные значения стратегий

не влияет существенно схема выплат издержек.

Литература

1. Гаджинский А.М. Логистика. М.: Маркетинг, 1998. 228 с.

2. Фирон Х., Линдерс М. Управление снабжением и запасами. Ло-

гистика / Пер. с англ. СПб. 1999. 768 с.

3. Логистика сегодня. 2005. № 2. С. 32–40.

4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1974.

537

Грицай К.Н., Малафеев О.А.

Санкт-Петербургский государственный университет

Многошаговая игра аукциона

с участием N продавцов

1. Описание модели. Рассматривается многошаговая теоретико-

игровая модель аукциона первой цены со многими продавцами.

В предлагаемой модели продавцы, составляющие множество N =

{1, . . . , n } (N ≥ 1), одновременно и независимо друг от друга и

от покупателей выставляют на торги каждый свой лот, имея его

оценку r

i

> 0 и указывая цену y

i

> 0, где i = 1, . . . , n, y

i

∈ Y

i

(Y

i

= (0, 1, . . . , l

i

] – множество стратегий продавца i-го лота, где l

i

– натуральное число). Покупатели, составляющие множество M =

{1, . . . , m } (M ≥ 2), одновременно и независимо друг от друга и от

продавцов указывают свои цены по каждому выставляемому на тор-

ги лоту x

ji

> 0, имея по ним свои оценки v

ji

> 0, где j = 1, . . . , m,

i = 1, . . . , n и x

ji

∈ X

j

(X

j

= (0, 1, . . . , k

j

] – множество стратегий

j-го покупателя, где k

j

– натуральное число), n ≤ m. Каждый игрок

знает свою функцию выигрыша: для покупателя функция выигры-

ша равна разности между его оценкой лота и ценой, объявляемой им

за этот лот, для продавца функция выигрыша равна разности между

ценой, объявляемой им за его лот, и его оценкой этого лота. Будем

считать, что если покупатель выигрывает более одного лота, то он

получает лот с максимальной доходностью: h

ji

= max

s∈S

j

(h

js

), где S

j

–

множество лотов, назначенные цены за которые j-ым покупателем

самые высокие среди всех назначенных цен остальными покупате-

лями за эти лоты: x

js

> max

1≤k≤m

k=j

(x

ks

). Остальные лоты из множества

S

j

достаются покупателям, назначившим вторую по величине цену

за эти лоты, которая удовлетворяет условиям игры, описанным ни-

же, и имеющим самую высокую доходность по указанным лотам. На

первом шаге игры в результате выбора покупателями и продавцами

своих стратегий x

ji

∈ X

j

и y

i

∈ Y

i

, где i = 1, . . . , n и j = 1, . . . , m,

реализуется ситуация

z

1

= x

11

, x

12

, . . . , x

m(n−1)

, x

mn

; y

1

, . . . , y

n

) ,

после чего, соответственно, определяются выигрыши покупателей и

продавцов: H

j

z

1

) = v

ji

− x

ji

— для игрока, купившего лот на пер-

538

вом шаге игры, и K

i

z

1

) = x

ji

− r

i

— для игрока, продавшего лот

на первом шаге игры, где i = 1, . . . , n и j = 1, . . . , m. Покупатели,

купившие лот, и продавцы, реализовавшие свой лот, покидают аук-

цион. На первом шаге игры для любой реализовавшейся ситуации

z

1

∈ X

1

× . . . × X

m

× Y

1

× . . . × Y

n

= Z

1

получаем следующую подыг-

ру аукциона первой цены в нормальной форме:

Γ

1

f

= M = {1, . . . , m }, N = {1, . . . , n }, X

j

, Y

i

, H

j

, K

i

,

где

H

j

(z

1

) =



































v

ji

− x

ji

,

если h

ji

= max

s∈S

j

(h

js

),

S

j

= ∅ и

x

ji

≥ y

i

,

где

j = 1, . . . , m и

i = 1, . . . , n,

0,

если S

j

= ∅,

x

ji

< y

i

,

где

j = 1, . . . , m и

i = 1, . . . , n,

K

i

(z

1

) =













































жүктеу/скачать 30,48 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: