Р. Г. Стронгина. Ниж- ний Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 2002, 217 с
Метод Монте-Карло и интегрирование функций
жүктеу/скачать 1,64 Mb. Pdf көрінісі
|
Seminar 1
| Метод Монте-Карло и интегрирование функций
Мы рассмотрим задачу интегрирования на примере оценки одно- мерного определенного интеграла, однако все сказанное достаточно прозрачно переносится и на многомерный случай с очень сложными областями интегрирования (конечными или бесконечными). Задача оценки определенного интеграла состоит в вычислении значения θ, определяемого как ∫ = θ b a dx x f ) ( (1) путем введения случайной величины Y, определенной на интервале (a, b) и имеющей плотность распределения p(y), а также некоторой B- измеримой функции g(y) такой, что математическое ожидание E(g(Y)) = θ. Очень часто случайная величина Y рассматривается как равномерно распределенная на интервале (a, b). В этом случае θ опре- деляется как )) ( E( ) ( Y f a b − = θ . За оценку θ принимается величина n y f a b i ∑ − = θ ) ( ) ( ˆ . Нетрудно убедиться, что оценка несмещенная, т.е. θ = θ) ˆ ( E . Диспер- сия при этом равна: ∫ ∫ ∑ − − − = = − = − = θ b a b a i i dx dt t f a b x f n a b Y f n a b n Y f a b 2 2 2 2 1 ) ( ) ( ) ( )) ( D( ) ( )) ( D( ) ( ) ˆ D( (2) Дисперсия позволяет оценить вероятность нахождения оценки θˆ с заданной точностью. Обычная практика состоит в оценке доверитель- ного интервала для вычисляемого интеграла по той же выборке, по которой вычисляется сам интеграл. При этом порядок ошибки (ее на- зывают вероятностной ошибкой) ( ) 2 1/ − n O не зависит от кратности интеграла. Для сравнения, у квадратурных формул порядок ошибки равен ( ) d n O / 2 − , где d – кратность интеграла. Таким образом, при ко- личестве измерений d > 4 метод Монте-Карло становится предпочти- тельнее детерминированных квадратурных формул. 105 Оценивание дисперсии (2) – задача той же сложности, что и оцен- ка самого интеграла (1). Однако для оценивания дисперсии оценки (как и для оценивания математического ожидания) можно привлечь статистический подход. В случае сильной корреляции соседних членов выборки можно применить методику разбиения исходной выборки на блоки. Оценивание параметров в каждом из блоков осуществляет от- дельный узел многопроцессорной вычислительной системы. При та- ком подходе предложена методика, позволяющая улучшить оценку дисперсии исходной выборки. жүктеу/скачать 1,64 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|