Изингова модель и связь с задачей глобальной оптимизации

 
107 
•  Аналитическое  решение  существует  для  нескольких  простых  мо-
делей,  которые  полезны  для  проверки  применяемых  численных 
схем. 
•  Классический пример использования метода Монте-Карло. 
•  Интересные  приложения  для  параллельных  вычислений:  была 
проведена  большая  работа  на  параллельных  компьютерах  (и  по-
могла их совершенствованию). 
Непарные спины электронов в кристаллической решетке связыва-
ются и упорядочиваются. Сумма их магнитных полей дает макроско-
пический  магнетизм.  Низкие  температуры  приводят  к  упорядоченно-
сти и большой намагниченности, высокие же температуры приводят к 
неупорядоченным  термальным  флуктуациям,  случайной  ориентации, 
спины и поля прерываются, намагниченность пропадает. 
Спины имеют только два состояния +1 и –1. Энергия задается сле-
дующим соотношением: 
 
∑
>
<
=
j
i
j
i
ij
S
S
J
E
,
, (6) 
где  S
i
 – спин  i-м  в  узле кристаллической решетки, 
j
i,
 – ближайшие 
соседи по решетке, J
ij
 – сила взаимодействия спинов i и j. Намагничен-
ность  системы  определяется  как 
∑
=
i
i
S
M
.  Взаимное  расположение 
спинов  определяет  состояние  (конфигурацию)  системы.  Рассмотрим 
принцип  оценивания  параметров  на  примере  намагниченности 
∑
=
C
C
M
C
p
M
)
(
)
(
,  где  M(C) – намагниченность  в  конфигурации  C, 
p(C) – распределение  вероятностей  для  конфигураций  как  функция 
температуры T. 
Фундаментальным результатом в статистической механике являет-
ся  физический  закон  о  функции  распределения  p(C),  которое  называ-
ется распределением Больцмана. 
 
∑
−
−
=
=
C
kT
C
E
kT
C
E
e
Z
e
Z
C
p
/
)
(
/
)
(
;
)
(
1
 
Здесь  E – энергия  конфигурации,  T – температура,  k – постоянная 
Больцмана.  Z  часто  называют  функцией  разбиения.  Ясно,  что  идеаль-
ной  ситуацией  было  бы  моделирование  конфигураций  с вероятностя-
ми,  определяющимися  весами  распределения  Больцмана  p(C),  задаю-

108 
щими  вклад  этих  конфигураций  в  итоговую  сумму 
∑
=
=
N
i
i
C
M
N
M
1
1
)
(
. 
Однако  моделируемая  вероятность  p(C)  зависит  от  функции  разбие-
ния, которую очень сложно вычислить.  
Введем фиктивную динамику в моделируемую систему, так назы-
ваемую  Марковскую  цепь  конфигураций  C

жүктеу/скачать 1,64 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: