X
|
0
|
0.2
|
0.4
|
0.6
|
0.8
|
1
|
1.2
|
1.4
|
1.6
|
1.8
|
2
|
Y
|
-1.0
|
-1.0
|
-1.1434
|
-1.4918
|
-2.0592
|
-2.8157
|
-3.6894
|
-4.5682
|
-5.3003
|
-5.6947
|
-5.5218
|
График приближенного решения ОДУ, построенный с помощью интерполяции кубическим сплайном, представлен на рисунке 3.1.
Рисунок 3.1 – График приближенного решения ОДУ методом Эйлера
3.4 Решение ОДУ методом Эйлера-Коши
Задание: найдите методом Эйлера-Коши численное решение ОДУ первого порядка на отрезке от a = 1 до b = 5 с шагом интегрирования h = 0,4:
Получите таблицу приближенных значений неизвестной функции y(x) на отрезке интегрирования с постоянным шагом h.
Аппроксимируйте полученные табличные значения кубическим сплайном и постройте приближенный график функции y(x) на отрезке интегрирования, используя скрипты из главы 2. При построении графика шаг интерполяции примите равным 0,1·h.
С помощью среды Matlab напишем программу для интерполяции.
Проект будет включать следующие файлы:
Eiler_Koshi_main.m – скрипт для построения графика и вывода значений (листинг 3.4);
Eiler_Koshi.m - основной скрипт, в котором вводятся исходные данные (листинг 3.5);
Interval.m – код задающий интервал(листинг 3.6);
h=0.2;
x=1:h:3;
y=Euler_Coshi(x,h);
disp('Значения x');
disp(x);
disp('Значения y');
disp(y);
M=progon(x,y);
a=min(x);
b=max(x);
x2=a:0.1*h:b;
itr=interval(x,x2);
y2=spline_val(x,y,x2,itr,M);
figure(1);
plot(x,y,'*r',x2,y2);
title ('Решение ОДУ методом Эйлера-Коши');
legend ('Расчетные точки', 'Интерполяционная функция');
xlabel ('x');
ylabel ('y');
grid on;
Листинг 3.4, лист 1 – Главный скрипт
function [y]=Euler_Coshi(x,h)
n=length(x);
y=zeros(1, n);
y1=zeros(1,n);
y(1)=-2.778;
i=1;
for x=1:h:3
if (iy1(i+1)=y(i)+h*(2*exp(-x)+3*(cos(3*x+5)-sin(3*x+5))-9-3*y(i));
y(i+1)=y(i)+h/2*((2*exp(-x)+3*(cos(3*x+5)-sin(3*x+5))-9-3*y(i))+(2*exp(-x+h)+3*(cos(3*x+h+5)-sin(3*x+h+5))-9-3*y1(i+1)));
i=i+1;
end
end
end
Листинг 3.5, лист 1 – Скрипт с исходными данными
function [itr] = interval(x, x1)
n = length(x);
n1 = length(x1);
itr = zeros(n1, 1);
for i = 1: n1
if (x1(i) < x(1))
itr(i) = 0;
continue;
end
if (x1(i) > x(n))
Листинг 3.6, лист 1 – Интервал
itr(i) = n;
end
j = 1;
while (j <= n - 1)
if (x1(i) >= x(j) && x1(i) <= x (j+1))
itr(i) = j;
break;
else
j = j+1;
end
end
end
end
Листинг 3.6, лист 2 – Интервал
Численное решение ОДУ приведено в таблице 3.2.
Таблица 3.2 – Численное решение ОДУ методом Эйлера-Коши
k
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
xk
|
1
|
1.2
|
1.4
|
1.6
|
1.8
|
2
|
2.2
|
2.4
|
2.6
|
2.8
|
3
|
yk
|
-2.7780
|
-3.2721
|
-3.6485
|
-3.7472
|
-3.5241
|
-3.0571
|
-2.5141
|
-2.0911
|
-1.9429
|
-2.1276
|
-2.5867
|
График приближенного решения ОДУ, построенный с помощью интерполяции кубическим сплайном, представлен на рисунке 3.2.
Рисунок 3.2 – График приближенного решения ОДУ методом Эйлера-Коши
3.5 Вывод
Были рассмотрены два метода решения ОДУ первого порядка: Эйлера и Эйлера – Коши. В методе Эйлера происходит движение не по интегральной кривой, а по касательной к ней. На каждом шаге касательная находится уже для новой интегральной кривой, таким образом погрешность решения будет возрастать от шага к шагу. То есть метод дает низкую точность. Метод Эйлера-Коши базируется на предыдущем, однако здесь используется среднее значение угла наклона касательных на левой и правой границе отрезка, что повышает точность.
Заключение
Задачи, на которые ответ нужно дать в виде числа, как известно, решаются с помощью математических методов. На сегодняшний день существует три основных группы таких методов: аналитические, графические и численные.
При использовании аналитических методов решение задачи удается выразить с помощью формул. Например, если задача состоит в решении простейших алгебраических, тригонометрических, дифференциальных и т.д. уравнений, то использование известных из курса математики приемов сразу приводит к цели.
Преимущество аналитических методов: в результате применения аналитических методов за небольшой отрезок сразу получается точный ответ.
Недостаток аналитических методов: аналитические методы применимы лишь к небольшому числу, как правило, не очень сложных по своей структуре задач. Так, например, до сих пор не удалось решить в общем виде уравнение пятой степени.
Основная идея графических методов состоит в том, что решение находится путем геометрических построений. Например, если уравнение не удается решить аналитически, то строят график функции и абсциссу точки пересечения его с осью Ox берут за приближенное значение корня.
Недостаток графических методов: в результате применения графических методов ответ получается с погрешностью, недопустимой в силу своей большой величины.
Основным инструментом для решения сложных математических моделей и задач в настоящее время являются численные методы. Они сводят решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами и дают результат в виде числового значения с погрешностью, приемлемой для данной задачи.
Численные методы разработаны давно. Однако при вычислениях вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоемких задач. С появлением компьютеров, которые за короткое время могут выполнить миллиарды операций, начался период бурного развития численных методов и внедрения их в практику.
Библиографический список
Вержбицкий, В. М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения / В. М. Вержбицкий. – М.: Оникс 21 век, 2005. – 636 с. – Текст : непосредственный.
Вержбицкий, В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения / В. М. Вержбицкий. – М.: Оникс 21 век, 2005. – 400 с. – Текст : непосредственный.
Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2008. – 432 с. – Текст : непосредственный.
Ракитин, В. И. Практическое руководство по методам вычислений / В. И. Ракитин – М.: Высшая школа, 1998. – 374 с. – Текст : непосредственный.
Достарыңызбен бөлісу: |