Разрезания
жүктеу/скачать 250 Kb.
|
04r
|
Математический кружок 7 класс Решения занятия №4 Инварианты. Инвариант – это то, что остается неизменным. На доске написаны числа от 1 до 20. Можно стереть любые два числа a и b и записать вместо них число a + b. Какое число получится в итоге? Ответ: 210. Решение. Сумма всех написанных на доске чисел не меняется. В самом деле при каждой операции мы сначала ее уменьшаем на a и b, а потом увеличиваем на a+b. Значит, потом, когда останется ровно одно число, оно будет равно сумме всех чисел написанных на доске вначале. То есть равно 1+2+…+20=210. Замечание 1. Сумму чисел от 1 до 20 проще всего посчитать так. Разобьем все эти числа на пары – 1 и 20, 2 и 19, 3 и 18 и т. д. 10 и 11. Тогда сумма чисел в каждой паре равна 21. А всего пар 10. Значит сумма всех чисел от 1 до 20 равна 210.
Замечание 2. Инвариантом в этой задаче является сумма всех написанных на доске чисел. На доске написаны числа от 1 до 20. Можно стереть любые два числа a и b и записать вместо них число a + b – 1. Какое число получится в итоге? Ответ: 191. Решение 1. При каждой операции количество всех чисел уменьшается на 1. Вначале чисел было 20, значит, одно число останется после 19 операций. При каждой операции сумма всех чисел написанных на доске уменьшается на 1. Значит, за 19 операций сумма всех написанных на доске чисел уменьшится на 19. Вначале она была 210, значит, в конце будет 210-19=191. Решение 2. (Из книги Генкин, Итенберг Фомин «Ленинградские математически кружки». Книгу можно найти в интернете по адресу http://www.math.ru/lib/files/djvu/len-kruzhki.djvu). Для любого набора из n чисел рассмотрим следующую величину X: сумму всех чисел уменьшенную на n. Допустим, что с набором произведено описанное в условии преобразование. Как изменится эта величина? Если сумма всех чисел набора кроме a и b равна S, то до преобразования величина X равнялась S+a+b-n, а после преобразования X=S+(a+b-1)-(n-1)=S+a+b-n. Итак, значение величины X не изменилось, она ‑ инвариант. Исходно (для набора из условия задачи) X=(1+2+…+20)-20=190. Значит, и после 19 операций, когда на доске останется одно число p, X будет равно 190. Но, по своему определению, в этот момент X будет равно p-1. Значит p=191. Следовательно, оставшееся на доске число будет равно 191 На доске написаны десять чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. За один ход разрешается к любым двум из них одновременно добавлять по единице. Можно ли за несколько ходов все числа сделать равными? жүктеу/скачать 250 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|