«развитие науки и инновации в современном мире: проблемы и перспективы»

192 
 
Задача  программы  заключается  в  том,  чтобы  переориентировать  обучение 
школьников на развитие мышления — отсюда и название «Reasoning Mind». 
Данные факторы актуальны и для реалий современного Казахстана, с низкой 
плотностью  населения,  широтой  его  расселения  и  отсутствием  качественного 
образования  по  многим  дисциплинам  в  отдаленных  населенных  пунктах.  Также 
отметим,  наличие  таких  проблем,  как  трудность  и  сложность  применения  на 
каждом  занятии  дифференцированного  подхода  с  учетом  индивидуальных 
способностей обучающегося, интегрированного подхода в комплексном обучении с 
учетом  динамичного  развития  информационных  технологий  в  виду  отсутствия 
эффективных методик, пакета унифицированных программ.  
Эти  и  многие  другие  факторы  являются  обоснованием  для  введения  в 
Казахстане данной модели обучения, подробное содержание которой рассмотрено 
далее.  
Уроки  проходят  в  компьютерной  лаборатории,  где  рабочее  место  каждого 
ученика оборудовано компьютером с доступом в интернет. Идея заключается в том, 
чтобы  посредством  компьютерного  обучения  предоставить  ученику  методически 
правильно  составленную  учебную  программу,  по  которой  каждый  двигается 
индивидуально.  Компьютерная  система  является  эффективным  синтезом 
педагогических знаний и умений хорошего учителя (моделирует его действия в той 
или иной  ситуации)  с  грамотно  составленной  и  методически  выверенной  учебной 
программой.  Например,  в  зависимости  от  скорости  продвижения  ученика  и  его 
успехов  регулируется  сложность  заданий  и  их  количество.  Также  система 
автоматически  диагностирует  темы,  в  которых  у  ученика  есть  пробелы,  и 
предпринимает действия, направленные на устранение обнаруженных недостатков 
в  знаниях.  Другими  словами,  обучающая  система  имитирует  работу  учителя, 
занимающегося индивидуально с каждым ребенком, а не со всем классом целиком.  
Для  разработки  такой  модели  учителя  привлекаются  в  роли  экспертов. 
Учебный материал включает в себя математическую теорию и задачи, в том числе 
развивающие логическое мышление. Сам материал красочно оформлен и содержит 
большое  количество  рисунков,  анимаций,  интерактивных  упражнений  и  игр. 
Ученики  соревнуются  друг  с  другом  в  решении  задач,  участвуя  в  игре-гонке,  а 
также решают большое количество задач на смекалку. 
Еще  одним  важным  плюсом  подхода  RM  является  то,  что  такой  процесс 
обучения более привлекателен для ребенка. Он во многом похож на игру, в которой 
ученик  зарабатывает  очки  по  мере  прохождения  материала.  Детей  также 
привлекают  анимации,  интерактивные  игры и  тренажеры  и,  главное,  немедленная 
реакция системы на его действия. За счет этого удается увлечь ребенка процессом 
обучения,  обеспечивая  правильный  баланс  между  содержательным  обучением  и 
развлекательным моментом. 
Результаты  применения  данной  модели  обучения  оцениваются  как 
положительные.  Так  по  итогам  первого  исследования,  проведенного  в  2003  году, 
было  выявлено,  что  после  всего  лишь  одного  семестра  экспериментальная  группа 
сдала  TAKS  (стандартный  школьный  экзамен  штата  Техас)  на  20%  лучше,  чем 
контрольная. По итогам последнего исследования, проведенного в 2006–2007 гг. в 
трех  школах,  было  показано,  что  после  одного  года  обучения  по  системе  RM 
ученики  экспериментальных  групп  сдают  тесты  на  16–19%  лучше,  чем  ученики 
контрольных  групп.  Также  проводилось  изучение  интереса  учеников  к  такому 
способу  обучения  математике  по  сравнению  с  обычными  уроками:  75%  детей 
сказали, что обучение в RM им нравится намного больше, 15% сказали, что им все 
равно и только 10% предпочли обычные уроки.  

193 
 
Улучшение показателей успеваемости, измеряемых стандартными тестами, не 
является  целью  данного  метода,  важным  является  формирование  у  детей  навыков 
мышления  и  логического  рассуждения  –  приобретение  математического 
образования.  Перечисленные  факторы,  побудившие  введение  данной  модели  в 
США,  отмечаются  и  в  Казахстане,  одним  из  основных  аспектов  экономического 
развития  которого  является  повышение  конкурентоспособности,  достижение 
которой  невозможно  без  качественного  образования.  Для  его  обеспечения 
внедряются  различные  программы,  разные  методы  и  подходы,  среди  которых 
особое  место  может  занять  именно  методика  RM,  которая  позволяет  посредством 
развития  информационных  и  технологических  навыков  обучающегося  получать 
качественное математическое образование. 
 
Литература 
1.
 
Дайрабеков  С.  Қоғамдық  гуманитарлық  бағыттағы  мектеп  оқушыларының 
математиканы оқыту белсенділігін компьютер арқылы дамыту. – Шымкент, 2004.  
2.
 
«Оқыту–тәрбиелеу технологиясы». Республикалық ғылыми-әдістемелік журнал. – №3. 
– 2010.     
3.
 
«Информатика. Физика. Математика» журналы. – Алматы, №3-2005, 2010.  
4.
 
 Білім заңы. – Алматы, 2010. 
 
ӘОЖ 37.091.39:51 
 
МАТЕМАТИКА ТІЛІНІҢ ЕРЕКШЕЛІКТЕРІ  
 
Дуйсебаева П.С., Маденова А.А. 
 
ХГТУ, М.Әуезов атындағы ОҚМУ, Шымкент, Қазақстан 
 
Резюме 
В этой статье  рассматриваются особенности языка математики. Язык знаков и формул 
вместе с логической строгостью позволяет кратко и точно фиксировать различные мысли. 
 
Summary 
In this article   considered  singularities mathematics language.  Languages  sign  and formulas  
together   with logical rigor allows concisely and accurately capture different thoughts. 
 
Математика,  егер  сәйкес  таңбаларды  пайдаланбаса,  онда  үлкен  сандармен, 
тұрақты  және  айнымалы  шамалармен,  функциялармен  және  т.б.  тиiстi  деңгейде 
операциялар  жасай  алмаған  болар  еді.  Егер  санды  жазудың  позициялық  жүйесi 
болмағанда, арифметиканың қандай болатындығын тiптi елестетудің ӛзі қиын. Дәл 
осылай  алгебраныда  елестету  қиын  болар  еді,  егерде  оны  ӛз  мақсаттары  үшін 
әрiптердi  пайдалану  мүмкiндiгiнен  айырсақ.  Таңбалар  және  формулалар  тiлi 
логикалық  қаталдықпен  бiрге  әр  түрлi  ойларды  қысқа,  әрі  дәл  бекiтуге  мүмкiндiк 
бередi. Мысалы: 1) а, b, c; 2) a, b,..., c; 3) a, b, c,... Бұл жазуларды былай түсiнеміз: 
бiрiншi жағдайда берілген үш сан туралы сӛз болуда; екiншiде берілгендер саны кез 
келген,  бiрақ  саны  нақты;  үшiншi  жағдайда  соңғы  санды  нақты  кӛрсетуге 
болмайды, яғни шексiз сандар жиыны туралы сӛз болуда. Кӛріп  отырғанымыздай, 
бұл  жазулардың  сыртқы  түріндегі  айырмашылықтары  елеусіз  болғанымен, 
шындығында олар айырмашылығы терең ойларды бейнелеген. 
Математикада  әрiптер  және  түрлi  таңбалар  үлкен  рӛл  ойнайды.  Олармен 
жұмыс  жүргізуде  ережелердiң  сақталуы  математикалық  сауаттылықтың  мiндеттi 
шарты  болып  табылады.  Қабылданған  белгiлеу  ережелерінің  бұзылуы,  берілген 

194 
 
ойды түсiнуді қиындатады немесе ұғымдар мен ұсыныстардағы шатысуларға алып 
келедi.  Бiрақ,  таңбалар,  математиканың  кӛмекші  құралдарына  жататындығын 
ұмытпаған жӛн. Таңбалар ӛздігінен маңызды емес, тек қана олар қандай мәліметті 
белгiлеуімен маңызды. Кӛп жағдайларда қандайда бір ұғымды қалай белгiлегеннің 
аса маңызы болмайды. Математикада бастапқы нәрсе, зерттеуi нақтылы ұғымдарға 
алып  келетін,  қоршаған  ақиқат  дүниенің  заттары  мен  құбылыстары  болып 
табылатындығын,  ал  таңбалар  сол  анықталған  ұғымдар  мен  олардың  арасындағы 
байланыстарды ӛрнектеу үшiн енгізілетіндігін еске сақтаған маңызды. 
Теорияның  қатаң  үстiрт  баяндалуында  алдымен  математикалық  тiлдiң 
әлiпбиiмен таныстырылатынын байқаймыз. Ол ана тілі мен басқа тiлдердiң (латын, 
грек  және  тағы  басқалар)  кәдiмгi  әлiпбиінiң  әрiптерінен  ғана  емес,  сонымен  бiрге 
математикада қолданылатын әртүрлi таңбалардан (мысалы, +, 
, –, = және т.с.с.) 
тұрады.  
Қорытып  айтқанда,  математикалық  тiлдің  сӛз  дегенін  кәдiмгi  ана  тілінің 
әлiпбиінен  қабылданған  ережелер  негізінде  құралған  сӛз  сияқты  ғана  емес, 
сонымен  бiрге  математикалық  әлiпбидiң  әр  түрлi  әрiптерiнiң  тiркестерiн,  соның 
iшiнде  және  бiздiң  үйреншiктi  түсiнуiмiздегi  формулалар  түсiніледi.  Бiз  негiзiнен 
дәстүрлi  жолды  ұстана  отырып,  бұл  курс  материалын  баяндауда  мұндай  қатаң 
формализацияға  ұмтылмаймыз.  Бiрақ  дегенмен  таныс  белгiлеулерге  қосымша 
келешекте  негізге  алатын  математикалық  логика  саласының  кейбiр  белгiлерiн 
кӛрсетемiз.  Бұл  белгiлеулер  жазуларды  қысқартып  және  оларды  айқынырақ  түрде 
беруге мүмкiндiк бередi. 
Математикалық  логика  мен  жиындар  теориясының  элементтерімен  танысу 
студенттердің ӛзіндік қызығушылығын тудырады. 
І.  Негізгі  тҥсініктер  мен  символдар.  Жиын  түсінігі  (белгіленуі:  М  немесе 
латын  алфавитінің  басқа  да  бас  әріптері),  жиын  элементі  (белгіленуі:  х  немесе 
латын алфавитінің басқа да кіші әріптері), 

 бос жиын, 

 тиістілік белгісі   және 

 
тиісті еместігінің белгісі енгізіледі. Сонан соң логикалық сиволдар енгізіледі және 
олардың оқылуының мүмкін нұсқалары беріледі: 
Пікірлер  мен  пікірлерге  қолданылатын  операциялар  ұғымдары  енгізіледі.  
Пікірлер грек алфавитінің кіші әріптерімен белгіленеді: 
v – конъюнкция операциясының белгісі «және» деп оқылады. Мысалы, αvβ  – 
«α және β бір мезгілде орын алып отыр»; 

 -  дизъюнкция  операциясының  белгісі,  «немесе»  деп  оқылады,  бірақ  бӛлу 
мағынасында емес. Мысалы: α

β – «не α, не β, немесе α және β бір мезгілде». 
Математиканы  оқытуда  кӛп  жағдайда  қандайда  бір  тұжырымда  баяндалған  
мәлiметті  терiске  шығаруға  тура  келеді.  Осыған  байланысты,  егер  берілген 
тұжырым  А  әрiпімен  белгiленген  болса,  онда  оның  терiске  шығарылуын 
A
 
белгiлейді.  Мысалы,  егер  А  «берілген  үшбұрыш  тiкбұрышты»  деген  тұжырымды 
бiлдiрсе,  онда 
A
 «үшбұрыш  тiкбұрышты  емес»  немесе  «үшбұрыш  тiкбұрышты 
болмайды» деген тұжырымды бiлдiредi. 
Сонымен  бiрге,  қандайда  бір  тұжырымның  логикалық  салдары  жиi 
пайдаланылады. Мысалы, «А тұжырымынан В тұжырымы шығады», «егер А дұрыс 
болса,  онда  В  дұрыс»  деген  пікірлерді  қысқаша  мына  түрде  жазады:  «А

В». 
Мысалы, «Егер бір нүктеден берілген түзуге жүргізілген екi кӛлбеу ӛзара тең болса, 
онда  сәйкесiнше  олардың  проекциялары  да  тең»  теоремасының  шарты  мен 
қортындысын  сәйкесінше  А  және  В  арқылы  белгілеп,  оны  А

В  арқылы  жазуға 
болады.  Бұдан  кез  келген  теореманы  А

В  формасында  жазуға  болатындығын 

195 
 
түсіну  қиын  емес.  Мұндағы  А  теореманың  шарты,  ал  В  қорытындысы. 

 белгісі 
импликация деп аталады.  
Тек  қана  А

В  дұрыстығын  емес,  сонымен  бірге  оған  кері  В

А 
орындалатындығын да жиі анықтауға тура келеді. Мысалы, берілген теоремаға кері 
теорема  құрып  және  оны  дәлелдеуге  болады.  Бұндай  жағдайда  ол  А

В  түрінде 
жазылады  және  былай  оқылады  «А  мәндес  В»,  «А  эквивалентті  В».  Екіжақты 
стрелка 

 эквиваленция  белгісі  деп  аталады  және  ол  мынадай  жағдайларда 
қойылады:  «А  болады  сонда  тек  сонда  ғана,  егерде  В  болса»;  «А  В-ның 
дұрыстығының қажетті және жеткілікті шарты болып табылады».  
Математиканың қазiргi заманауи баяндалуында кеңінен қолданылатын тағыда 
мынадай екi таңбаны кӛрсетемiз. 

таңбасы  жалпылау  кванторы  деп  аталады  және  мынадай  мәселелерді  айту 
үшін  қойылады:  «кез  келген»,  «барлығы  үшiн».  Дегенмен,  егер  бiреу 
(
)
x

(2
3 0)
x
 
 деп жазатын болса онда ол сауатсыз болар едi, ӛйткенi 
2
3 0
x
 
теңдiгі 
х-тың  кез  келген  мәні  үшін  емес,  тек  бір  ғана  мәнінде  орындалады.  Осындай 
жағдайлар үшiн басқа 

 белгісі пайдаланылады, ол бар болу кванторы деп аталады 
және  «ең болмағанда біреу бар болады»,  «мынадай бар болады»,  «қандайда бір ... 
үшін» тіркестерін алмастырады. 
2.  Жиындарға  қолданылатын  қатынастар  мен  операциялардың 
анықтамасы.  Бұл  анықтамалардың  жазбалары  енгізілген  символиканың  ең 
алғашқы  мысалы  болып  табылады,  сондықтан  оны  оқу  дағдысын  бекіту  үшін 
символдық  түрде  жазылған  анықтамамен  бірге  студенттер  сӛзбен  жазылған 
сӛйлемді де жазып алып отырады.  
1) А және В жиындарының теңдігі: 


 
 
 



A
x
B
x
B
x
A
x
x
B
A
def









. 
Оқылуы: Анықтама бойынша А және В жиындары сонда, тек сонда ғана тең 
болады,  егер  А  жиынының  кез  келген  элементі  В  жиынының  да  элементі  болса 
және В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі болса. 
2) Қамту: 

  


B
x
A
x
x
B
A
def






. 
Оқылуы:  «А  жиыны  В  жиынының  ішкі  жиыны  деп  аталады  (В  жиынының 
құрамына  енеді),  егер  А  жиынының  әрбір  элементі  В  жиынының  да  элементі 
болса». 
3) А және В жиындарының бірігуі: 



 



B
x
A
x
x
B
A
def





:
. 
Оқылуы:  «А  және  В  жиындарының  бірігуі  -  ол  осы  екі  А  және  В 
жиындарының  ең  болмағанда  біріне  тиісті  барлық  элементтерінен  және  тек 
солардан ғана құралған жиын». 
4) А және В жиындарының қиылысуы: 



 



B
x
A
x
x
B
A
def





:
. 
Оқылуы:  «А  және  В  жиындарының  қиылысуы  дегеніміз  А  жиынына  да  В 
жиынына да тиісті болатын барлық элементтерден және тек солардан ғана құралған 
жиын». 
5) А және В жиындарының айырымы: 

 



B
x
A
x
x
B
A
def




:
\
. 

196 
 
Оқылуы:  «А  және  В  жиындарының  айырымы  дегеніміз  А  жиынына  тиісті, 
бірақ  В  жиынына  тиісті  емес  элементтердің  барлығынан  және  тек  солардан 
құралған жиын». 
3.  Берілген  пікірді  терістеуді  қҧрастыру.  Дәлелдеу  кезінде  берілген 
пікірлердің  терістеуін  құрастыру  жиі  қолданылады  (мысалы,  дәлелдеудің  қарсы 
жору әдісінде). Терістеуді құрастырудың ережелерінің негізінде жатқан логикалық 
заңдылықтар жалпы түрде дәлелденбейді; ереже бірқатар мысалдарды қарастырып 
болған соң құрастырылады: 
«
B
A

»  пікірі үшін терістеу құрастыру қажет. 

  



  
 



B
x
A
x
x
B
x
A
x
x
B
A
def
def











. 
4.Қажетті және жеткілікті шарттар. α және β пікірлер болсын.  
«



»  пікірі  теорема  деп  аталады,  егер  оның  ақиқаттығы  немесе 
жалғандығы логикалық құралдармен дәлелденсе. 



 теоремасы  дұрыс  болсын. 



 пікірінің  арасындағы  қатынасты 
анықтайық.  α-ның  ақиқаттығынан  теорема  бойынша  β  ақиқаттығы  қажет 
болғандықтан, β α-ның қажетті шарты болып табылады. 
Мысалы, теоремада: «егер бүтін санның жазылуы нольмен аяқталса (α), онда 
бұл  сан  жұп  (β)».  Санның  жұптығы  оның  жазылуының  нольмен  аяқталуының 
қажетті шарты болып табылады.  
Екінші  жағынан,  α  орындалғанда  β  әрқашан  орындалады,  яғни  α  β-ның 
жеткілікті  шарты  болып  табылады.  Біздің  мысалымызда  бүтін  санның  жазылуы 
нольмен аяқталса, онда ол санның жұптығының жеткілікті шарты. 
Егер «



» теоремасымен бірге  кері теорема да бар болса: «



», онда 
β  α-ның  қажетті  және  жеткілікті  шарты  болады,  және  керісінше,  яғни  α  және  β 
пікірлері мәндес болады. Қажетті және жеткілікті шарттары бар мұндай теоремалар 
«



»  түрінде  жазылады,  оны  дәлелдеу  мынадай  екі  «



»  және  «



» 
теоремаларын дәлелдеуге келтіреді. 
 
5.Қарсы  жорып  дәлелдеу  әдісі.  «



»  теоремасы  орындалсын.  β 
орындалмаса α да орындалмайтындығы анық, себебі теорема бойынша  α артынан 
қажетті  түрде  β-ны  алып  жүреді.  Мұнан  шығатыны, 



 теоремасынан 



 
теоремасы шығады, яғни 


)
(







   
 
         (1) 
Енді алынған нәтижені 



 теоремасына қолданып кӛреміз: 


 













 
 
(2) 
(1)
 
және (2)-ні біріктіре отырып, контрапозиция заңын аламыз: 









 
Бұл  заң  дәлелдеудің  қарсы  жору  әдісінің  идеясын  анықтайды: 



 
теоремасының  дұрыстығы 



 теоремасы  дұрыстығының  дәлелдемесі  арқылы 
анықталуы мүмкін.  
6.  Кейбір  математикалық  сӛйлемдерді  жазудың  мысалдары.  Тӛменде 
мысал  ретінде  математикалық  талдау  курсының  кейбір  анықтамалары  мен 
теоремаларының  таңбалық жазулары келтірілген.  
1) Тізбектің шегінің анықтамасы: 

197 
 

  

 
 




















a
x
N
n
n
N
n
А
n
def
n
x
0
lim
. 
Оқылуы: f(x) функциясының х
0
 нүктесінде А шегі бар болуы үшін осы 
нүктенің маңайында f(x) функциясы А-ның қосындысы түрінде болуы және 
0
x
x

 
шексіз аз болуы қажетті және жеткілікті. 
2) Теорема: 
 
 
 
 















0
,
0
0
lim
x
x
x
x
x
x
A
x
f
A
x
f


. 
Оқылуы:  f(x)  функциясының  х
0
  нүктесінде  А  шегі  бар  болуы  үшін,  осы 
нүктенің маңайында f(x) функциясы А-ның қосындысы түрінде болуы және 
0
x
x

 
шексіз аз болуы қажетті және жеткілікті. 
3) Аралық мән туралы Больцано-Коши теоремасы. 
 
         

  
 

  
 
 


C
c
f
b
f
C
a
f
b
a
c
C
b
f
a
f
b
f
a
f
b
a
C
x
f











,
*
*
,
Оқылуы:  f(х)    функциясы  [a,b]  кесіндісінде  үзіліссіз  және  f(a)*f(b);  және  анықтық 
үшін f(a)интервалында функциясының мәні С-ға тең болатын с нүктесі табылады. 
Келтірілген  мысалдар  математикалық  талдау  курсын  оқыту  барысында 
логикалық-жиындық  символдарды  қолданудың  ыңғайлылығы  мен  үнемділігін 
кӛрсетеді. 
                                                                   Әдебиеттер 

жүктеу/скачать 4,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: