«развитие науки и инновации в современном мире: проблемы и перспективы»

274 
 
2.
 
Ibragimov U.M. Survival task in controllable systems // Reports of the third congress 
of  the  world  mathematical  society  of  turkic  countries.  Al-Farabi  kazakh  national  university. 
Volume2. –Almaty, «Қазақ университеті», 2009. p. 112-115. 
3.
 
http://kk.wikipedia.org/wiki/Модель  
4.
 
Haddad G. Monotone trajectories of differential inclusions and functional differential 
inclusions with memory // Israil J. Math. 1981. V.39. No. 1-2. P. 83-100 
 
ӘОЖ 681.3 
 
ТИІМДІ БАСҚАРУДЫҢ САПАЛЫҚ МӘСЕЛЕЛЕРІ 
 
Сарыпбекова Г.,
 Исмаилова Л. А.
 
 
Халықаралық гуманитарлық – техникалық университеті, №116 орта мектеп мұғалімі,  
Шымкент қ. Қазақстан 
 
Резюме 
В статье приведены доказательство о сущесвовании удобного управления для начальной 
фазовой точки 
G
x

0
 в системе управления 
 
Summary 
In article are provided the proof about a sushchesvovaniye of convenient management for an initial 
phase point in a control system 
 
Тиімді  басқару  есебінің  математикалық  қойылымы.  Тиімді  басқару 
теориясының  есебінің  бірі  –  жинақтау  (синтез)  есебі.  Жинақтау  есебінде  тиімді 
басқаруды  басқару  жүйесінің  күйін  сипаттайтын  жинақтау  функциясының  мәні 
арқылы  анықтайды.  Басқару  жүйесінің  немесе  фазалық  нүктенің  қозғалысы 
параметрге байланысты дифференциалдық теңдеулер жүйесімен беріледі. Алдыңғы 
бӛлімде  айтылғандай,  бұл  параметрлерді  біз  басқарамыз.  Дегенмен  табиғи 
шектеулерге  байланысты,  басқару  параметрлері  ӛз  мәндерін  тек  қана  шектелген 
жиындардан  (басқару  облысы)  қабылдайды.  Жинақтау  функциясының  мәнін 
анықтау  үшін,  тиімді  басқару  есебін  басқару  жүйесінің  тек  қана  ағымдағы  күйі 
үшін шешеміз, яғни ағымдағы күйді басқару жүйесінің бастапқы күйі деп аламыз. 
Мұндай  жағдайда  тиімді  басқару  есебін  тікелей  жүйені  басқару  үрдісінде  шешу 
қажет.  Кӛптеген  динамикалық  басқару  жүйелерінде  мұны  амалға  асыру  қиынға 
соғады.  Сондықтан  басқару  параметрлерін  жүйенің  фазалық  кеңістігінің 
координаталарына  тәуелді  етіп  сипаттайтын,  басқару  жүйесінің  математикалық 
моделін табу қажеттігі туындайды.  
Енді  осы  айтылғандарды  математикалық  тұрғыдан  қарастырайық.  Жалпы, 
жианқтау  есебі  басқару  жүйесіне  қойылады.  Сондықтан  басқару  жүйесінің 
анықтамасын келтірейік [1].  
Анықтама 1.2.1. Басқару жүйесі деп келесі 
 
u
x
f
x
,


   
 
(1.2.1) 
векторлық түрде берілген дифференциалдық теңдеулер жүйесін айтамыз, мұндағы 
d
R
x

 - фазалық нүктенің күйлер векторы; 
P
u

 - басқару векторы; 
f
 - басқару 
жүйесінің  ішкі  байланысын  сипаттайтын  функция.  Сонымен  қатар, 
d
R
P
u


, 
яғни 
P
 жиыны 
P
R
 кеңістігінің  дӛңес  (әрі  жабық)  ішкі  жиыны  және 
f
 үшін 
d
d
R
P
R
f


:
 ӛрнегі  орынды.  Сондай-ақ, 
n
R
 фазалық  кеңістігінде 
n
R
M

 
сызықты ішкі жиыны берілген болсын, оны терминал жиын деп атаймыз.  

275 
 
Басқару  жүйесінің  кез  келген 
t
 уақыт  ағымындағы  күйін  (1.2.1)  фазалық 
векторы арқылы ӛрнектейміз. Ал, берілген 
f
 функциясы тӛмендегі қасиеттерге ие 
деп аламыз [1]:  

 
берілген 
f
 функциясы 
d
d
R
P
R
f


:
 үзіліссіз 
түрлендірумен 
ӛрнектеледі;  

 
егер  кез  келген 
d
R
x

 фазалық  және 
P
u

 басқару  векторлары  үшін, 
қандайда  бір  тұрақты 
0

c
 анықталса,  онда 
)
1
(
)
,
(
,
2
x
c
u
x
f
x



 теңсіздігі 
орынды (мұндағы 
...
 деп скаляр кӛбейтінді); 

 
егер  кез  келген 
d
R
Y

 дӛңес  жиын  үшін,  қандайда  бір  тұрақты 
0

L
 
анықталса,  онда  барлық 
Y
x
x


2
1
,
 фазалық  нүктелер  және  барлық 
P
u

 
басқарулар  үшін 
2
1
2
1
)
,
(
)
,
(
x
x
L
u
x
f
u
x
f




 теңсіздігі    орынды  (Липшиц 
теңсіздігі) [12]; 

 
барлық 
d
R
x

 фазалық  векторы  үшін 


P
u
u
x
f
P
x
f


)
,
(
)
,
(
 
траекториясы дӛңес болады.  
Әрі қарай (1.2.1) теңдеудің шешімін және мүмкін басқаруды анықтап алайық. 
Жүйенің 
))
(
,
),
(
(
)
(
1
t
x
t
x
t
x
n


 фазалық  күй  векторының 
t
 уақытқа  тәуелді 
болатынын  алдыңғы  бӛлімде  айтып  ӛттік.  Сол  сияқты, 
))
(
,
),
(
(
)
(
1
t
u
t
u
t
u
m


 
басқару  векторы  да 
t
 уақытқа  тәуелді  деп  ұйғарамыз.  Бұл  ұйғарымнан 
)
(t
u
 
басқару векторы уақыт функциясы екендігі келіп шығады. 
Анықтама 1.2.2. Берілген (1.2.1) теңдеудің шешімі деп, үзіліссіз және (1.2.1) 
теңдеуді қанағаттандыратын 
)
(t
x


 функциясын айтамыз. 
Анықтама  1.2.3.  Берілген 


P
u



;
0
:
)
(
 түріндегі  барлық  ӛлшемді 
функциялар жиынын, (1.2.1) теңдеудің мүмкін басқаруы деп атаймыз.  
Бұдан  кейін  барлық  мүмкін  функциялар  жиынын 
U
 деп  белгілеп  аламыз. 
Берілген  (1.2.1)  теңдеу  үшін  кез  келген 
T
t

 уақыт  біолігінде 
U
u


)
(
 басқару 
анықталады.  Әдетте  кӛптеген  техникалық  есептерде 
)
(t
u
 мүмкін  басқару  ретінде 
құрақты-үзіліссіз  немесе  құрақты-тұрақты  функциялар  қаралады  (1.1  бӛлімге 
қараңыз).  
Сонымен, кез келген 
d
R
x

0
 және 
U
u


)
(
 үшін Коши есебі   
0
)
0
(
)),
(
,
(
x
x
t
u
x
f
x



 
 
 
 
 
(1.2.2) 
келіп  шығады.  Коши  есебі 




;
0
 аралықта  анықталған  және  оның  жалғыз  
))
(
,
,
(
)
(
0




u
x
x
x
 шешімі бар деп болжаймыз [15]. 
Бұдан  былай, 
d
R
 кеңістігінің  қандай  да  бір  ішкі  жиынын 
G
 деп,  ал 
M
 
арқылы  терминал  жиынын  белгілейміз,  яғни 
G
R
M
d
\

.  Мұндағы 
G
 ішкі 
жиынын  бос  емес,  еш  болмағанда  бір 
G
x


)
(
 фазалық  нүкте  жатады  деп 
ұйғарамыз. 
Әрі қарай, 
))
(
,
(
0

u
x
T
 деп, кез келген фазалық 
G
x

0
 нүктесі және басқару 
U
u


)
(
 үшін, 
]
;
0
[ t
 уақыт  кесінділері  ішінен  ең  ұзынын  белгілейміз.  Онда 

276 
 
))
(
,
(
0

u
x
T
 кесіндісінде,  берілген 
G
 ішкі  жиынының  шеткі  нүктелерінде 
))
(
,
,
(
)
(
0




u
x
x
x
 фазалық траекториясы жататын   
}
)
(
0
inf{
))
(
,
(
0
G
x
t
u
x
T





,
]
;
0
[ t


.   
 
(1.2.3) 
функционалды  аламыз.  Ондай  болса,  тиімді  басқару  есебі  берілген 
G
 ішкі 
жиынында былай қойылады. 
Анықтама  1.2.4. Тиімді  басқару  есебі  деп, берілген 
G
x

0
 фазалық  нүктесі 
үшін, берілген функционал (1.2.3) ӛзінің 
}
)
(
))
(
,
(
inf{
:
)
(
0
0
U
u
u
x
T
x
T




(1.2.4) 
ең кіші мәніне ие болатын 
U
u


)
(
 мүмкін басқаруды табуды айтамыз. 
Сонымен,  басқару  жүйесі  (1.2.1)  үшін  тиімді  басқару  есебі  тӛмендегі  түрде 
жазылады:   
inf
,
0
,
)
(
,
)
0
(
,
,
),
,
(
0








T
T
t
G
t
x
x
x
P
u
R
x
u
x
f
x
d

 
 
 
(1.2.5) 
мұндағы 
d
R
x

 -  фазалық  нүктенің  күйлер  векторы; 
U
u

 -  басқару 
векторы, 
d
R
P
u


;  кез  келген  бастапқы 
d
R
x

0
 фазалық  нүктесі  және  уақыт 
T
t

 үшін 
U
u


)
(
 ӛрнегі  орынды; 
P
 жиыны 
P
R
 кеңістігінің  дӛңес  (әрі  жабық) 
ішкі жиыны. 
Анықтама  1.2.5.  Егер 
)
(
))
(
,
(
0
0
x
T
u
x
T


 ӛрнегі  орындалса,  онда  (1.2.5) 
басқару  жүйесі  үшін 
G
x

0
 бастапқы  фазалық  нүктеге  сәйкес  келетін 
U
u


)
(
 
мүмкін басқаруды тиімді басқару деп атаймыз.  
Анықтама  1.2.6.  Басқару  (1.2.5)  жүйесінің 
G
x

0
 бастапқы  фазалық  нүкте 
және сәйкес 
U
u


)
(
 мүмкін басқаруды тиімді траектория деп атаймыз. 
Тиімді басқарудың бар екендігі туралы. Тиімді басқару есебі (1.2.5) үшін 
n
R
 
фазалық кеңістігінде 
n
R
M

 сызықты ішкі жиыны берілген деп ұйғарып, жиынды 
терминал  жиын  деп  атаймыз.  Тиімді  басқарудың  бар  екендігі  туралы  теореманы 
келтіруден алдын мына түрдегі анықтамаларды берейік. 
Анықтама  1.2.7.  Егер 
G
 жиынға  тиісті  кез  келген  бастапқы 
0
x
 фазалық 
нүктесі үшін, мүмкін басқару 
U
u


)
(
 табылса, яғни 
0

t
 теңсіздігі орындалатын 
барлық 
t
 уақыт  үшін 
G
u
x
t
x


))
(
,
,
(
0
 ӛрнегі  орынды  болса,  онда 
d
R
G

 
жиынын (1.2.5) басқару жүйесіне қарағанда күшсіз инвариантты деп айтамыз. 
Анықтама  1.2.8.  Егер 
G
 жиынға  тиісті  кез  келген  бастапқы 
0
x
 фазалық 
нүктесі  және  мүмкін  басқару 
U
u


)
(
 үшін, 
0

t
 теңсіздігі  орындалатын  барлық 
t
 уақыт  үшін 
G
u
x
t
x


))
(
,
,
(
0
 ӛрнегі  орынды  болса,  онда 
d
R
G

 жиынын 
(1.2.5) басқару жүйесіне қарағанда күшті инвариантты деп айтамыз. 
Анықтама  1.2.9.  Басқару  жүйесіне  (1.2.5)  қарағанда  күшсіз  инвариантты 
d
R
G

 ішкі жиындардың ішіндегі ең үлкенін, 
G
 жиынының тіршілік ядросы деп 
айтамыз. 
d
R
G

 жиынының тіршілік ядросын 
G
Core
 деп белгілейміз.  
Жалпы,  тиімді  басқару  есептерінде 
M
 терминал  жиынның  ашық  немесе 
жабық  екендігі  маңызды.  Жабық  дегенде  басқару  векторы  жиынның  ішінде  ғана 
емес, шекарасында да жатады деп түсінеміз.  

277 
 
Мысалы,  жылдамдық  есебінде 
M
 терминал  жиыны  жабық  жиын  деп 
есептеледі. Жылдамдық есебі үшін тиімді басқарудың бар екендігі туралы теорема 
M
 терминал жиынды жабық жиын деген ұйғарыммен дәлелденген [5, 15, 16]. Сол 
сияқты,  соқтығыстан  қашу  есебі  үшін,  керісінше,  тиімді  басқарудың  бар  екендігі 
туралы  теорема 
M
 терминал  жиынын  ашық  жиын  деген  болжаммен  дәлелденген 
[17]. Онда 
M
 терминал жиынға қатысты мына түрдегі теоремаға келеміз. 
Теорема  1.2.1.  Айталық,  (1.2.5)  басқару  жүйесі  үшін 
M
 терминал  жиыны 
ашық  жиын  болсын.  Онда 
G
 жиынға  тиісті  кез  келген  бастапқы 
0
x
 фазалық 
нүктесі үшін тиімді басқару міндетті түрде табылады. 
Дәлелдеу.  Сонымен, 
G
x

0
 деп  ұйғарайық.  Алғашында  мынадай  жағдайды 
қарастырайық. 
G
 жиынға  тиісті  кез  келген  бастапқы 
0
x
 фазалық  нүктесі  үшін 
G
Core
x

0
 ӛрнегі  орынды  дейік.  Онда  тиімді  басқарудың  бар  екендігі  1.2.9 
анықтамадан  тікелей  шығады.  Сонымен  қатар, 



))
(
,
(
0
u
x
T
 болғанда,  кез 
келген 
U
u


)
(
 басқару тиімді басқару болатыны шығады. 
Енді мынадай жағдайды қарастырамыз. 
G
 жиынға тиісті кез келген бастапқы 
0
x
 фазалық  нүктесі  үшін 
G
Core
x

0
 ӛрнегі  орынды,  яғни  кез  келген  бастапқы 
0
x
 фазалық нүктесі 
G
 жиынының тіршілік ядросында жатпайды деп болжайық.  
Әрі  қарай 
G
Core
G


 және 



G
G
M
\
 жиындарын  жаңадан 
анықтаймыз.  Алғашқыда, 


M
x
0
 деп  болжайық.  Онда 
U
 жиынына  тиісті  кез 
келген 
)
(

u
 мүмкін  басқару  үшін 



))
(
,
(
0
u
x
T
 ӛрнегі  орынды  болады.  Енді 
қандайда  бір 
)}
(
{

n
u
 мүмкін  басқарулар  тізбегін  табамыз.  Мұндай  тізбек  1.2.3 
анықтама  бойынша  әрқашанда  табылады.  Табылған 
)}
(
{

n
u
 мүмкін  басқарулар 
тізбегі 
))
(
,
(
0

n
u
x
T
 тізбегі 


n
 ұмтылғанда 
)
(
0
x
T
-ға ұмтылады. 
Енді, 


)
(
0
x
T
 екенін  анықтауымыз  қажет.  Ол  үшін,  керісінше 


)
(
0
x
T
 
деп аламыз. Кез келген 

 уақыт бірлігі үшін 
0


 ӛрнегі орынды деп аламыз. Әрі 
қарай 
N
n
u
x
x
x
n
n





)),
(
,
,
(
)
(
0
 фазалық  нүктелер  тізбегінен 
)
(
)
(
1



k
n
k
x
x
 ішкі 
тізбегін  тікелей  бӛліп  аламыз.  Бұл  бӛліп  алынған 
)
(
1

k
x
 тізбек  берілген  (1.2.5) 
басқару  жүйесінің  қандайда  бір 
)
(
1
*

x
 траекториясының 
]
;
0
[

 аралығында  бір 
қалыпты  жинақталады.  Сондай-ақ,  (1.2.5)  басқару  жүйесінің  осы 
)
(
1
*

x
 
траекториясы 
P
u


]
;
0
[
:
)
(
1
*

 мүмкін  басқаруға  және  бастапқы  фазалық 
0
x
 
нүктесіне сәйкес келеді. 
Енді  былай  деп  болжайық.  Барлық 
1
k
k

 сандары  үшін 



))
(
,
(
0
k
n
u
x
T
 
теңсіздігі  орындалатын  қандайда  бір 
N
k

1
 саны  табылады.  Онда 
G
 жиыны 
жабық  болғандықтан  барлық 
]
;
0
[


t
 үшін, 
)
(
1
*
t
x
 траекториясы 
G
 жиынына 
тиісті  екендігі  келіп  шығады.  Дәл  осы  сияқты, 
N
s

 үшін  (1.2.5)  басқару  жүйесі 
үшін 
]
;
)
1
[(


s
s

 аралығында 
)
(
*

s
x
 траекториясын  құрамыз.  Құрылған  жаңа 
)
(
*

s
x
 
траекториясы 
)}
(
{

n
x
 фазалық нүктелер тізбегінен алынған қандайда бір 
)}
(
{

s
k
x
 ішкі 
тізбегінің шегі болып келеді.  

278 
 
Әрі  қарай,  құрылған 
)}
(
{

s
k
x
 тізбегінен 
)}
(
{
1


s
k
x
 ішкі  тізбегін  тікелей  бӛліп 
аламыз.  Осы  ішкі  тізбек  (1.2.5)  басқару  жүйесінің  қандайда  бір 
)
(
1
*


s
x
 
траекториясына 
]
)
1
(
;
[



s
s
 аралығында бір қалыпты жинақталады. Сондай-ақ, бұл 
траектория ӛлшенетін 
P
s
s
u
s




]
)
1
(
;
[
:
)
(
1
*


 мүмкін басқаруға сәйкес келеді.  
Сонымен,  табылған 
)
(
1
*


s
x
 траекториясы  мына  түрдегі 
)
(
)
(
*
1
*


s
x
s
x
s
s


 
бастапқы  шартты  қанағаттандырын  болады.  Онда 
G
 жиынының  жабықтығынан, 
барлық 
]
)
1
(
;
[




s
s
t
 уақыт бірлігінде 
G
t
x
s


)
(
1
*
 ӛрнегі орынды болатыны келіп 
шығады.  Сонымен,  барлық 
1


s
k
n
 сандары  үшін 

)
1
(
))
(
,
(
0



s
u
x
T
n
 ӛрнегі 
орындалатын қандайда бір 
N
k
s


1
 саны табылады дейміз.  
Егер 
t
 уақыт 
]
;
)
1
[(


q
q

, 

,
2
,
1

q
 кесіндісіне  тиісті  болса,  онда 
)
(
)
(
*
*
t
u
t
u
q

 деп  аламыз.  Онда  барлық 
0

t
 уақыт  үшін, 
U
u


)
(
*
 мүмкін  басқару 
және 
G
 жиынына  тиісті 
))
(
,
,
(
*
0

u
x
t
x
 фазалық  нүктесін  аламыз.  Бірақта  бұл 


M
x
0
 ӛрнегіне  қарама-қарсы.  Сонымен 


)
(
0
x
T
 ӛрнегі  орынды  екені  келіп 
шықты. 
Жоғарыда  жазылғандар  сияқты,  берілген 
)}
(
{

n
x
 фазалық  нүктелер  тізбегінен 
)}
(
{

k
m
x
 ішкі  тізбегін  бӛліп  аламыз.  Пайда  болған  тізбек  (1.2.5)  басқару  жүйесінің 
қандайда  бір 
))
(
ˆ
,
,
(
0


u
x
x
 траекториясына 
)]
(
;
0
[
0
x
T
 уақыт 
аралығында 
жинақталатыны түсінікті. Онда кез келген 
)]
(
;
0
[
0
x
T
t

 уақыт бірлігі және барлық 
*
k
k

 сандары  үшін, 
t
u
x
T
k
m


))
(
,
(
0
 орындалатын  қандайда  бір 
N
k

*
 саны 
табылады.  Сондықтан  кез  келген 
*
k
k

 саны  және 
]
;
0
[ t


 уақыт  бірлігі  үшін 
G
u
x
x
k
m


))
(
,
,
(
0

 ӛрнегі орындалады. Бұдан  
G
u
x
x
k
m


))
(
,
,
(
0

 ӛрнегінен және 
G
 жиынының  жабықтығынан 
G
u
x
t
x


))
(
ˆ
,
,
(
0
 ӛрнегі  орынды  екендігі  келіп 
шығады.  
Сонымен, осы қарастырылған жағдайлардан, бастапқы 
G
x

0
 фазалық  нүкте 
үшін, 
U
u


)
(
ˆ
 мүмкін  басқару  тиімді  басқару  екендігі  келіп  шығады.  Теорема 
дәлелденді. 
Терминал жиынға қатысты 1.2.1. теоремадан (1.2.5) басқару жүйесінде тиімді 
басқарудың бар екендігі келіп шығады.  
 

жүктеу/скачать 4,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: