Реферат по дисциплине «теоретические основы информатики»
Задача оптимального управления
жүктеу/скачать 45,3 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 2. Вариационное исчисление
- 3. Принцип максимума Понтрягина
1. Задача оптимального управленияСформулируем задачу оптимального управления: Уравнения состояния: (1). Граничные условия , (2). Минимизируемый функционал: . здесь x(t) — вектор состояния u(t) — управление, t0,t1 — начальный и конечный моменты времени. Задача оптимального управления заключается в нахождении функций состояния x(t) и управления u(t) для времени , которые минимизируют функционал. 2. Вариационное исчислениеРассмотрим данную задачу оптимального управления как задачу Лагранжа вариационного исчисления1. Для нахождения необходимых условий экстремума применим теорему Эйлера-Лагранжа. Функция Лагранжа Λ имеет вид: , где — граничные условия. Лагранжиан L имеет вид: , где λ1, λ2, λ3 — n-мерные вектора множителей Лагранжа. Необходимые условия экстремума, согласно этой теореме, имеют вид: стационарность по u: , (3) стационарность по x, уравнение Эйлера: (4) трансверсальность по x: , (5) Необходимые условия (3-5) составляют основу для определения оптимальных траекторий. Написав эти уравнения, получаем двухточечную граничную задачу, где часть граничных условий задана в начальный момент времени, а остальная часть — в конечный момент. Методы решения подобных задач подробно разбираются в книге2. 3. Принцип максимума ПонтрягинаНеобходимость в принципе максимума Понтрягина возникает в случае когда нигде в допустимом диапазоне управляющей переменной невозможно удовлетворить необходимому условию (3), а именно . В этом случае условие (3) заменяется на условие (6): (6) В этом случае согласно принципу максимума Понтрягина величина оптимального управления равна величине управления на одном из концов допустимого диапазона. Уравнения Понтрягина записываются при помощи функции Гамильтона Н, определяемой соотношением H = F(t,x(t),u) − λ(t)a(t,x(t),u). Из уравнений следует, что функция Гамильтона H связана с функцией Лагранжа L следующим образом: . Подставляя L из последнего уравнения в уравнения (3-5) получаем необходимые условия, выраженные через функцию Гамильтона: уравнение управления по u: , (7) уравнение состояния: , (8) сопряжённое уравнение: , (9) трансверсальность по x: , (10) Необходимые условия, записанные в такой форме, называются уравнениями Понтрягина. Более подробно принцип максимума Понтрягина разобран в книге3. жүктеу/скачать 45,3 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|