Реферат по математическому анализу студент мгту им. Баумана группа Э2 -11 Тимофеев Дмитрий Москва 2004. Введение Для более полного представления о кривизне плоской кривой для начала введём понятие векторной функции скалярного аргумента
жүктеу/скачать 275,41 Kb.
|
| Кривизна плоской кривой.
Длина дуги иеё производная. В введении были рассмотрены понятия векторной функции, опираясь на которое и было дано строгое определение кривой и её частного случая – плоской кривой. В данном пункте дадим определение длины дуги и найдём её дифференциал. Пусть дуга кривой M0M (рис. 1) есть график функции y=f(x), определённой на интервале (a ,b). Определим длину дуги кривой. Возьмём на кривой АВ точки M0, M1, M2, … , Mi-1, Mi…, Mn-1, M. Соединив взятые точки отрезками, получим ломаную линию M0 M1M2… Mi-1 Mi…Mn-1M, вписанную в дугу M0 M. Обозначим длину этой ломаной линии через Pn. Длиной дуги M0M называется предел (обозначим его через s), к которому стремится длина ломаной при стремлении к нулю наибольшей длин отрезков ломанной Mi-1 Mi , если этот предел существует и не зависит от выбора точек ломаной M0 M1M2… Mi-1 Mi…Mn-1M . Найдём выражение дифференциала дуги. Пусть имеется на плоскости кривая, заданная уравнением y=f(x). Пусть M0(x0, y0)- некотрая фиксированная точка кривой. Обозначим через s длину дуги M0M (рис. 3). При изменении абсциссы x точки М длина s дуги будет меняться, т. е. s есть функция x. Найдём производную s по x. Дадим x приращение x. Тогда дуга s получит приращение s = дл. MM1. Пусть - хорда, стягивающая эту дугу. Для того чтобы найти , поступим следующим образом: Из MM1Q находим = (x)2 +(y)2. Умножим и разделим левую часть наs2: Разделим все члены равенства на x2: Найдём предел левой и правой частей при x0. Учитывая, что и , получим Для дифференциала дуги получим следующее выражение: или Мы получили выражение дифференциала дуги для того случая, когда кривая задана уравнением y=f(x). Но эта же формула сохраняется и в том случае, когда кривая задана параметрически: и выражение принимает вид: . Кривизна Первая производная функции даёт нам простейшую характеристику линии y=f(x), а именно её направление. Вторая производная тесно связана с другой количественной характеристикой этой линии, с так называемой кривизной, устанавливающей меру изогнутости или искривлённости линии. Пусть мы имеем кривую, которая не пересекает сама себя и имеет определённую касательную в каждой точке. Проведём касательные к кривой в каких-нибудь двух её точках А и В и обозначим через угол, образованный этими касательными, или – точнее - угол поворота касательной при переходе от точки А к точке В (рис. 4). Этот угол называется углом смежности. Угол смежности в некоторой степени даёт представление о степени изогнутости дуги. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та, у которой угол смежности больше (рис. 5,4). рис. 4 рис. 5 Полной характеристикой изогнутости кривой будет отношение угла смежности к длине соответствующей дуги. Определение 4. Средней кривизной Кср дуги АВ называется отношение соответствующего угла смежности к длине дуги: Для одной и той же кривой средняя кривизна её различных частей (дуг) может быть различной; так, например, для кривой (см. рис. 6) средняя кривизна дуги АВ не равна средней кривизне дуги А1В1 , хотя длины этих дуг равны между собой. Отметим, что вблизи различных точек кривая искривлена по-разному. Для того чтобы охарактеризовать степень искривлённости данной линии в непосредственной близости к данной точке А, введём понятие кривизны в данной точке. Определение5. Кривизной Ка линии в данной точке А называется предел средней кривизны дуги АВ, когда длина этой дуги стремится к нулю: жүктеу/скачать 275,41 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|