Регулярлық беттердің ұғымы
жүктеу/скачать 55,22 Kb.
|
Регулярлық беттердің ұғымы
- Бұл бет үшін навигация:
- Векторлық функцияның гадографі
|
Регулярлық беттердің ұғымы Қандай да бір тегіс L қисығы мынадай векторлық функция арқылы берілсін делік. Егер де болса ⇒ L қисығын регулярлы қисық деп атайтын боламыз. Енді осы регулярлы қисықтың жеткілікті шартын қарастырып көрейік: векторлық функциясы арқылы берілген L қисығын регулярлы деп атау үшін, {t} жиыны келесі көрсетілген шартты қанағаттандыруы керек: . Енді осы жағдайда келесі шартты ескерген жөн. Егер де берілген r’(t) туындысы үзіліссіз және болатын болса, ⇒ t0 нүктесінің аймағы ұшін шарты орындалады. Және де {t} жиынында болса, ⇒ М0 нүктесі аумағындағы t0 нүктесінің мәндері үшін L қисығы регулярлы болып табылады. Ендеше келесі берілген шарттарды, яғни және локальды регулярлы қисықтың шарттары деп атайтын боламыз. Жалпы беттің анықтамасынан әрбір нүктенің қарапайым беті болып табылатын аумағы бар екендігі көрінеді. Ф бетін регулярлы деп алайық. Егер осы беттің әрбір нүктесінде тұрақты параметризацияға мүмкіндік беретін аумағы болса, онда параметрлік түрдегі теңдеулер келесі түрде берілетін болады: . Енді бұл жердегі f1, f2, f3 дегеніміз uv жазықтығының G элементар облысында берілген регулярлы функциялары болып табылады. Егер бет өзіне тиісті әрбір нүктенің кішкентай аумағында аналитикалық параметрлеуге мүмкіндік берсе, онда оны аналитикалық деп атайды. Енді регулярлық беттерді қарастырайық. Анықтамаға сүйенсек, әрбір нүктенің аумағындағы регулярлы беттер келесідей параметрлік теңдеулермен берілуі мүмкін: . Мұндағы x(u, v), y(u, v), z(u, v) – uv жазықтығының G аймағында берілген u және v айнымалыларының регулярлы функциялары болып табылады. Осы кезде бізде мынадай сұрақ туындауы мүмкін: uv жазықтығындағы G аймағында берілген x(u, v), у(u, v), z(u, v) регулярлы функцияларынан құралған теңдіктер жүйесі қандай жағдайда бетті орнатады? Осы сұраққа келесі теорема жауап береді. Егер uv жазықтығында G облысындағы x(u, v), y(u, v), z(u, v) – регулярлы функциялары, келесі шартты қанағаттандырса, яғни матрица дәрежесі барлық жерде G екіге тең болса, онда теңдіктер жүйесі Ф бетін құрайды. Бұл бет – G облысының u, v нүктесі x(u, v), y(u, v), z(u, v) координаттарымен кеңістік нүктесін салыстыратын жергілікті топологиялық көрінісі кезіндегі қарапайым G бетінің бейнесі. Кейбір беттер x, y, z координаттарының остерін дұрыс таңдау арқылы барлық беттің түрлерін параметрлеуге мүмкіндік береді: . Мұндағы, f(u, v) – uv жазықтығындағы G облысында анықталған функция. Бұл беттің теңдеуі эквивалентті түрде де берілуі мүмкін, яғни z = f(x, y). Беттің мұндай параметрленуі өзінің айқындығымен ерекшеленеді. Беттің нүктелері мен ху жазықтығы аймағының нүктелері арасындағы сәйкестік z осіне параллель сызықтар салу арқылы жүзеге асырылады. Ф беті теңдеуімен айқын емес түрде берілген, бұл тек беттік нүктелердің координаталары берілген теңдеуді қанағаттандыратындығын білдіреді. Сонымен қатар бұл жағдайда берілген теңдеуді қанағаттандырмайтын және Ф бетіне жатпайтын кеңістік нүктелері болуы да мүмкін. теңдеуі арқылы берілген бет үшін келесі теорема маңызды болып табылады. – x, y, z айнымалыларының регулярлы функциясы болсын. М - теңдеуін қанағаттандыратын кеңістік нүктелерінің жиынтығы болсын, М жиынының барлық нүктелері осы төңірекке жататын тұрақты элементар беттерді құрайды. Векторлық функцияның гадографі Векторлық функцияның көрнекі бейнесін алу үшін былай жасауға болады. Басы координаталар басымен, ал соңы қандай да бір М нүктесімен сәйкес келетін және оның бағдарланған сегментін бейнелейтін u мәнін аламыз. u өзгерген кезде М қандай да бір кеңістіктік қисықты сипаттайды, оны осы функцияның годографі деп атайды. Векторлық функцияларды қарастырғанда, годограф скалярлық талдаудағы функциялар графигінің рөліне ұқсас рөл атқарады. Алайда, функция туралы толық түсінік алу үшін годографтің өзін ғана зерттеу жеткіліксіз. Оның формасы мен кеңістіктегі орнын анықтаудан басқа, t аргументінің мәні оның нүктелерінің әрқайсысына сәйкес келетінін анықтау мүмкіндігі болуы қажет. Ол үшін го дографқа оның нүктелеріне сәйкес келетін айнымалы t мәндерінің шкаласы қолданылады деп елестете аламыз. (1-сурет) Физикалық тұрғыдан алғанда, годографты векторлық функцияның кеңістіктегі материалдық нүктесінің траекториясы ретінде қарастыруға болады. Сонымен қатар кеңістіктегі кез-келген сызықты белгілі бір вектордың годографы деп алуға болады. Егер векторы тек ұзындығы бойынша өзгерсе, ал оның бағыты тұрақты болып қалса, онда О нүктесінен шығатын сәуледе орналасқан, бір-бірімен байланысты векторлар бар. Ұзындығы бойынша ғана өзгерген векторлық функцияның годографі. Ал егер векторының t модулі өзгермей, бағыты ғана өзгерсе, онда жиынтықтағы векторлар центрі О болатын шардың радиусында жатады. Мұндай функцияның годографі сфераның радиусында жататын сызық болып табылады. Бағыты бойынша ғана өзгеретін векторлық функцияның годографі. жүктеу/скачать 55,22 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|