Решение уравнения теплопроводности стержня с квадратным сечением разностным методом
жүктеу/скачать 172,15 Kb.
|
Разностный метод-Теплопроводность
| Постановка задачи
Рассмотрим горизонтальный стержень ограниченной длины и постоянного поперечного сечения Sпс = Построим глобальную декартовую систему координат Oxyz (Рисунок 1). Рисунок 1. Общий вид металлического стержня с квадратным сечением Распространение тепла в стержне описывается следующим трехмерным уравнением теплопроводности , (1) где – коэффициент теплопроводности; – плотность; – удельная теплоемкость; h - коэффициент теплообмена; – интенсивность источников тепла в точке (x, y, z) в момент времени t. Tос– температура окружающей среды; Sпс – площадь поперечного сечения стержня; x, y, z – пространственные переменные , , , - центр стержня: , – ширина и высота стержня; – длина стержня. Дифференциальное уравнение в частных производных (1) является дифференциальным уравнением сохранения энергии для изохорного процесса переноса теплоты, или уравнением нестационарной теплопроводности. Оно устанавливает связь между временным и пространственным изменением температуры в любой точке твердого тела, в котором происходит процесс теплопроводности. Предполагается, что левый конец стержня совпадает с началом координат и коэффициент теплообмена считается постоянным по всей поверхности стержня. Также предполагается, что стержень находится под воздействием точечной температуры и поверхностного теплообмена. Далее мы будем рассматривать однородный стержень ( - постоянные) и что тепловые источники отсутствуют ( ). Тогда уравнение (1) примет вид , (2) где - коэффициент температуропроводности. Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности необходимо к уравнению (1) присоединить начальные и граничные условия. Начальные условия необходимы при рассмотрении нестационарных процессов и состоят в задании закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени. В общем случае начальное условие аналитически может быть записано следующим образом: , (3) где , t – время ( ), – промежуток времени, в течение которого изучается процесс теплопроводности стержня. Обозначим через D – параллелепипед (0 , а через Г – границу D, . Граничные условия зададим в виде . (4) . Дифференциальное уравнение теплопроводности совместно с начальными и граничными условиями полностью определяют задачу, т. е. зная геометрическую форму тела, начальные и граничные условия, можно дифференциальное уравнение решить до конца и, следовательно, найти поле температур в теле, – функцию распределения температуры в любой момент времени t. Функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению (2), а также начальному и граничным условиям. В курсе математической физики доказывается принцип максимума и теорема единственности решения, из которой следует, что если некоторая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности, начальным и граничным условиям, то она является единственным решением данной задачи. Теорема 1 (принцип максимума). Если функция определенная и непрерывная в замкнутой области Q удовлетворяет уравнению (2), то она достигает максимального и минимального значения в начальный момент времени или на границе Г. Теорема 2 (единственности). Если две функции и , определенные и непрерывные в области Q, удовлетворяют уравнению (2) и одинаковым начальным и граничным условиям (3)-(4), то . Отсюда следует корректность исследуемой задачи, однако ввиду сложности изучаемых явлений решить аналитически дифференциальные уравнения в частных производных современными математическими методами чаще всего бывает очень трудно, а иногда и невозможно. Однако существует много методов решения, пригодных для практического использования. В этой связи предлагается численное решение разностным методом, т.е. уравнение теплопроводности аппроксимируется разностной схемой. жүктеу/скачать 172,15 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|