С. П. Макаревич, М.Қ. Қылышқанов Автоматты реттеу теориясы бойынша лекциялар
Жүйе параметрлері жазықтығында орнықтылық
жүктеу/скачать 10,8 Mb.
|
Теор авт рег каз
| 3.8 Жүйе параметрлері жазықтығында орнықтылық
аймақтарын салу 3.8.1 D-бөлу жайлы ұғым. Жүйелердің орнықтылығын зерттеген кезде бізді тек қане оның орнықтылық немесе орнықсыздық фактісі қызықтырмайды, сонымен қатар, жүйе орнықты болып қалатындай қандай да бір параметрлердің диапазонын анықтау керек болады. Орнықтылық аймағының шекарасының теңдеуін кез келген орнықтылық критерийін қолданып анықтауға болады. Бірақ Ю.Н.Неймарн ұсынған D-бөлу әдісі неғұрлым жалпы болып табылады. Тұйық жүйенің n дәрежелі сипаттамалық теңдеуін қарастырайық. . (3.8) (3.8) теңдеудің әрбір коэффициентін n-өлшемді кеңістіктің координаталық осьтері ретінде қарастыруға болады. Егер (3.8) теңдеудегі ai коэффициенттерін өзгертетін болсақ, онда оның түбірлері осы коэффициенттерден тәуелді болғандықтан, түбірлер жазықтығында орын ауыстырады және осы жазықтықта жалған осьтің сол жағында k түбірі, ал оң жағында n-k түбірі бар аймақ құрады. Бұл жердегі k саны 0-ден n-ға дейін өзгере алады. Бұл аймақтарды D(k) деп белгілейді. Коэффициенттер кеңістігін ішінде сол жақтық түбірлердің бірдей саны жататындай аймақтарға бөлу және алынған аймақтардың ішінен орнықтылық аймағын анықтау D-бөлу деп аталады. Екінші дәрежелі сипаттамалық теңдеу үшін D-бөлу әдісін дәйекті түрде талдап көрейік. Теңдеу мынадай түрде беріледі . Бұл теңдеудегі a1 және a0 коэффициенттері белгісіз болсын. Олар ерікті түрде өзгере отырып, a0a1 коэффициенттер жазықтығын құрайды (3.9 сурет). Бұл кеңістікте (a1 0 a0) сызықтары D-бөлу шекарасы болып табылады. Бұл шекара D(0), D(1) және D(2) аймақтарын бөліп тұрады. a0a1 коэффициенттер кеңістігінде D(2) орнықтылық аймағы болатынын аңғару қиын емес. Егер D(2) аймағы жоқ болса, онда жүйе орнықты бола алмайды. 3.9 сурет 3.9 суреттен D-бөлу шекарасын жүйенің сипаттамалық теңдеуінің р түбірлер жазықтығының жалған осінің осы жүйенің коэффициенттер кеңістігіндегі кескіні ретінде қарастыруға болады. Өйткені коэффициенттер кеңістігінде D-бөлу сызығын қиып өту түбірлер жазықтығында жалған ось арқылы өтуге сәйкес келеді. Михайлов критерийіне сәйкес, егер Михайлов годографы D(j) координаталар басынан өтетін болса, онда жүйе орнықтылық шекарасында болады және бұған мына шарт сәйкес келеді D(j)= Р()+jQ()=0, мұндағы
(3.9) теңдеулерді зерттелетін коэффициенттер – жүйе параметрлеріне қатысты шеше отырып, мысалға a0 және a1, ал қалған коэффициенттерді тұрақты деп санап, мына өрнектерді аламыз a0=f0(); a1=f1(). (3.10) (3.10) өрнектердегі жиілікті -; + аралығында өзгерте отырып жүйе параметрлері жазықтығында D-бөлу қисығын салуға және орнықтылық шекарасына сәйкес келетін осы параметрлердің өзгеру диапазонын анықтауға болады. 3.8.2 Бір комплекстік параметр жазықтығында орнықтылық аймағын салу. Егер жүйе орнықтылығына бір ғана параметрдің әсерін зерттеу керек болса, мысалға k жүйенің беріліс коэффициентінің, онда осы параметрдің орнына комплекстік шама енгізіледі. Бұл шаманың нақты бөлігі аталған параметрге тең, яғни k=P()+jQ(). Орнықтылық аймағын анықтау үшін мынадай амалдар орындалу керек. 1) Зерттелетін параметрге қатысты тұйық жүйенің сипаттамалық теңдеуін шешу. 2) Алынған өрнекте р шамасын j-мен алмастырып, оның нақты және жалған бөліктерін даралап көрсету Р()=f1(); Q()=f2(). 3) жиілікті ; + аралығында өзгерте отырып Р(); Q() жазықтығында осы Р() және Q() мәндерін анықтау және D-бөлу қисығын салу. 4) =- бағытынан =+ бағытына қарай қозғалғанда D-бөлу қисығының сол жағын штрихтау. Штрих-сызық бағытталған аймақта сол жақтық түбірлер саны ең үлкен болады және бұл аймақ орнықтылық аймағына ұсынылады. 5) Аталған аймақтың бір нүктесін орнықтылыққа тексеру және орнықтылық шартын жазу (егер бар болса). Бұл жағдайда зерттелетін параметрдің тек нақты мәнін қарастыру керек. Мысал. Жүйенің сипаттамалық теңдеуі берілген p2+2p+k=0. Жүйе орнықтылық күйде болатындай k параметрінің өзгеру шегін анықтаңыздар. Шешуі. Берілген теңдеуді k параметріне қатысты шешейік k=p22p. Бұл жердегі p параметрінің орнына j шамасын енгізейік. Сонда өрнек мына түрге келеді k=22j=P()+jQ(), мұндағы P()=2; Q()=2. P()=Rek және Q()=Jmk жазықтығында D-бөлу қисығын саламыз (3.10 сурет). 3.10 сурет Жиілік =0 болғанда P()=0 және Q()=0; =1 болғанда P()=1 және Q()= 2 және т.б. Жиілік болғанда P() және Q() . Жиілік болғанда P() және Q(). D-бөлу қисығын = бағытынан = бағытына қарай қозғалғанда сол жағынан штрихтаймыз. Осы аймақ орнықтылық аймағына жата ма, соны тексереміз. k=1 деп қабылдаймыз. Сонда жүйенің теңдеуі мынадай түрге келеді p2+2p+1=0. Оның p1,2=-1 екі түбірі де сол жақтық түбір болып табылады. Ендеше, 3.10 суретте штрих сызықпен бөлінген аймақ орнықтылық аймағы болып табылады. k=0 шекаралық нүктені тексерейік. Егер k=0 болса, онда жүйе теңдеуі мына түрге келеді p2+2p=0. Оның түбірлері p1=0, p2=-2 болып табылады, яғни бір түбірі нөлдік түбір, ал екіншісі жалған осьтің сол жағында жатады. Жүйе орнықтылық шекарасында болып табылады. Ендеше қарастырылып отырған жүйе үшін орнықтылық шартына k>0 мәндері жауап береді. 4 СЫЗЫҚТЫ ҮЗДІКСІЗ ЖҮЙЕЛЕРДІҢ РЕТТЕУ САПАСЫН ТАЛДАУ жүктеу/скачать 10,8 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|