Сборник материалов IV международной научно-практической конференции «Роль физико-математических наук в современном образовательном пространстве»

102
 
 
ЖОК 517.9868.78. 
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕНДЕУЛЕРДІҢ СЫЗЫҚТЫҚ ЕМЕСЖҮЙЕСІНІҢ  
ДЕРЛІК  КӨППЕРИОДТЫ ШЕШІМІНҚЫСҚАРТУ ӘДІСІНІҢ  КӨМЕГІМЕН ҚҰРУ 
 
Ысмагул Р.С. 
 
А.Байтұрсынов атындағы Қостанай мемлекеттік университеті, Қостанай қ., 
IsmagulR@mail.ru 
 
Бұл  жұмыста  тәуелсіз  айнымалылары  санаулы  жиыннан  тұратын    1-ретті  дербес  туындылы 
интегродифференциалдық  теңдеулер  жүйесінің  дерлік    көп  периодты  шешімін  табу  және  оның  жалғыздығын 
дәлелдеу үшін тәуелсіз айнымалыларды қысқарту әдісін қолдану қарастырылған [1, 2].  
Бізге  

R
R 
  облысында анықталған және үзіліссіз болатын n- өлшемді         











,
,......,
,
,
1
t
x
t
x
t
x
n

 
вектор 
- 
функциясы 
берілсін. 
Бұндағы 
 
 







;
R
t
; 








:
R
; 
-                                                             
ал          - саналымды вектор ,оның нормасы 
k


sup

болады. 





R
R 

,
, 


....
,
2
1


 
саналымды  векторын 



,
t
x
  функциясының  вектор  -дерлік  периоды 
деп атаймыз,егер                                                 













,
,
t
x
t
x
 
шарты орындалса.  
l
t
t


0
, 
l


0


, 




R
R
t


0
0
,
,  
шартын қанағаттандыратын  




R
R
t


,
 нүктелер жиынын центрі  


0
0
,

t
 нүктесінде, радиусы 
0

l
 
болатын 

R
R 
 -де берілген шартты шар деп атаймыз және оны 


l
t
S
,
,
0
0

арқылы белгілейміз. 










1
1
1
1
)
(
)
,
(
,
,
,
)
,
,
,
(
)
,
(
dt
t
t
t
x
t
t
M
x
t
Q
x
t
P
Dx








                   (1) 
дербес туындылы интегродифференциалдық теңдеулер жүйесін қарастырайық.  
Мұндағы                            







k
k
x
t
a
t
D

 ,
,
,
- 
дифференциалдық оператор, х,Q,M - n-өлшемді вектор–бағаналар,  


n
n
t
P



,
 -өлшемді матрица,  μ>0 - кіші 
параметр,  ал  





















,
),
,
(
,
0
,
,
R
R
t
R
х
x
R
n
 
 болсын. 
W
m
,V
m
  операторлары   


...
,....
,
2
1
m



 
 векторына   төмендегідей сәйкестік орнатады:  


,...
0
...
....
1
m
m
W


 
, 


...
,
0
,...,
0
2
1



m
m
m
V



 
Сонда  
m
m
V
W 
 - тепе-тең оператор болатыны белгілі. 
      n-өлшемді  



,
t
z
 вектор – функциясы

- класында жатады, егер ол: 
1)  t,   айнымалылары бойынша үзіліссіз,  
2) норма бойынша шектелген, яғни   


p
t
z


,
, бұндағы                      
      p>0 - тұрақты шама , 
3)    бойынша  Липшицтің   күшейтілген шартын: 

















m
m
m
m
m
m
V
d
V
W
t
z
V
W
t
z
,
,
,  
бұндағы  
0

m
d
 ; 


m
 қанағаттандырса, 
4)  бойынша шектелген және  бірқалыпты  үзіліссіз 1-ретті дербес туындылары бар болса. 
Бұндай функциялардың   класын 


m
d
p,

 арқылы белгілеп, 




m
d
p
t
z
,
,

 
 түрінде жазамыз.                              
Бізге 



,
t
 бойынша дерлік көппериодты,   

103
 
 










m
m
V
t
f ,
                                                     шартын қанағаттандыратын  үзіліссіз n-
өлшемді 

- функциялар класы     


m
n
H

,

    берілсін, бұндағы    
0

m

,


m
.                                                


x
t
P
x
D
f

,

                                                             (2) 
сызықталған теңдеуінің  матрицантын  



,
,
0
t
t
X
f

 арқылы белгілейтін болсақ, онда   
 






0
0
0
0
0
,
,
,
,
,
,
{
,
,
t
t
t
t
X
t
t
t
t
X
t
t
X
f
f
f









 
                            түрінде бола алады, бұндағы 
f
X

,
f
X

матрицанттары (2) жүйенің матрица түріндегі  
дербес шешімдері . 
0
,
1




- тұрақты шамалар табылса, онда 


0
,
,
0
t
t
f
e
t
t
X







,                                                            (3) 
әрі  




E
t
t
X
t
t
X
f
f








,
,
0
,
,
0
0
0
.                                               
Бұндай жағдайда  



,
,
0
t
t
X
f

 - Грин түріндегі матрица болады.     


m
n
H

,

 
класын 
 
анықтау 
үшін 


m
m
m
m
x
,
,
sup


 
 
тізбегі                                                              
алынады. 
     Енді  


,
,
)
(
)
,
(
,
,
,
,
,
,
)
,
(

























t
d
t
t
t
x
t
t
M
x
t
Q
x
t
Dx
                                              (4)                  
түрінде берілген интегродифференциалды теңдеулер жүйесін қарастырайық, 
бұндағы  


,
,
)
(
)
,
(
,
,
,
,
,
,
1
k
k
k
t
d
t
t
t
x
t
t
N
x
t
a
t
D






























 
- дифференциалдық оператор, ал x, Q, M, n - вектор-бағаналар. 
     Белгілеулер енгіземіз: 




















,
1
:
)
(
)
,
(
,
,
,
)
(
1
q
R
u
u
R
t
d
t
t
t
x
t
t
N
x
U



 




















,
2
:
)
(
)
,
(
,
,
,
)
(
0
2
n
R
R
t
d
t
t
t
x
t
t
M
x
V





 
 
Сонда (4) жүйе мына түрге келеді: 
 






,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
1








x
t
Q
x
t
P
x
u
x
t
a
t
x
Dx
k
k
k











 
(4) жүйенің  дерлік көппериодты жалғыз шешімінің бар болуын дәлелдеу үшін (

1

), (

2

), (

3

)   шарттарының  
орындалуын қарастырамыз[3,4]. 
Енді (1) жүйеден алынған  бойынша қысқартылған мына жүйені қарастырайық:  


,
)
(
,
,
,
)
,
,
,
(
)
,
(
t
d
t
t
y
W
t
t
M
y
W
t
Q
y
W
t
y
D
m
m
m
m



















          (5) 
Теорема.  Кез келген 
т 
үшін сынықты болмайтын  

104
 
 
y
W
t
P
y
D
m
f
m
)
,
(


 
қысқартылған    жүйе  берілсін    және 
а
,  Р,  Q,  M  шамалары  үшін (

4
П
),  (

2
П
)[1]    шарттары  орындалсын. Сонда 
,
1
0

l





0
 болған жағдайда (1), (5) жүйелердің әрқайсысының жалғыз дерлік көппериодты шешімі 
бар болады, әрі көпперподты  
)
,
(
*

t
x
 шешімі  бойынша қысқарту әдісі арқылы табылуы мүмкін, яғни    
)
,
(
*
)
,
(
*
lim


t
x
W
t
y
m
m



 
өрнегі норма бойынша жинақталады, бұндағы 
)
,
(
*

m
W
t
y
 - (5) жүйенің дерлік көппериодты  шешімі. 
 
Әдебиеттер тізімі 
1. Умбетжанов Д.У. Почти периодические решения эволюционных уравнений. Алма-ата, Наука, 1990, 188 с. 
2.  Умбетжанов  Д.У.,  Исмагулова  Р.С.  Построение  почти  многопериодического  решения  одной  системы  интегро-
дифференциальных уравнений методом укорочения //Изв. АН КазССР, Сер.физ.-матем. 1987. №1. С.54-59 
3.  Боголюбов  Н.Н.,  Митропольский  Ю.А.  Асимптотические  методы  в  теории  нелинейных  колебаний.  М., 
Физматгиз. 1984. -121 с. 
4.  Исмагулова  Р.С.  О  применении  метода укорочения  к построению  почти  многопериодического  решения одной 
системы  интегродифференциальных  уравнений  частных  производных  //  Алма-Ата,  1987,  25  с.  Деп.  в  ВИНИТИ 
3.07.87.№5474-В.87 Деп.  
 
 
ӘОЖ 519  
ТІЗБЕКТЕРДІҢ ҚАРАПАЙЫМ ТУЫНДАТҚЫШ ФУНКЦИЯЛАРЫ 
 
Мырзашева А.Н. 
 
Х.Досмұхамедов атындағы Атырау мемлекеттік университеті, Атырау қаласы 
 
Анықталатын  туындатқыш  функция  ұғымы  рекурренттік  қатынастар  және  комбинаторикалық  есептерді 
шешудің негізгі тиімді тәсілдерінің бірі болып табылады.  
Анықтама.   









п
п
х
а
х
а
х
а
х
а
х
а
а
4
4
3
3
2
2
1
0
                                           (1) 
өрнегі 

,
,
,
,
3
2
1
0
а
а
а
а
 тізбегінің туындатқыш функциясы деп аталады.[1,2,3] 
яғни, 
туындатқыш 
функция 

,
,
,
,
3
2
1
0
а
а
а
а
 
тізбегін 
шығаратын 
(туындататын) 
 









0
3
3
2
2
1
1
0
0
...
n
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
G
 формальды дәрежелік қатар. 
Мысалы, 
2
3
4
5
6
( ) 1
2
3
5
8
13
...
A x
x
x
x
x
x
x
  





  өрнегі  -  Фибоначчи  сандары  тізбегінің 
туындатқыш функциясы болып табылады.  
Туындатқыш функциялар әдісін 1750 жылдары Эйлер жасақтаған.  
Туындатқыш функция 
- Тізбектер туралы ақпаратты жинақты жазу; 
- Рекурренттік қатынастармен берілген 
п
а
 тізбегінің 
 
п
а
п
, яғни 
п
-ге тәуелділігін анықтау; 
-  Тізбек  үшін  рекуррентік  қатынасты  табу  -  туындатқыш  функцияның  түрі          формуланы  табуға 
көмектеседі; 
- Тізбектің асимптотикалық қасиеттерін зерттеу; 
- Тізбектер арқылы берілген тепе-теңдіктерді дәлелдеу; 
- Комбинаторикада объектілерді санау есептерін шығару немесе теоремаларды дәлелдеу; 
- Шексіз қосындыларды есептеу - мақсаттарында қолданылады.  
Қарапайым туындатқыш функция үшін  


,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
5
4
3
2









х
х
х
х
х
 










4
4
3
3
2
2
1
0
4
3
2
1
0
,
,
,
,
,
х
а
х
а
х
а
х
а
а
а
а
а
а
а
 
және 


,
,
0
,
0
,
0
,
0
,
,
,
,
,
,
,
4
4
3
3
2
2
1
,
0
4
3
2
1
0
п
п
п
х
а
х
а
х
а
х
а
х
а
а
а
а
а
а
а
а










 
ал, экспоненциал  туындатқыш функция үшін тізбек былай жазылады 

105
 
 


.
!
6
!
5
!
4
!
3
!
2
!
1
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
6
5
4
3
2










х
х
х
х
х
х
 
Сонда 










!
4
!
3
!
2
!
1
,
,
,
,
,
4
4
3
3
2
2
1
0
4
3
2
1
0
х
а
х
а
х
а
х
а
а
а
а
а
а
а
 
және 


!
!
4
!
3
!
2
!
1
,
0
,
0
,
0
,
0
,
,
,
,
,
,
,
4
4
3
3
2
2
1
0
4
3
2
1
0
п
х
а
х
а
х
а
х
а
х
а
а
а
а
а
а
а
а
п
п
п










 
болады. 
Комбинаторлық талдауда әр түрлі комбинаторлық конфигурацияларға сәйкес келетін сандық тізбектерге 
амалдар  қолдану  есебі  жиі  кездеседі.  Мысалы,  мына  қосындылар  тәрізді 


n
k
k
n
C
0
, 


n
k
k
n
kC
0
  әр  түрлі  индекстегі 
биномдық  коэффициенттердің  қосындысын  табу есебі, осы  коэффициенттерден  құралған  қатарлар  көбейтіндісін 
табу  есебі, сол сияқты  комбинаторлық құрылымдар қасиеттерін  дәлелдеу  есебі  т.с.с.  Мұндай  есептерді шығару, 
дәлелдеу әдетте күрделі болып келеді. Сондықтан бұл жағдайда 
 
k
a
 комбинаторлық тізбегіне формалды қатар 
арқылы анықталатын  
  


n
k
k
k
x
a
x
f
0
                                                             (2) 
функциясы  сәйкестікке  қойылса,  жоғарыда  айтылған  есептердің  тиімді  әдістермен  шығарылу  жағдайлары, 
нәтижені  алу  процесі  жеңілдетілген  болар  еді.  Мұндай 
 
x
f
  функциясы 
 
k
a
  тізбегінің  туындатқыш 
функциясы болып табылады.[1,2,3] 
Егер (2) қатардағы барлық 
k
a
, қандай да бір 
k
-дан бастап нольге тең болса, онда қосынды шекті тізбек 
арқылы орындалады, мұндай жағдайда тұрғызылған туындатқыш функция полиномды деп аталады.  
1.  Кез  келген 
 



n
k
k
k
a
x
a
x
f
0
  және 
  


n
k
k
k
b
x
b
x
f
0
  туындатқыш  функциялары  үшін  қосу  амалы 
орындалады: 
 
 







n
k
k
k
k
b
a
x
b
a
x
f
x
f
0
.                                                  (1.3) 
2. Қандай да бір нольге тең емес 

 санына көбейту амалы орындалады: 
  


n
k
k
k
x
a
x
f
0


.                                                      (1.4) 
3. Коши көбейтіндісі орындалады: 
 
  



n
k
k
k
b
a
x
c
x
f
x
f
0
, мұндағы 






k
i
k
i
k
b
a
c
0
1 .                         (1.5) 
Туындатқыш  функциялар  кестесі.Барлық  жағдайда  туындатқыш  функцияларды  қатар  түрінде  жазу  тиімсіз, 
сондықтан жиі кездесетін туындатқыш функцияларды қысқартып жазу қолданылады. Бұл кестеде (1 кесте) әдетте 
типтік есептерді шығаруда қолданылатын қарапайым туындатқыш функциялар келтірілген. Барлық ∑ қосындысы 
басқа ескертулер берілмеген жағдайда 
п 
айнымалысының 0-ден ∞-ке дейінгі мәндері үшін орындалады. Тізбектер 
элементтері 0-ден бастап номерленеді. 
Келтіріліп  отырған  туындатқыш  функциялар  тізбегі  туындатқыш  функциялар  теориясының  «көбейту  кестесі» 
тәрізді.  Бұл  туындатқыш  функцияларды  есептер  шығару  барысында  пайдалану  күрделі  өрнектермен  жұмыс 
жасауға, көптеген ауызша есептеулерді тез орындауға мүмкіндік береді.[4,5] 
1 кесте – Туындатқыш функциялар кестесі 
№ 
 
Тізбек 
Туындатқыш функциялар 
Қатар түрінде 
Формула түрінде 
1 


...
,
0
,
0
,
0
,
1
 
1 
1 

106
 
 
2 










...
,
0
,
0
,
0
,
1
,
0
...,
,
0
,
0




ноль
т
 
m
z
 
m
z
 
3 


...
,
1
,
1
,
1
,
1
 

n
z
 
z

1
1
 
4 


...
,
1
,
1
,
1
,
1


 
 


n
n
z
1
 
z

1
1
 
5 










...
,
0
,
0
,
1
...
,
0
,
0
,
0
,
1
н



са
т
 

тn
z
 
т
z

1
1
 
6 


...
,
4
,
3
,
2
,
1
 




n
z
п 1
 


2
1
1
z

 
7 


...
,
16
,
8
,
4
,
2
,
1
 

n
n
z
2
 
z
2
1
1

 
8 


...
,
,
,
,
1
3
2
r
r
r
 

n
n
z
r
 
rz

1
1
 
9 


...
,
,
,
3
1
0
m
m
m
C
C
C
 

n
n
m
z
C
 


n
z

1
 
10 


...
,
,
,
,
1
3
2
2
1
1


m
m
m
C
C
C
 



n
n
n
m
z
C
1
 


m
z

1
1
 
11 


...
,
,
,
,
1
3
2
1
m
m
m
m
m
m
C
C
C



 
 


n
m
n
m
z
C
 


1
1
1


m
z
 
12 






...
,
3
1
,
2
1
,
1
,
0
 

1
1
n
n
z
n
 
z

1
1
ln
 
13 








...
4
1
,
3
1
,
2
1
,
1
,
0
 
 




1
1
1
n
n
n
z
n
 


z

1
ln
 
14 






...
24
1
,
6
1
,
2
1
,
1
,
1
 

n
z
n!
1
 
z
e
 
 
Бірінші  және  екінші  (№1,2)  туындатқыш  функциялар  туындатқыш  функциялардың  анықтамасынан 
шығады. Үшінші (№3) тізбектің дұрыстығын бірнеше тәсілдермен көрсетуге болады. Олардың бірі үздіксіз кемімелі 
геометриялық прогрессия мүшелерінің  
қосындысы 


1

z
 формуласы көмегімен былайша жазылады 
...
1
1
1
3
2






z
z
z
z
 . 
Келесі №4 туындатқыш функция осы формуладағы  z-ті −z-пен алмастыру  арқылы алынады. 
Ал,  №5,  №7  және  №8  туындатқыш  функциялар  №3  тізбектегі  z-ті  сәйкесінше 
zm
, 
2z
  және 
rz
-термен 
алмастырудан алынады. Аналогиялық түрде  
№10,11 туындатқыш функциялар алынады: 














0
1
m
1
1
1
n
n
n
n
m
m
z
C
z
z
,   
бұл  алынған  өрнек  №10,  енді  осы  өрнектегі 
т-
ді 
т
+1-мен  алмастырып  және  терудің 
s
k
k
s
k
С
С


  қасиетін 
пайдаланып №11 тізбекті шығарып алуға болады: 

107
 
 


































0
0
0
0
1
1
1
1
m
1
1
1
n
n
m
n
m
n
n
n
n
m
n
m
n
n
n
n
m
n
n
n
n
m
m
z
C
z
C
z
C
z
C
z
z
. 
№6 тізбектің  туындатқыш  функциясы  №3  функцияны  дифференциалдаудан  алынса,  №12 тізбектің  туындатқыш 
функциясы  №3  функцияны  интегралдау  арқылы  алынады.  №13  тізбек  осы  өрнектегі  z-ті  −z-пен  алмастырудан 
шығады.  №14  тізбек  математикалық  талдау  курсындағы  экспоненциал  функцияны  қатарға  жіктеу  (Тейлор 
формуласы) көмегімен алынады. 

жүктеу/скачать 12,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: