Сборник материалов IV международной научно-практической конференции «Роль физико-математических наук в современном образовательном пространстве»

73
 
 
понятием    обозначаются  формы    такой    зависимости    между    величинами,  при    которой    изменение  одних 
(аргументов) сопровождается  изменением  других  величин (переменных)"
[20]
. 
Если    изучается    динамика    величины   X,  в    левой    части    уравнения    пишется    вначале  ее    скорость  
изменения  во  времени  в  момент t, а  затем  знак  равенства, т.е. 
 
В правой части по очереди выписываются потоки непосредственно связанные с составляющими  системы, 
причем    перед    потоком    ставится  знак  "+",  если  поток  содействует    развитию   X,  и    со    знаком  "-",  если 
сдерживает  развитие.  Также  мы  постараемся  учесть  периодичность  в  историческом  процессе.  Для  этого  мы 
применим теоремы, показывающие, что  система  имеет  периодическое  решение.  
В  ходе  построения  модели  были  получены  несколько  систем  (учитывались  разные  факторы  и  разные 
определения управляющего параметра), но почти во всех решениях не было периода. В качестве управляющего 
параметра 
(он 
нужен 
для 
исследования 
цикличности) 
возьмем 
 
уровень 
 
Пассионарного 
напряжения
 (характеристику  этноса),  так  как  социальная  система  контролируется  только  этническими 
факторами.   
По    определению    Л.Н.Гумилева 
 Пассионарное    напряжение
 -  пассионарность,  приходящаяся  на  одного  члена 
общества. "Качественные    характеристики  
пассионарного  напряжения
   следует  рассматривать  как  некую 
усредненную оценку представителей этноса".
 
Построим    систему    так,  что    бы   при    достижении    какого-то    уровня  
Пассионарного  напряжения
   P 
система,  потеряв  устойчивость  стационарного  равновесия,  обретала  новое  циклическое    состояние  (примерно  
через 70-100 лет  после  начала  отсчета). 
Политическую, 
экономическую 
систему, 
социальное 
сообщество 
и 
систему 
поддержения  
институциональных  этнических  образцов  будем описывать  функциями  G(t), E(t), K(t) и D(t)  соответственно, 
возрастание  которых  означает  усиление  интегрирующих  общественных  сил, а их убывание - ослабление.  
Развитие  политической  системы  опишем  уравнением: 
, 
где:   
-  степень  реакции  властей  на  отклонение  отобщественного    строя; 
вклад  правительства  в  строительство  основ  государственности;учет  инерционности  в  развитии, 
 -  усилия  людей  по  укреплению  политического  режима  за  счетэкономики .  
Степень  этих  усилий  определяется условиями  жизни, т.е. уровнемразвитости  экономики. 
-  поддержка  политической  системы  обществом,  легитимация  власти  (при  
достаточном  уровне  
Пассионарного  напряжения
  (P>P
1
)). 
Динамика  экономики  описывается  следующим  дифференциальным  уравнением: 
, 
где: 
-  усилия  людей  по  развитию  экономики  (чем  больше  Пассионарного  
напряжение P,  тем  более  действенны  эти  меры,  причем  на  начальном  этапе  эти    меры    сказываются 
отрицательно, так как  
<0, а далеепозитивно 
>0), 
-  ограничения  на  экономику, 
-  ограничения  на  экономику  (при   P>P
2 
накладываемые    традицией    и  
нормативным  порядком, и  некоторый  толчок (поддержка) в начале  развития (при P>P
2
 ). 
Динамику  социального  сообщества  опишем  следующим  уравнением: 
, 
где: 
   -  контроль  за  соблюдением  нормативного  порядка,  борьбагосударства    с 
преступлениями    против    порядка,  реститутивные    санкции,  кооперативное    право  (чем  сильнее  государство  и 
чем больше адаптация к окружающей среде (экономика),  тем сильнее контроль), 
-  потери  при  действиях  направленных  на  поддержкуавторитета    традиции, 
легитимации  устанавливаемого  нормативного  порядка  (при  достаточно    высоком    уровне   K   затраты  
незначительны), 
-  нормативный  порядок  требует  соотнесенности  с  этническимиобразцами;   сопротивление  
традиции; фундаментализм. 
Развитие  системы  поддержания  институциальных  этнических  образцов  опишем  уравнением: 

74
 
 
, 
где: 
-  контроль  за  образцами   поведения  (Политическая  система  решаетзадачи    по  
"эффективному  контролю  за  ...  индивидуальной    мотивацией    членов    общества" 
[20]
,   борьба    государства    с  
уголовными  преступлениями, репрессивные  санкции, уголовноеправо. 
- 
затраты 
на 
поддержание 
авторитета 
традиции, 
легитимации  
устанавливаемого  нравственного  порядка (при  достаточно  высоком  уровне  D  эти  затраты  минимальны), 
 - соотнесенность  с  нормативным  порядком. 
Таким  образом, мы  получили  систему: 
 
Исследование  системы. Проверка  на  наличие  бифуркации 
Для  исследования  полученной  системы  воспользуемся  алгоритмом  исследования системы   обыкновенных  
дифференциальных    уравнений  (на    наличие    бифуркаций    и  анализа    устойчивости)  приведенным    в    книге 
Б.Хэссарда. 
Исследуем  систему  (1)  при  помощи  теоремы  Андронова-Хопфа: 
 
Теорема. Пусть 
· = ( , ) 
-мерная  система  дифференциальных  уравнений              
(
),
 зависящая  
от  действительного  параметра   , которая  допускает  аналитическое  семейство х 0  состояний  равновесия, 
т.е.  
(0, ) = 0
. При  
= 0
 матрица  
(0, )
  имеет  два  чисто  мнимых  собственных  значения  ±iω
0.
 
Пусть  α( )+iω( ) является  продолжением  по  параметру  собственного  значения iω
0  
(т.е.  α( )=0, ω(
0)
= 
ω
0
>0) и  α´( ) 0.  Остальные  (n-2)  собственных  чисел  имеют  строго  отрицательные  вещественные  части.  
Тогда  существует  периодические  решения  х(t,
 
)  периода Т( ). 
В 
качестве 
параметра    
у 
нас 
выступает  
Пассионарное 
напряжение 
 
P.  
Пусть  k
GG
=K
EE
. Тогда в положении равновесия при P=0  матрица Якоби имеет следущие собственные числа: 
. 
Проверим  выполнение  условий  теоремы  Андронова-Хопфа. 
1) Собственные числа  
 комплексно  
сопряжены,   при 
. Выберем 
 так (предполагается, что 
 уже задана), чтобы бифуркация 
рождения цикла была при определенном уровне параметра 
  (обозначим его через 
). Тогда 
.  
 
 
Значит  все  условия  теоремы  Андронова-Хопфа  выполнены, P
0
 -  точка  бифуркации  рождения  цикла. 
Другими  словами,  при   P>P
0
система  теряет  устойчивость  прежнего  стационарного  равновесия,  и  появляется 
цикл в развитии общества. Закритичность бифуркации (т.е. появление  цикла при P>P
0
) следует из исследования 
устойчивости решения (см. далее). Заметим, что меняя коэффициенты, мы можем устанавливать определенную 
величину периода. 
Исследование  устойчивости  системы 
Устойчивость периодического решения определяется следующими условиями на коэффициенты: 
 
Таким  образом, мы  получили  условия ((3),(4) и (5))  на  коэффициенты  исследуемых  уравнений  при  
которых  решение  будет  устойчиво.  
Компьютерное  моделирование 

75
 
 
При  проведении  численного  исследования  параметр P (см. рис. 1) берем  из модели  этногенеза.
 
 
Рис.1. 
В  качестве P
0 
 берем    такое    значение  
Пассионарного    напряжения
   этноса  так,  чтобы    со    временем  
параметр  не  становился  меньше P
0
. 
 В  результате  мы  получили  график  решения  системы (1). 
 
Условия (3)-(5) выполнены.  
                                                  Устойчивость  социальной  системы
 
Предсказание  эволюции  общества  -  это  лишь  предсказание   состояния,  в  котором 
может
 пребывать 
общество.  В  нашем  случае  мы  предсказываем,  решая  систему  дифференциальных  уравнений.  В  какой  мере 
можно утверждать, что социальная система поведет себя именно так, а не иначе? Строя и исследуя модель, мы 
изолировались от внешних  воздействий  и  фиксировали  некоторое начальное состояние, которое, в принципе, 
нельзя  точно  получить.  Здесь  изначально  закладываются  неточности  и  погрешности.  Значит    необходимо  
установить    насколько  близки    к    одному    предсказанию  эволюционной  траектории  другие  возможные 
эволюционные траектории, которые получаются либо при закладывании несколько иных, но близких, начальных 
данных, либо при учете внешних воздействий на социальную систему. Также необходимо выяснить возможность  
изменения    коэффициентов    при  исследовании  модели,  то  есть  надо  посмотреть  устойчива  система    или    нет. 
"Саму  эволюционную  траекторию  можно  рассматривать    как   
равновесие
.  Переход    от    одной    эволюционной  
траектории    к    другой  -  это    смена  равновесий.  Непредсказуемая  смена    равновесий  -  это  бифуркация  или 
катастрофа.  Интуитивно    ясно,  что  социальная  система,  если    уж  и  подвергнется  бифуркации,  то,  "побродив" 
исторически  короткий отрезок времени, рано или поздно окажется  в  устойчивом  равновесии". 
Необходимо отметить, что вопросу о стабильности (устойчивости) общества уделяется большое внимание 
в социологии. Так, например, Парсонс пишет, что "термин <стабильность> эквивалентен более специфическому 
понятию  стабильного  равновесия,  которое  в  другом  отнесении  может  быть  как  статичным,  так  и  подвижным. 
Система  стабильна  или  находится  в  относительном  равновесии,  если  отношение  между  ее  структурой  и 
процессами,  протекающими  внутри  нее,  и  между  ней  и  окружением  таково,  что  свойства  и  отношения  ... 
оказываются неизменными". Также Т.Парсонс говорит о требовании наивысшей степени автономности общества 
среди других социальных систем, которые могут  реализовывать  различные  социальные  образования  в  разные  
исторические периоды. 
При  исследовании  системы  (1)  мы  установили  ,  что  появляется  цикл  в  развитии  общества  и  что  новое 
циклическое состояние общественного равновесия устойчиво (при определенных условиях на коэффициенты). 
Для  проверки  устойчивости  с  помощью  компьютерного  моделирования  будем  изменять  коэффициенты  и 
начальные данные  и посмотрим как изменится вид графика решения. На рис 2. изображено решение системы (1) 
в уменьшенном масштабе. 
 
 
Рис.2. 
 
Сначала 
"пошевелим" 
начальные 
данныена 
небольшую 
величину  
(
).  Видно,  что  общий  вид  решения  практически  не 
изменился (рис.3). Следовательно можно сделать вывод, что мы можем менять  начальные  условия  достаточно  
свободно. 

76
 
 
 
Рис.3. 
 
 
Рис.4. 
 
Изменив коэффициенты  правой части системы (1)  мы получили график, изображенный на рис.4. Решение 
ведет  себя  точно  так  же,  как  и  решение  исходной  системы.  Это  результат  говорит,  что  решение  устойчиво 
относительно возмущений правой части. Это дает возможность достаточно произвольно выбирать коэффициенты 
и при это получать разные  модели  социальных  систем. 
В  работе  исследована теория общества американского социолога Т.Парсонса. Исходя из нее, построена 
система  из  4-х  дифференциальных  уравнений,  описывающих  социальную  систему.  Система  исследована  на 
наличие  бифуркации  и  устойчивости.  Выяснено,  что  система  имеет  периодическое  решение  при  определенных 
значениях  параметра  (пассионарного    напряжения    этноса),  которое    устойчиво    при  некоторых  условиях  на 
коэффициенты. Компьютерное моделирование показало, что решение периодическое и устойчивое. Полученные 
результаты согласуются с социологической теорией. 
При    построении  математической  модели  социогенеза  и  проведении  ее  компьютерного    моделирования  
мы    исходили    из    теории  Т.Парсонса  и  теории  циклического  развития    экономической  и  политической  систем 
общества, сделанных Н.Кондратьевым
[13]
, Ю.Яковцом и др. Для доказательства работоспособности предложенной 
математической модели социогенеза  исследовали характер полученных кривых  K(t), D(t),G(t), E(t). Но  с  чем  
их    сравнить?    В  случае  этногенеза  А.К.Гуца  сравнивал    с    "экспериментальными    кривыми".  В  нашем    случае  
таких  кривых  нет. 
В    результате    построения  получилась  простейшая  модель  социальных  процессов  с  устойчивым 
периодическим решением. Считаем, что данный подход  на  современном  уровне  исследований  имеет  право  
на  существование.  
Список литературы 
1.Гумилев 
Л.Н. 
География 
этноса 
в 
исторический 
период.// 
Звезда, 
1990, 
N2.  
2.Гуц 
А.К. 
Глобальная 
этносоциология: 
Учебное 
пособие. 
- 
Омск, 
ОмГУ, 
1997.  
3.Гуц  А.К.,  Лаптев  А.А.  Рождение    циклов    в    развитии    политической    экономической    систем    вследствие  
ослабления  режимов  власти. // Циклы  природы  и  общества. -- Ставрополь, 1996.  
4.Гуц  А.К.,  Коробицын  В.В.  Компьютерное  моделирование  этногенетических  процессов.  //  Ученый    совет    мат. 
фак. ОмГУ. - Деп. в ВИНИТИ 24.09.97, N2903 -  
B97. - 23 c. 
5. Крапивин В.Ф., Свирижев Ю.М., Тарко А.М. Математическое  моделирование  
глобальных  биосферных  процессов. - М.: Наука, 1982.  
6.Лаптев А.А. Математическое моделирование этносоциальных процессов. //  
Ученый совет мат. фак. ОмГУ. - Деп. в ВИНИТИ 24.09.97, N2904 - B97. - 26 c.  
7.Посконин  В.В.  Социально-политическая    теория  Т.Парсонса:  методологический  аспект.  -  Ижевск:  Изд-во 
Удмурт. ун-та, 1994.  
8. Терехин М.Т. Бифуркация  систем дифференциальных уравнений: Учебное пособие к спецкурсу. - М., 1989.  
9. Яковец Ю.В. История  цивилизаций. - М.: ВлаДар, 1995.  
 
 

77
 
 
УДК 518.6+519.95 
ИНТЕРВАЛЬНО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ 
 
Юлдашев З.Х., Калханов П.Ж. 
 
Национальный Университет Узбекистана, Ташкент, 
Нукусский Государственный педагогический институт, Нукус 
ziyaut@mail.ru
, 
kalkhanov@inbox.uz
 
 
1.  Постановка задачи 
Проблема  недетерминированных  данных  встречается  при  решении  ряда  теоретических  и  практических 
проблем.  Особенно  эта  проблема  выпукло  возникает  при  моделировании  ряда  эколого-экономических  задач, 
поскольку  в  реальности  многие  показатели  процессов  определяются  либо  на  основе  трудно  проверяемых 
статистических  данных,  либо  являются  недетерминированными  по  смыслу  самой  задачи.  Как  правило, 
неопределённые  или  недетерминированные  по  смыслу  экономические  параметры  существуют  изначально  или 
априори,  либо  возникают  в  процессе  рассмотрения  процесса  в  рамках  выбранной  математической  модели. 
Например, такой важный показатель как цена товара, во многих случаях рассматривается с оговоркой “средняя 
рыночная  стоимость”,  об  инвестициях  приходится  говорить  с  оговоркой  об  их  нижнем  и  верхнем  пределах. 
Нередко  в  своих  прогнозах  экономисты  говорят  о  показателях,  что  они  могут  быть  достигнуты  с  той  или  иной 
вероятностью. В последнее время при решении задач с недетерминированными данными всё чаще применяются 
методы  интервального  анализа.  Эти  методы  позволяют  естественным  образом  отделить  детерминированные 
параметры  от  недетерминированных  уже  на  этапе  синтеза  математической  модели  и  оперировать 
недетерминированными  величинами,  а  именно,  интервальными  величинами  без  какой  либо  аппроксимации  в 
рамках  определённой  структуры  и  на  основе  подходящего  исчисления.  Как  следствие  сами  результаты 
получаются  в  виде  интервалов,  что  в  экономических  и  экологических  задачах,  как  правило,  имеет  довольно 
содержательные  интерпретации.  Например,  интервальность  прогнозируемого  экономического  показателя  цена, 
означает какую нижнюю и верхнюю границы, которые следует ожидать по цене на данный товар в указываемое 
время  либо  о  том  в  каких  пределах  будет  колебаться  такой  важный  показатель  как  прибыль.  Аналогично 
важными  и  интересными  для  теории  и  практики  являются  экологические  задачи,  где  необходимо  учитывать 
недетерминированные данные и исследовать процессы в допущении принадлежности параметров определённым 
промежуткам. В этой связи весьма 
актуальной является проблема синтеза математических моделей для эколого-
экономических задач, которые ниже названы сложными системами, с логически обоснованной интервальностью 
конкретной  величины,  разработка  и  обоснование  соответствующих  интервальных  алгоритмов  и  разработка 
соответствующего  программного  обеспечения
,  поскольку  модель  следует  разрешать  в  рамках  подходящего 
исчисления интервалов. Именно решению указанных проблем для некоторых задач экономического характера и 
задач экологии посвящена настоящая работа.  
Проблема  неопределенности  исходных  данных  и  необходимость  единовременного  учёта  различных 
источников  погрешностей  обусловила  развитие  математических  исследований,  методов  и  алгоритмов,  которые 
являются частью интервального анализа.  
При  синтезе  интервальных  моделей  сложных  систем  мы  придерживаемся 
принципа  рациональной 
интервализации  недетерминированных  параметров
.    Здесь  предлагается  все  параметры,  имеющие  тип 
натуральный, указывающие порядковые номера объектов, предполагать детерминированными, а характеристики, 
имеющие  точно  измеримые  вещественные  значения  также  считать  не  интервальными,  во  избежание  “эффекта 
раскрутки”[1]. 
Таким 
образом, 
принцип 
рациональной 
интервализации 
параметров 
можно 
сформулировать следующим образом: 
при синтезе математических моделей реальных процессов, интервальными 
считаются  только  параметры  с  ограниченной  амплитудой  колебания,  которые  возникают  как  неустранимые 
погрешности. 
Всюду ниже мы будем придерживаться системы  обозначений принятых в [2]. 
2.  Интервальные межотраслевые  балансные модели 
Леонтьева и Неймана 
Основной  вопрос,  возникающий  в  планировании  производства[3]  на  период 


0
,
T T
,  формулируется 
следующим  образом
:  при  заданном  векторе  конечного  потребления 
c
  требуется  определить  вектор  валового 
продукта 
x
.
 
Для описания интервального варианта модели Леонтьева сделаем следующие предположения. 
Пусть  сложившаяся  технология  производства  неизменна  в  течение  некоторого  промежутка  времени 


0
,
T T
,  где 
0
T
T

.  В  зависимости  от  постановки  задачи  промежуток 


0
,
T T
  может  быть  равен  одному 
календарному периоду (скажем, году) или нескольким. 
Второе  предположение  состоит  в  постулировании  свойства  линейности  существующей  технологии. 
Именно, будем считать, что для осуществления объема 
i
x
 валового выпуска продукции отрасли 
i
 необходимо и 
достаточно произвести затраты в объемах 
,
1,2,...,
i
ij
j
n

x a
, продукции всех 
n
 отраслей. 

78
 
 
С  учётом  предположения  об  интервальном  задания  части  или  всех  величин 
ij
a
-  задающих  объём 
продукции 
i
-й  отрасли,  требующийся  для  производства  единицы  продукта  отрасли  с  номером 
j
,  задача 
решения системы (1) может быть сведена к поиску множества 
 
1
2
( ,
,...,
) |
{
,
}
n
x
x x
x
X
x
Ax
c A
c







A,
c
. 
(1) 
Задачу поиска совокупности векторов 
X
 в соответствии (1) назовём 
интервальным вариантом модели 
Леонтьева. 
Другими словами, требуется решить систему уравнений 
 


x
Ax
c
, 
(2) 
при заданном векторе 
c
 и матрице межотраслевых связей 
A
. 
Уравнение  (2)  вместе  с  изложенной  интерпретацией  матрицы 
A
,    векторов 
x
  и 
c
  называется 
интервальной моделью Леонтьева.
 Система (2) решалась в рамках пакета интевальных алгоритмов, описанных в 
работе[4],  что  позволило      дать  для  полученных  интервальных  решений  дать  ряд  содержательных 
интерпретаций. 
В  отличие  от  модели  Леонтьева  межотраслевая  балансная  модель  Неймана  характеризует  динамику 
изменения сырьевых или финансовых потоков между рассматриваемыми отраслями. 
Для  описания  интервального  варианта  динамической  модели  Неймана  вводятся  необходимые 
определения[3]. 

жүктеу/скачать 12,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: