Сборник материалов IV международной научно-практической конференции «Роль физико-математических наук в современном образовательном пространстве»

42
 
 
УДК 532.685 
БІРФАЗАЛЫ СТЕФАН ЕСЕБІНІҢ САНДЫҚ ШЕШІМІ 
 
Мухамбетжанов С.Т., Шаждекеева Н.К., Кукенова А.С. 
 
Әл- Фараби атындағы ҚазҰУ,  Алматы қ., 
Х.Досмухамедов атындағы АМУ, Атырау қ. 
 
Бұл  жұмыста  фазалық  ауысуды  ескеретін  бірқалыпты  емес  фильтрацияның  бір  математикалық  моделі 
зерттелген.  Қарастырылып  отырған  моделдің шешімділігі  мен  уақыт  бойынша  периодты шешімнің  бар  екенділігі 
көрсетілген.  Алынған  нәтижелер  фильтрация  теориясының  қуыс  ортадағы  сұйықтардың  көптеген  шешілмеген 
мәселелерін  зерттеуге  мүмкіндіктер  береді. Шешімнің  сапалық  жағынан  алынған  қасиеттерінің  зерттелуі сандық 
жағынан зерттеуде алғашқы ақпараттық құрал ретінде пайдалануға болады.      
 
Су  қоймаларындадың  бетінің  қату  динамикасынның  моделін  құру  үшін  сұйықтық-қатты  зат  (су-мұз) 
фазалық  өтуіндегі  бірөлшемді  Стефан  есебін  қоямыз.  Мұздың  ішінде  температура  сызықты  деп  есептейміз. 
Математикалық көзқараста бұл проблема жылжымалы шекаралы жылуөткізгіш теңдеуін шешуге келтіріледі. Шешу 
үшін  “спрямление  фронта” [2] әдісі  қолданылады, ол теңдеуді  регулярлы облыста шешуге  мүмкіндік  береді.  Бұл 
түрлендірудің  нәтижесінде  жылуөткігіштік  теңдеуде  сандық  әдісті  таңдауға  әсер  ететін  конвективті  қосылғыш 
пайда  болады.  Қарастырылып  отырған  есепте  бірнеше  айырылымдылық  ссхеммалар  зертеледі:  айырымдары 
бағытталған айқын схема; айырымдары бағытталған айқын емес схема; даралау схемасы; Вабишевич-Самарский 
схемасы  [3].  Есептеулер  көрсеткендей  ең  эффективті  болып  табылатын  айқын  емес  схема  жане  Вабишевич-
Самарский  схемасы  –  абсолютті  орнықты,  олар  есептеулерді  уақытты  қадам  өлшеміне  шарт  қоймауға  мүмкіндік 
береді.Алдағы уақытта қарастырылған есепті екі өлшемді есеп жағдайына жалпылау жорамалданады. 
 
Есептің  қойылуы.  Фазалық  өту  температурасы  (қату  температурасы)  тұрақты  болатын  судың 
қатуын  қарастырайық.  Бір  жағынан  (x=0)  жазықтығымен  шектеген  облыста  (x>=0)  судың  массасын 
қарастырамыз. Бастапқы момент уақытында (t=0) су тұрақты температураға ие (
0
0

T
). Егер бет үстінде (x=0) 
барлық  уақытта  тұрақты  атмосфералық  температура  сақталатын  болса,  онда  қату  шекарасы  (x=s(t))  уақыт  өте 
сұйықтық ішіне қозғалады.  
 
Есеп сұйық фазада жылуөткізгіштік теңдеуін шешуге келеді.  
2
2
2
x
T
a
t
T
l
l





 
p
c
k
a


2
 
Мұндағы 
l
T
 - сұйықтық фазаның температурасы; 
 
 
k
 - жылуөткізгіштік коэффиценті; 
 
 
p
c
 - меншікті жылусыйымдылық; 
 
 

 - тығыздық; 
 
Физикалық  процестен  қатты  фазада  (
s
l
x 

0
)  температураның  таралуа  сызықты  заң 
бойынша 
)
(
s
a
f
a
s
l
T
T
x
T
T



 
s
a
f
s
l
T
T
x
T




 
s
T
 - қатты фазаның температурасы; 
s
l
 - қатты фазаның ұзындығы; 
 
Нәтижсінде шекарасы қозғалмалы жылуөткізгіштік теңдеуі үшін бірфазалық есепті бастапқы және 
шекаралық шарттарын аламыз. 
*
0
0
0
,
)
,
(
l
x
T
t
x
T
t




 
f
t
s
x
T
t
x
T


)
(
)
,
(
 
g
l
x
T
t
x
T


*
)
,
(
 
және қату шекарасында Стефанның қату шарты 

43
 
 
dt
ds
x
T
k
x
T
k
t
s
x
l
l
t
s
x
s
s









)
(
)
(
 
(
g
T
 - грунт температурасы, 
*
l
 - бастапқы ұзындық, 

 - айқын еес еру жылуы) 
 Бұл  есептің  қасиеті  бастапқы уақыт  мезетінде тек  қана сұйық фазаның  болуы. Уақыттың аз  мәндерінде 
қату шекарасы 
t
V
t
t
s
g
2
)
(




 
заңдыығы бойынша қозғалады деп есептейміз, мұндағы 

- [1] мен есептелетін тұрақты сан.  
 Есепті шешу әдісі. Бұл есепі шешу үшін “спрямление фронта” әдісі қолданылады, ол теңдеуді регулярлы 
облыста шешуге мүмкіндік береді.  
t
t 
,        
)
(
)
(
t
l
t
s
x 


, 
Мұндағы 
1
0



;       
)
(
)
(
*
t
s
l
t
l


 - сұйықтық толтырылған фаза ұзындығы. Осы ауыстырулардан кейін 
2
2
2
2










l
l
l
T
l
a
T
V
t
T
 
- 
аламыз.Нәтижесінде  
g
V
l
V
)
1
( 


 
коэффиецентілі конвективті қосылғыш пайда болады.  
 Мұндағы  
dt
ds
V
g

 
шекараның қозғалу жылдамдығы. 
 3. Айырымдылық схемалар. Бұл есепті шығару үшін бірнеше айырымдылық схемалар қарастырылды. 
 Бірқалыпты 

 бойынша тор құрамыз. Кеңістік қадамы 
N
h
/
1

, 
N
 - қадам саны. Уақыт бойынша 

 
қадамын таңдалынатын схемалардың орнықтылық шарты мен дәлдігіне  байланысты таңдаймыз. 
 3.1. Айқын айырымдылық схема.  
 a) аппрорсимация
)
(
2
)
(
2
)
(
)
(
2
)
(
1
1
2
2
1
1
2
2
1
h
O
h
T
V
V
T
V
T
V
V
T
V
h
O
h
T
T
T
T
O
T
T
t
T
k
i
k
i
i
k
i
k
i
k
i
k
i
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i




























 
 
 b) есептеу формуласы 
k
i
k
i
i
k
i
k
i
k
i
k
i
i
k
i
T
h
l
a
V
V
h
T
h
l
a
V
h
T
h
l
a
V
V
h
T
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
)
)
(
2
(
)
2
1
(
)
)
(
2
(



















, 
.
1
,...,
1


N
i
 
 3.1. Айқын емес айырымдылық схема.  
 a) аппрорсимация 

44
 
 
)
(
2
)
(
2
)
(
)
(
2
)
(
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
2
2
1
h
O
h
T
V
V
T
V
T
V
V
T
V
h
O
h
T
T
T
T
O
T
T
t
T
k
i
k
i
i
k
i
k
i
k
i
k
i
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i





































 
 b) уақыт бойынша үстінгі қабаттағы айырымдылы теңдеулер жүйесі 
k
i
k
i
k
i
i
k
i
k
i
k
i
k
i
i
T
T
h
l
a
V
V
h
T
h
l
a
V
h
T
h
l
a
V
V
h



















1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
)
)
(
2
(
)
2
1
(
)
)
(
2
(






 
.
1
,...,
1


N
i
 
 
3.3.Физикалық процесстерге ыдырату схемасы. 
 
1. Конвекция қадамы: 
 
a) аппрорсимация 
0
)
2
~
(
)
2
~
(
~






l
V
T
T
T
T
K
T
T
g
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i

 
Мұндағы K операторы 
)
)
2
(
)
2
((
2
1
))
2
(
)
2
(
(
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

















i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
U
V
V
U
V
V
h
h
U
V
U
V
h
U
U
V
KU
 
 
b) бірінші қадамдағы айырымдылық теңдеулер жүйесі 
1
,...,
1
,
~
~
~
~
~
~
~
1
1
1









N
i
F
T
B
T
C
T
A
k
i
i
i
i
i
i
i
                               (3) 
(3) жүйесі қуалау әдісі арқылы шешіледі. 
 
2. Диффузия қадамы: 
 
a) аппрорсимация 
),
2
~
(
~
1
1
i
k
i
i
k
i
T
T
D
T
T






 
мұндағы 
D
 операторы 
;
2
2
1
1
1
1
1
h
U
U
U
DU
k
i
k
i
k
i
i








 
 
b) екінші қадамдағы айырымдылық теңдеулер жүйесі 
).
~
~
2
~
(
2
)
2
(
2
~
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
1















i
i
i
k
i
k
i
k
i
i
k
i
T
T
T
h
l
a
T
T
T
h
l
a
T
T

;          (4) 
(4) жүйесі қуалау әдісі арқылы шешіледі. 
 
3.4. Конвекция қадамы айқын көрінетін Вабищевич – Самарский схемасы. 
 
1. Конвекция қадамы: 
 
a) аппрорсимация 
0
2
~




i
g
i
k
i
k
i
T
l
V
KT
T
T

; 
 
 b) есептеу формуласы 
k
i
i
i
k
i
g
k
i
i
i
k
i
T
V
V
h
T
h
V
T
V
V
h
T
1
1
1
1
1
)
(
4
)
2
1
(
)
(
4














, 
 
3. Дифузия қадамы (4) теңдеулер жүйесіне сәйкес шешіледі. 
Программа. 
program main 
integer,parameter::n=100 
real(8),parameter::Tn=5,Tg=0.1,Tf=0,Ta=-10,a=0.000448,lz=1,kl=4.2,ks=2.1,liam=0.1,ro=1 
integer i,j,m 
real(8) h,tau,V,t,l,x,st,dst,Ts,ld 
real(8),allocatable,dimension(:)::T0,T1 
allocate(T1(0:n)) 

45
 
 
allocate(T0(0:n)) 
h=1.000/n 
h1=h*lz 
tau=h*h/4.000 
t=tau 
do i=1,n-1 
T0(i)=Tn 
enddo 
T0(0)=Tf 
T1(0)=Tf 
T0(n)=Tg 
T1(n)=Tg 
m=5/tau 
do j=1,m 
st=a*sqrt(t) 
dst=a/(2*sqrt(t)) 
l=lz-st 
T1(1)=lz*h/kl*(ks*(Tf-Ta)/st-liam*ro*ds)+Tf 
T0(1)=lz*h/kl*(ks*(Tf-Ta)/st-liam*ro*ds)+Tf 
do i=2,n-1 
V=(i*h-1)*dst/l 
T1(i)=(-tau/(2*h)*(V-abs(V))+a*a*tau/(lz*lz*h*h))*T0(i+1)+(1-tau/h*abs(V)- 
2*a*a*tau/(lz*lz*h*h))*T0(i)+(tau/(2*h)*(V+abs(V))+a*a*tau/(lz*lz*h*h))*T0(i-1) 
enddo 
t=t+tau 
do i=1,n-1  
T0(i)=T1(i) 
enddo 
enddo 
ld=a*sqrt(t)/h1 
do i=0,ld 
x=i*h1 
Ts=Ta+x*(Tf-Ta)/(a*sqrt(t)) 
print*,x,Ts 
enddo 
do i=0,n 
x=i*h*(lz-a*sqrt(t))+a*sqrt(t) 
print*,x,T1(i) 
enddo 
end 
Алынған нәтижелер: 
 
 
 
 
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
1
7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109
Ряд1
Ряд2
Ряд3
Ряд4
Ряд5
Ряд6
Ряд7
Ряд8
Ряд9
Ряд10
Ряд11
Ряд12
Ряд13

46
 
 
Әдебиеттер тізімі 
1.  Даниэлян  Ю.С.,  Яницкий  П.А.    Особенности  неравновесного  перераспределения  влаги  при  промерзании  и 
оттаивании дисперсных грунтов   ТФЖ, 1983, № 1, т.44, с.91-98. 
2.  Калиев  И.А.,  Мухамбетжанов  С.Т.,  Разинков  Е.Н.    Корректность  математической  модели  неравновесных 
фазовых переходов воды в пористых средах// Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1989, вып. 93-94. 
3.  Мейрманов А.М. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986, 239с. 
4.  Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 
5.  Жумагулов Б.Т., Монахов В. Н.  Гидродинамика нефтедобычи. - Алматы : Казгос ИНТИ, 2001. – 336 с. 
 
 
ӘОЖ 514.15 
КЕҢІСТІК ФИГУРАЛАРДЫҢ КОМБИНАЦИЯСЫ ТУРАЛЫ ЗЕРТТЕУЛЕР 
 
Х.С.Құмарова 
 
Нұржау қазақ орта мектебі 
 
Кеңістік  фигураларының  өзара  қабаттасып  орналасуы  –  көпжақтар,  оның  ішінде  дұрыс  көпжақтар  мен 
шар  (сферамен)  немесе  айналу  денелері  –  цилиндр,  шар  (сфера),  конустың  өзара  қабаттасып  іштей  немесе 
сырттай сызыла орналасуы. 
 
Тетраэдр  –  барлық  қырлары  тең  болатын  үшбұрышты  пирамида.  Дұрыс  тетраэдрдың  жақтары  дұрыс 
үшбұрыштар, әрбір төбесінде үш қыры тоғысады. Шар деп берілген  нүктеден берілген қашықтықтан артық емес 
қашықтықта жататын кеңістіктің барлық нүктелерінен тұратын денені айтсақ, шар беті – сфера болып табылады. 
Кеңістік  фигуралары,  дұрыс  көпжақтың  бірі  –  тетраэдр  мен  айналу  денесі  –  шардың  комбинациясы  туралы 
мәселені қарастырайық.  
Гексаэдр  (куб)  –  барлық  қырлары  тең  тікбұрышты  параллелипипед,  оның  жақтары  –  квадраттар,  әрбір 
төбесінде қыры тоғысады. 
Қыры а – ға тең гексаэдрге (кубқа) іштей, сырттай сызылған шардың радиусын табайық. 
Шар центрі – гексаэдрдің диагональдың қимасының    
(тіктөртбұрыштық)   диагональдарының қиылысу нүктесі: 
АС
1 = 
а
3
  R = 
2
3
а
 cызылған шардың радиусы. r = 
2
а
   іштей сызылған 
шардың радиусы. 
 
Гексаэдрға іштей сызылған шар бетінің ауданы 
S
шар
 = 4П r
2  
= 4П 


4
2
а
Па
2  
 
S
шар 
= 4ПR
2
 = 4П 
2
2
3
2
3
Па
а










 
Vшар = 
2
3
2
3
3
3
4
2
3
3
4
3
4
3
3
3
3
Па
а
П
а
П
ПR












 
 Vшар = 
6
8
3
4
3
4
3
3
3
Па
а
П
Пr



 
 
Дұрыс тетраэдрге іштей және сырттай сызылған шардың радиусын табу қажет болсын. 
Берілгені: SABC тетраэдр,  қабырғасы – а 
 табу керек:  R.  r 
Шешуі: SO
1
 – тетраэдр биіктігі  
O – шар центрі  O
1
S – те жатады. 
Үшбұрыш АВС тең қабырғалы 
AN = 
2
3
а
        AO
1
 = 
3
3
а
 
(Планиметриядан үшбұрышқа сырттай сызылған 
 шеңбер радиусы) 
ОО
1
 = Х деп белгілейік 
D
1 
B
1 
S 
O 
N 
B 
A 
C 
O

47
 
 
АО
1
S үшбұрышынан   OO
1
=X=
R
а 
3
2
,  AOO
1  
 үшбұрышынан  AO
1
2
 = AO
2
 –  
OO
1
2
 
2
2
2
3
2
3
3



















R
а
R
а
  R
2 
- 
3
3
2
2
3
2
2
2
2
а
R
аR
а



 
Жинақтағаннан    соң        2
2
3
2
a
aR 
        бұдан      R  = 
4
6a
          бұл    қабырғасы  а  –  ға  тең  тетраэдрге 
сырттай сызылған шардың радиусы 
Дұрыс тетраэдрге  іштей және сырттай сызылған шардың центрі ортақ – О нүктесі. 
ОО
1
 = r = 
R
а 
3
2
        Ал  R = 
4
6a
    белгілі 
Бұдан      r = 
12
6
3
4
2
3
4
2
3
2
4
4
6
3
2
а
а
а
а
а
а





.        
Z=
12
6а
 - қабырғасы а-ға тең дұрыс тетраэдрге іштей сызылған шардың радиусы. 
Октаэдрдың  жақтары  –  дұрыс  үшбұрыштар  бірақ,  тетраэдрдан  айырмашылығы  оның  әрбір  төбесінде  4 
қыр тоғысады. 
АВСД – квадрат, О – центрі, ОС - 
2
2
2
 
үшбұрыш  SOD:   SO = 
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
a
OD
SD













 
SO = OD = 
2
2
а
      бұл қабырғасы  а-ға  тең октаэдрге сырттай сызылған шардың радиусы болатыны  
дәлелденді. 
Егер қабырғасы а-ға тең октаэдрге іштей сызылған шардың радиусы табылса 
Үшбұрыш АВС тең қабырғ, оған іштей сызылған дөңгелек радиусы 
r
1 = 
3
2
60
2
0
a
tq
а


Ек = r = 
3
2
a
, 
    ЕО = 
2
а
       үшбұрыш EKO – қарастырамыз 
ЕКО = 90
0
 
KO = 
3
3
48
16
48
12
4
4
3
2
2
2
2
2
2
2
2
а
а
а
а
а
а
ЕО
ЕК













 
ізделінді радиус     r = 
3
3
а
 
Октаэдрге сырттай сызылған шардың бетінің ауданы 
S
шар с 
= 4Пr
2
 = 4П 
2
2
2
2
2
Па
а










 
Октаэдрге іштей сызылған шар бетінің ауданы 
S
шар і 
= 4Пr
2
 = 4П 
2
2
2
3
4
3
4
3
3
Па
а
П
а












 
Vокт і = 
27
3
4
27
3
3
3
4
3
3
3
4
3
4
3
3
П
П
а
П
ПR












 

48
 
 
Vокт с = 
3
2
8
2
2
3
4
2
2
3
4
3
4
3
3
Па
а
П
а
П
ПR












 
 
1.  Шарға қыры √2 см куб іштей сызылған. Шар бетінің ауданын тап. 
а) 6
см ;             б) 8 см ;        в) 4√2  см ;             г) 4√6  см ;  
Кубтың диагоналі шардың диаметрі болады. 
2
R 
= √2 ∗ √3=√6 cм.  
R 
=
√
 cм. 
S
 = 4
(
√
)  = 4 ∗ = 6  см . 
Жауабы: а) 
 
2.  Дұрыс тетраэдрдің беті 12 3 см. Іштей сызылған конустің бетін тап. 
а) 3√6 см ;             б) 6 см ;        в) 4  см ;        г) 2√6  см ;  
S  =
( + );           =
   =
                                           
 = 12√3: 4 = 3√3см ;
a – 
қыры
√
а = 3√3                a = 2√3 см 
DE 
=  2√3 ∗
√
= 3 см            OE  =   
=    ∗ 3 =  1 см        S  =  ∗ 1 ∗
(1 + 3) = 4  см ; 
 
Жауабы: в) 
Кеңістік фигуралар 
комбинациясы 
 
R- сырт 
Z –іштей 
Сызылға
н шар 
ради. 
Шар 
бетінің 
ауданы 
Көлем-
дері 
 
Шар центрі 
Радиусы 
Түрі 
R, r 
Шар 
бетінің 
ауданы 
 
Көлемі 
Фигурал
ары 
комбина
ция-лы  
шар 
Көпжақ
тың 
атауы 
(қыры 
а-ға 
тең) 
Сырттай 
сызылға
н шар 
Гексаэ
дрге 
(куб) 
2
3
а
 
3Па
2 
2
3
3
Па
 
Гексаэдрдің 
ди
агональдың 
қимасының 
диагональд
ары 
қиылысу 
нүктесінің 
Центрде
н 
төбелері
не 
дейінгі 
қашықты
қ сырт. 
сыз шар 
радиусы 
Тең 
қабыр-
ғалы 
цилинд
р 
 
2Па
2
 
3
2
3
Па
 
Іштей 
сызылға
н шар 
2
а
 
Па
2 
6
3
Па
 
 
2
а
 
Па
2
 
6
3
Па
 
Сырттай 
сызылға
н шар 
Тетраэ
дрге  
4
6а
 
2
3
2
Па
 
8
6
3
Па
 
Тетраэдрді
ң биіктігіне 
және 
табанындағ
ы екі жақ 
бұрыш 
төбесінен 
қиылысы 
(о) нен 
өтеді 
Центрде
н 
көпжақт
ың 
жақтары
на  
түсірілге
н кесінді 
ұзынд. 
Ішт. 
сызыл. 
шардың 
рад.б/т 
Тең 
қабырғ
алы 
конусқ
а 
 
2
3
2
Па
 
27
3
4
3
Па
 
Іштей 
сызылға
н шар 
12
6а
 
6
2
Па
 
216
6
3
Па
 
 
9
2
Па
 
54
3
3
Па
 
Сырттай 
сызылға
н шар 
Октаэд
рге 
2
2
а
 
2Па
2 
3
2Па
 
Төрт қыры 
тоғысатын 
әр 
төбесінен 
бірдей R 
қашықтықт. 
нүкте 
 
 
 
Іштей 
сызылға
н шар 
3
3
а
 
2
3
4
Па
 
27
3
4
П
 
 
Сырттай 
сызылға
н шар 
Додека
эдрге 
24
11
61
а
 
258Па
2 
әр төбесінен бірдей  
R 
қашықтықтағы нүкте  
Тетраэдр центрі таб-ғы 
екіжақты бұрыштың 
бисс-н, қиылысу с/пен 
өтетін биіктігінің 
бойында орналасқан 
 
Іштей 
сызылға
н шар 
6
11
а
 
1,2Па
2 
 
 
 
 

49
 
 
 
3. 
Тік  параллелепипедтің  табаны  –  бұрышы 
 болатын  ромб.  Егер  параллелепипедтің  бүйір  беті 
S  
болса, берілген  параллелепипедке іштей сызылған цилиндрдің бүйір бетін тап. 
 
а) 
∗
;        б) 
∗
;   в) 
∗
;           г) 
∗
;    
 
 = 
AB
 = 
∗
 = 
h     OE = r       h= . 
 
 = 
 sin
 = 
=  
 
 
=  
 = 2
ℎ = 2 ∗
∗
=  
 
Жауабы: в) 
 
       Төртбұрышты дұрыс пирамиданың табанының қабырғасы 
а
-ға тең, 
ал  төбесіндегі  жазық  бұрышы 
ғғғ-ға  тең.  Іштей  және  сырттай  сызылған 
шарлардың радиустарын табыңдар. 
       AMNPQ – төртбұрышты дұрыс пирамидасы берілген. 
MN = 
a
;    
∆ 
=   ;    = ?,
= ? 
ABP – үшбұрышында 
AB = 
    онда 
h = AC = √
− 
=  
−
=  
 
Дұрыс  пирамидаға  іштей  сызылған  шардың  центрі  пирамиданың  АС 
биіктігінде  жатады.  Шардың  үлкен  дөңгелегі  ABD  үшбұрышында  іштей 
сызылады.  Сондықтан  пирамидаға  іштей  сызылған  шардың  радиусы  ABD 
үшбұрышына іштей сызылған дөңгелектің радиусына тең. ABD үшбұрышында 
AB = AD = 
  ,  BD =   онда  
 = 
∗
=  
 
 
r = 
=  
 : 
(
)
=  
 
 
Дұрыс  пирамидаға  сырттай  сызылған  шардың  центрі  пирамиданың  АС  биіктігі  арқылы  өтетін  осьте 
жатады.  Бұл  шардың  үлкен  дөңгелегі  АРМ  үшбұрышына  сырттай  сызылған  шардың  радиусына  тең.  АРМ 
үшбұрышында 
MA = PA = 
 ,   PM =   √2  
 = 
∗
=  
√
 
∗
=  
√  
∗
√
; 
R = 
=  
√  
∶  
√  
√
=  
 
∗ √
 
Жауабы:
ұ
з. б.,
 
∗ √
ұ
з. б.   
 
Төбесіндегі  жазық  бұрышы 
  болатын  үшбұрышты  дұрыс  пирамида 
радиусы R – шарға іштей сызылған. Пирамиданың биіктігін табыңдар.  
AMNB үшбұрышты дұрыс пирамидасы берілген. 
∠
=   ,
= ? 
Тең бүйірлі АОВ үшбұрышында АО = BO = R 
АОВ үшбұрышында 
A
=  A
+  B
−  2 ∗
∗
∗
∠
= 2
(1 −
∠
) = 
2
(1 + cos (2∠
)) = 2
∗ 2
∠
  онда АВ = 2
∠
   
 
∆
 нен 
=
2sin
 , ∆
 де 
=
√3
2
    ВС =  
√3
3
 
∆
 да  sin ∠
=  
=
√3
3
∶  
2sin
=  
2sin
√3
 

50
 
 
∆
 да h
= 
AC= AB*cos
∠
= 2 ∗
∠
 = 2R(1-
∠
)  
= 2R (1-
) 
Жауабы: 2R (1-
) ұз. бірл. 
Жазықтықтағы  геометрия-  планиметрия  курсында  денелері  өзара  орналасу  комбинациялары  және 
кеңістік денелері фигуралардың комбинациялары жөнінде есептер өмір қажеттілігінен туындап жатады.      
Бұл  мақалада  кеңістік  фигуралардың  арасындағы  қатыстарды  анықтауға  зерттеулер  мен  есептеулер 
жүргізілді  [3].  Көпжақтар  мен  айналу  денелерінің  іштей,  сырттай  сызылуы,  айналу  денелерінің  өзара 
комбинациясы, көпжақтардың өзара комбинациясы т.б зерделеп, мысалдармен түсіндірілді, зерттей қорытындысы 
кестелеп көрсетілді (1-кесте)[4]. 
 

жүктеу/скачать 12,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: