Семинар 8 Тартылыс күштері тақырыбына есептер шығару
жүктеу/скачать 82,1 Kb.
|
семинар 8 Тартылыс күштері тақырыбына есептер шығару
|
семинар 8 Тартылыс күштері тақырыбына есептер шығару 6. Бүкіләлемдік тартылыс заңы 6.1-есеп. Массалары m1 және m2 нүктелік емес екі дененің арасындағы өзара әрекеттесу күшін қалай есептеуге болады (2.33-сурет)? Бұл есепті жалпы түрде шығару өте күрделі мәселе, себебі бүкіләлемдік тартылыс заңы тек m1 және m2 массалардың белгілі мөлшерлері үшін ғана орындалады. Кері жағдайда m1 және m2 денелерді ∆mі нүктелік массаларының шексіз көп санына бөліп, сосын өзара әрекеттесу күштерін қосып шығу керек (жалпы жағдайда әуелі m1 массаны, сосын барып m2 массаны нүктелік массаларға бөлеміз) (2.33-сурет). Біртекті сфералық түрдегі денелер үшін есеп ықшамдалады. Бұл жағдайда шексіз күштердің шексіз көп санының қосындысы мынадай өрнекке алып келеді (2.34-сурет), яғни шардың барлық массасы О нүктесінде шоғырланған тәрізді болады. 6.2-есеп. Массасы m кішкентай шарик пен массасы М және ішінде сфералық қуысы бар үлкен шардың F өзара тартылу күшін табыңдар (2.35-сурет). Шешуі.1-мысалға сүйенеміз. d ≈ R, яғни М денені нүктелік және біртекті деп санауға болмайды (себебі сфералық қуыс кесіп алынған). Алдымен шарды бүтін деп, m массалы шариктің күшпен тартылатынын анықтаймыз, бірақ ол күшке мұндай қуыстың еш қатысы жоқ, ойша ол қуыс біртекті затпен толтырылған деп санаймыз. Оның массасы және ол массасы m шарикті күшпен тартады деп есептейміз. F1-ден F2-ні шегереміз, себебі бұл күш шындығында жоқ. Біздің жағдайымыз үшін ол күш бар және күштер бір түзудің бойымен бағытталады деп есептейміз. Сондықтан . . Келесі М және М’ массаларының қатынасын анықтайық. , болса, онда . Осыдан , . 3-мысал. Массасы М және қалыңдығы біркелкі жұқа сфералық қабықшаның ішіндегі массасы m0 нүктелік денеге әрекет ететін ішкі күш нөлге тең болатынын дәлелдеңдер. Шешуі. Массасы m0 денені қабықшаның ішіндегі кез келген нүктеге орналастырайық (сфераның центріндегі нүкте үшін өзара әрекеттесу күшінің нөлге тең болатыны анық). m0 нүкте арқылы бір-біріне кішкене α бұрыш жасай екі түзу жүргізейік (2.36-сурет). Олар қабықшадан m1 және m2 нүктелік массаларды кесіп алады. Кеңістікте қарайтын болсақ, бұл сызықтар төбесі m0 нүктеде болатын екі жіңішке конустың жасаушылары болып табылады. Сфераның осы алынған элементтерін жазық дискілер деп санауға болады, олардың диаметрлері d1 = R1α және d2 = R2α (α радианмен берілген аз бұрыш), ал қалыңдықтары << R1 және << R2. Сонда m1 және m2 нүктелік массалардың шамалары сәйкесінше: және . d1 және d2 –мәндерін ескерсек, онда . m0, m1 және m2 нүктелік массалардың арасындағы және өзара әрекеттесу күштерін жазамыз: . Осыдан , яғни мұндай қабықшаның ішінде гравитациялық күштерден «жасырынуға» болады, бірақ ол үшін тек қабықша басқа денелерден тым алыста болуы қажет. 4-мысал. Жерді біртекті шар деп санап, Жердің центріне дейін жететін радиал шахтадағы еркін түсу удеуінің қалай өзгеретінін табыңдар. Шешуі. m0 нүктелік массаны шахтада біртекті шардың центрінен х қашықтықта орналастырамыз. Біртекті шарды жұқа сфералық қабықшаларға бөлеміз (2.37-сурет). Сонда алдыңғы есептің шешіміне сай, жоғарырақ жатқан қабықшаларды шығарып тастауға болады, олар m0 массаға гравитациялық әрекет көрсетпейді. m0 массаны тек радиусы х сферадағы М’ масса ғана тартады. Шардың барлық массасы М, оның тығыздығы , онда . Сонда m0 массаға әрекет ететін күш немесе , осыдан , яғни тереңдік артқанда күш сызықтық заң бойынша кемиді екен. Осыған орай еркін түсу үдеуі тереңдіктің артуымен сызықтық түрде азайып, шардың центрінде нөлге айналады, яғни . Радиал шахтаның ішіндегі денеге әрекет ететін күштің Гук күшіне (F = kx) ұқсастығына назар аударыңдар, мұндағы қаттылық коэффициенті . Сөйтіп, диаметралды шахтаға түсірілген дене периоды немесе болатын гармоникалық тербелістер жасайды. Алынған формулаға Жердің тығыздығын қойсақ, онда , мұндағы . Жер бетіне жуық жерде дөңгелек орбита бойымен айналып жүрген Жер серігінің айналу периоды шахтада (H << R0) тербеліп тұрған дененің периодындай болады! 1-мысал. Дене потенциалдық шұңқырдан шығып кету үшін оған Жер бетіне жуық жерде қандай минимал жылдамдық беру керек? (Бұл жылдамдық екінші ғарыштық жылдамдық деп аталады, ол планетааралық ұшу кезінде қажет, 2.41-сурет.) А жағдайында зымыранның толық энергиясы: , ал В жағдайында v2 жылдамдықтың минималдық шарты vB = 0, ал RB → ∞ , яғни W2 = 0. Сонда , осыдан v2 = немесе v2 = , себебі g = G , яғни екінші ғарыштық жылдамдық бірінші ғарыштық жылдамдықтан есеге артық, демек, v2 = . 2-мысал. Радиусы R дөңгелек орбитамен қозғалып жүрген серіктің (2.42-сурет) W толық энергиясы мен оның Wk кинетикалық және Wp потенциалдық энергиясы өзара қандай қатынаста болады? Шешуі. 1. Серіктің кинетикалық энергиясы . Оның жылдамдығын Ньютонның екінші заңынан аламыз: . Теңдіктің екі жағын 2-ге бөліп, R-ге көбейтсек, онда кинетикалық энергия Wk = G . 2. Серіктің потенциалдық энергиясы . 3. Серіктің толық энергиясы W = Wk + Wp . Wk мен Wp мәндерін қойсақ, онда ; , яғни толық энергия теріс мәнге ие болады (серік тереңдігі потенциалдық шұңқырда тұр). Өрнектерді өзара салыстырсақ, онда Бұдан W = -Wk, екенін көреміз. Бұл өрнектерді күрделі есептерді шығарған кезде қолдану тиімді. Мысалы, орбитасының радиусы R болатын ауыр серіктен ұшырылатын зондты Күн жүйесінің планеталарын (Марсты, Юпитерді және т.б.) зерттеуге жіберу үшін оған қандай минимал жылдамдық беру қажет? Зонд ең әуелі тереңдігі болатын потенциалдық шұңқырдан шығу керек, яғни , мұндағы m0 – зондтың массасы, осыдан жүктеу/скачать 82,1 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|