Екі түйіндес санның қосындысы мен көбейтіндісі-нақты сан болады.
Комплекс сандардың қосындысына түйіндес сан олардың түйіндестерінің қосындысына тең
Комплекс сандардың айырмасына түйіндес сан олардың түйіндестерінің айырмасына тең.
Комплекс сандардың көбейтіндісіне түйіндес сан олардың түйіндестерінің көбейтіндісіне тең.
Түйіндес комплекс сандардың қасиеттері
Комплекс сандардың п-ші дәрежесіне түйіндес сан олардың түйіндесінің п-ші дәрежесіне тең
. Бөлімі 0-ге тең емес болатын екі комплекс санның қатынасының түйіндесі олардың түйіндестерінің қатынасына тең:
Жорамал бірліктің дәрежелері
Анықтама бойынша i санының бірінші дәрежесі- i санының өзі, ал екінші дәрежесі – 1 саны:
.
i санының жоғары дәрежелері келесідей табылады:
i4 = i3 ∙ i = -∙i2= 1;
i5 = i4 ∙ i = i;
i6 = i5 ∙ i = i2= - 1 и т.д.
i1 = i, i2 = -1
Кез-келген натурал n үшін анық
i4n = 1; i4n+1 = i;
i4n +2 = - 1 i4n+3 = - i.
Алгебралық формадағы комплекс сандардан квадрат түбірлерді алу.
Анықтама. w саны, егер оның квадраты z болса, z комплекс санының квадрат түбірі деп аталады:
Теорема. Егер z=a+bi –0- ге тең емес комплекс сан болса, онда квадраттары z-ке тең екі өзара қарама-қарсы комплекс сан бар.. Егер b≠0, онда екі сан былай өрнектеледі:
Комплекс сандардың геометриялық бейнесі.
z комплекс санына координа жазықтығында М(a, b) нүутесі сәйкес келеді.
Көбінесе жазықтықтағы нүктелердің орнына олардың радиус-векторлары алынады
Анықтама : z = a + bi комплекс санының модулі деп
М нүктесінен бастап координат басына дейінгі қашықтыққа тең теріс емес санды айтады
b
a
М (a, b)
y
x
O
φ
Комплекс санның тригонометриялық формасы
Мұндағы φ –комплекс санның аргументі,
r = - комплекс санның модулі
Тригонометриялық түрде берілген күрделі сандарды көбейту және бөлу
Теорема 1. Егер
және
онда:
б)
а)
Теорема 2 (Муавр формуласы).
z —0- ден өзге кез келген комплекс сан, п —кез келген бүтін сан. Онда
