Сызықтық емес теңдеудің сандық шешімі Жоспар



жүктеу/скачать 35,19 Kb.
Дата06.01.2022
өлшемі35,19 Kb.
#15509
Байланысты:
560acb47-bcf9-4652-96e9-017a5d6289ac


Сызықтық емес теңдеудің сандық шешімі

Жоспар:

  1. Хордалар әдісі

  2. Бағдарламаны Pascal тілінде орындау.


Хордалар әдісі
f x  0, f a 0, f b 0;

x0 a, xn1 xn b af xn /f b f a
  lim xn , n  0,1, 2,...,

n
Мысал 1 Теңдеудің түбірін аналитикалық әдіспен тап және олардың біреуін 0,001 дәлдікке дейін есептеу. x 3 –0, 2 x 2 + 0,5x +1,5=0

Шешуі: 1) f(x) = x 3 –0, 2 x 2 + 0,5x +1,5 белгілейік

  1. Теңдеудің түбірін Excel бағдарламасы арқылы табамыз:







A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

R

L

1

x

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

2













-

























f(x)

-131

-67,7

-28,8

8,3

-0,2

1,5

2,8

9,7

28,2

64,3

124

В2 ұяшығында – функция мәнін есептеу формуласы: = В1^3-0,2*В1^2+0,5*В1+1,5

Кестеден көріп отырғанымыздай теңдеудің бір түбірі бар: х1 1;0,


  1. Хорда әдісімен ε = 0,01 дәлдікте нақтылаймыз. Есептеудің барлығын Excel ортасында жүргіземіз.


Түбірді нақтылау үшін:

1.Бірінші және екінші ретті түбірді табамыз: f ΄(x) = 3x 2 – 0, 4 x + 0,5 , f΄΄(x) = 6 x – 0, 4;

2. Кестеден интервал ұштарындағы функциялардың таңбасын анықтайық. f(-1) = -0,2<0, f(0) =1,5>0


  1. 1;0, интервалдағы екінші ретті туындының таңбасын анықтайық, яғни f ΄΄(x) < 0

Сонымен, f(-1) ∙ f ΄΄(x )>0, -1 –интервалдың қозғалмайтын ұшы, ал 0– есептеудің бастапқы нүктесі ( екінші жағдай)




xn1 xn

f (xn )(a xn )

формуласын қолданайық, мұндағы а = -1,

ал f (а) = f (-1) = -0,2.




f (a) f (xn )


































Сонымен,

xn1 xn

f (xn )(1

xn )

xn

f (xn )(1 xn )

dxn

f (xn )(1 xn )




деп белгілейік.




 0,2  f

(xn )

0,2  f (xn )

0,2  f (xn )



























Есептеудің барлығын Excel ортасында жүргіземіз:
A

B

C

D

E

F

1

n

xn

f(xn)

1+xn

0,2+f(xn)

dxn

2

0

0

1,5

1

1,7

0,882353

3

1

-0,88235

0,216161

0,117647

0,416161

0,061108

4

2

-0,94346

0,010454

0,056539

0,210454

0,002809

5

3

-0,94627

0,000466

0,053731

0,200466

0,000125

6

4

-0,94639

2,07E-05

0,053606

0,20001

5,55E-06

В2 ұяшығында есептеудің бастапқы нүктесі орналасқан.

С2 ұяшығында – функцияның мәнін есептеу формуласы: = В2^3-0,2*В2^2+0,5*В2+1,5;
D2 ұяшығында мына формула орналасады: = 1+B2;

Е2 ұяшығында: = 0,2 + С2;


F2 ұяшығында–dxnесептеу формуласы: = С2۰D2/E2.

В3 ұяшығында: = B2 – F2.


Есептеуді жалғастыру үшінC2 – F2 жолдарын курсормен ерекшелеп алып, 3 жолға дейін тарту керек. Содан 3 жолды ерекшелеп алып, В бағанында үтірден кейін 3 сан қайталанғанша жалғастыра береміз. Бұл мына шарт орындалады дегенді білдіреді: | xn+1 - xn |< 0.001, есептеу процесін тоқтатуға болады және жауап ретінде B6 ұяшығындағы мәнді көрсетуге болады.

Pascal тіліндегі бағдарламадан үзінді:

x:=x0;
y:=y0;

whileabs(y-x)<=edo

beginr:=x-f(x)/(f(y)-f(x))*(y-x);x:=x-r;


r:=f(y)/f1(y);y:=y-r;

end;
Дөрекі жуықтаудың дәлдігін анықтайтын сандық әдіс итерация әдісі. Итерация “бірте-бірте тізбектеп жуықтауды” білдіреді. Итерациялық үрдісті орындау үшін теңдеудің анықтауға қажетті бастапқы жуықтау х0 мен Е дәлдігі берілуі керек.


Мысал 2.x 3 – 2 x 2 + 7x +3 = 0теңдеудің түбірін аналитикалық әдіспен тап және олардың біреуін 0,001 дәлдікке дейін есептеу.

Шешуі: 1) f(x) = x 3 – 2 x 2 + 7x +3 белгілейік

  1. Теңдеудің түбірін Excel бағдарламасы арқылы табамыз:







A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

R

L

1

x

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

2

f(x)

-207

-121

-63

-27

-7

3

9

17

33

63

113

В2 ұяшығында – функция мәнін есептеу формуласы: = В1^3-2*В1^2+7*В1+3 Кестеден көріп отырғанымыздай теңдеудің бір түбірі бар х1 1;0,

3)Итерация әдісімен ε = 0,01 дәлдікте нақтылаймыз.
Теңдеуді мына түрге келтіреміз х = φ(х) , | φ΄(х) | < 1 шарты орындалуы үшін, барлығы х1 1;0, Ол үшін:


    1. Туындысын тауып аламыз: f ΄(x) = 3x 2 – 4 x + 7;




  1. Туынды мәнін есептейміз: f ΄(-1) = 14, f ΄(0) =7




  1. Үлкенін таңдаймыз max[a;b]|f ΄(x)| = 14, олай болса k =10 деп аламыз;

  2. Функция мына түрде болады: φ(х) = х - f(x)/ k=

  • х - ( x3 – 2 x2 + 7x +3)/10 = х – 0,1x3 + 0,2 x2 – 0, 7x - 0,3




      • – 0,1x3 + 0, 2 x2 + 0,3x - 0,3

    1. Итерациялық шарттың орындалу процесін тексереміз, ол үшін:

φ΄(х) = – 0,3x2 + 0,4 x+ 0,3;

| φ΄(-1) | =| – 0,3(-1) 2 + 0,4 (-1) + 0,3| = 0.4<1 | φ΄(0) | =| – 0,3(0) 2 + 0,4 (0) + 0,3| = 0.3<1
6.Есептеудің алғашқы нүктесі үшін интервалдың кез-келген нүктесін аламыз: [-1;0], түбірді нақтылау
үшін мына формуланы пайдаланамыз: хn+1 = φ(хn).

Есептеуді Excel ортасында жүргіземіз.
A

B

C

1

n

xn

φ(xn)

2

0

0

-0,3

3

1

-0,3

-0,3693

4

2

-0,3693

-0,37848

5

3

-0,37848

-0,37947

6

4

-0,37947

-0,37958

7

5

-0,37958

-0,37959

В2 ұяшығында есептеудің алғашқы нүктесі.


С2 ұяшығында – функцияның мәнін есептеу формуласы φ(хn).:


  • -0,1*В2^3+0,2*В2^2+0,3*В2-0,3

В3 ұяшығына С2 ұяшығын көшіреміз . Есептеуді жалғастыру үшінC2 ұяшығын ерекшелеп, төмен тартса жеткілікті. Ерекшелеп тартуды | xn+1 - xn |< 0.001 дәлдікке жеткенше жалғастыра еруге болады.


Pascal тіліндегі бағдарламадан үзінді:

x:=(a+b)/2;l:=2/(max+min);

q:=abs(max-min)/(max+min);e1:=e*(1-q)/q;

repeat


r:=l*f(x);x:=x-r;k:=k+1;

untilabs(r)<=e1;



Бақылау сұрақтары:

  1. Хорда әдісінің бар болуы.



  1. Итерация әдісінің бар болуы.




  1. Итерациялық процестің жүру шарты




  1. Бұл әдістердің қателіктерінің бағасын қай формулалармен анықтайды?



Әдебиеттер:

  1. Вабищевич, П.Н. Численные методы: Вычислительный практикум / П.Н Вабищевич. –М.: Ленанд, 2016. -320 с;

  2. Демидович, Б.П. численные методы анализа. Приблеженный функций, дифференциальные и интегральные уравнения / Б.П.Демидович, И.А. Марон, Э.З.Шувалова. – СПб.: Лань, 2010. -400с.

жүктеу/скачать 35,19 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:



©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз
    Басты бет
Lessons
Curriculum vitae
Documents