Тақырыбы: Математикалық үғымдар

Математика ғылымы, басқа ғылымдар сияқты бізді қоршаган дүниені, табиғи жөне қоғамдық кұбылыстарды, олардың ерекше касиеттерін зерттейді. Мысалы, геометрия курсында заттардың баска қасиеттеріне көңіл аудармай (түсі, массасы, қаттылығы, т.б.) олардың формалары мен өлшемдерін қарастырамыз. Сондықтан геометрияда «зат» деген сөздің орнына «геометриялық фигура» деген сөз қолданылады. Сәуле, түзу, бұрыш, дөңгелек, шаршы - бұлардыщ барлығы геометриялық фигуралар. Олар жалпылама ұғымдар. «Сан» және «шама» сияқты маңызды үғымдар да абстракциялау (жалпылау) нәтижесі болып табылады. Жалпы, кез келген математикалык объектілер - бізді қоршаған дүниедегі заттар мен қүбылыстардың басқа қасиеттерінің ішінен сандық жөне кеңістік қасиеттерін беліп алу нәтижесі. Ендеше, математикалық объектілер геометриялық фигуралар, сандар, т.б. шындық дүниеде жоқ. Олардың барлығы қоғамның даму тарихы барысында пайда больш, адамның тек киялында өмір сүреді.

Бүған қоса математикалык ұғымдардың жасалуында сәйкес заттардың көптеген касиеттерін жалпылаумен катар, іс жүзінде ешбір затта жок қасиеттерді де меншіктеу болады. Мысалы, түзу деп аталатын математикалық объектіде нақты заттардың ұзыннан-ұзақ созылу қасиетімен бірге оның өмірде кездесетін заттардың арасьшда бірде-біреуі ие болмайтын екі жаққа да шексіз созылу қасиеті бар.
Ұғымның мазмұны мен көлемі

Кез келген математикалық объектінің өзіне тән белгілі бір қасиеттері болады. Мысалы, шаршының төрт қабырғасы өзара тең, барлық бұрыштары тік жөне диагональдары өзара тең. Шаршының бұдан басқа да қасиеттерін көрсетуге болады. Объектіні басқа объектіден айыра білу үшін оның қасиеттерін негізгі жөне негізгі емес қасиеттер деп бөлуге болады. Белгілі бір объектіге ғана тән және ол қасиетсіз сол объектіні анықтау (танып-білу) мүмкін болмайтын қасиеттер негізгі қасиеттер болып есептеледі. Негізгі емес қасиеттерге объектіні таньш-білуге епқандай өсер етпейтін қасиеттер жатады. Шаршының жоғарыда аталған ңасиеттері - негізгі ңасиеттер, ал «АВСВ шаршысының АС қабырғасы горизонталь» - деген қасиеті негізгі емес. Өйткені шаршы басқаша да орналасуы мүмкін.

Сондықтан берілген қандай да бір объектіні түсіну үшін, оның негізгі қасиеттерін білу жеткілікті. Бұл жағдайда объект туралы үғым-түсінік бар деп айтуға болады.

Объектінін, өзара байланысты барлық негізгі қасиеттерінің ж и ы н т ы р ы н осы объект туралы цгымның мазмцны деп атайды.

Математикалың объект туралы айтқанда бір ғана

сөзбен, терминмен түсіндірілетін барлың объектілердің

жиынтығы айтылады. Мысалы, үшбүрыш туралы айтқанда, үшбұрыш болып есептелетін барлық геометриялық фигуралар туралы айтылады. Барлың үшбүрыш тардың ж иы нты ғы үш бүрыш туралы үғымды

қүрайды.

Сонымен, кез келген үғым аталу терминімен, көлемімен және мазмүнымен сипатталады екен.

Үғымның мазмұны мен көлемінің арасында мынадай

байланыс бар:

Үғымныңкөлемі неғүрлым «артық» болса, оныдмазмүны соғүрлым «аз» болады. Мысалы, «тік бүрышты

үшбүрыш» үғымының көлемі «үшбүрыш» үғымының

көлемінен «кіш і», өйткені, алғашқы үғымның көлеміне

барлы қ үш бүрыш тар к ір м ейд і, тек тік бүрыш ты

үшбүрыштар ғана кіреді. Б ірақ «тік бүрышты үшбүрыш» үғымынын, мазмүны «үшбүрыш» үғымының

мазмүнынан «артық», яғникеңірек. Өйткені тік бүрышты үшбүрыш барлық үшбүрыштарға тән қасиеттермен

ңоса, өзіне ған а төн қосы м ш а қасиеттерге математикалық түрде математикалык үғымдарға өте бай. 1-

сыныптың өзінде окушылар «цифр», «сан», «қосылғыш », «қоеындьшыңмөні», «кесівді», т.б. үғымдармен

танысады. Сыньш жоғарылаған сайын мүндай үғымдардың саны артып, кецейе береді. Ендеше, болашақ

бастауыш сынып мүғалімі үғым туралы жоғарыда баяндалған мөселелерді білуге міндетті.

П .З . Ү гы м н ы ц ан ы ц т ам асы

Қандай бір математикалық объект үғымының мазмүны

осы объектінің көптеген негізгі қасиеттерін қамтиды.

Дегенмен, объект берілген ұғымның көлемінде болатындығын тағайьгадау үші.н, (яғни объектіні танып-білу

үшін) оның кейбір негізгі қасиеттерінін; бар-жоғын тексеру қажет. Объектіні тавъш-білу үшін жеткілікті болатын объектінің негізгі қасиеттері осы объект туралы

үғымнын, аяықтамасы деп аталады.

Жалпы, анықтама дегеніміз - үгымнмң мазмүнын аптатын логикальщ операция. Үғымды аньщтау жолдары өр

түрлі. Алдымен оларды айқын жөне аіщын емес деп белуге болады. Айңын анықтамалар екі үғымның дөлме-дөл

келетін тендігі формасында болады. Мысалы, тік бүрышты үшбұрыш бұл—бір бүрышы тік болатын үшбұрыш. Осы

анықтамадағы «тік бүрышты үшбұрыш» деген ұғымды а

арқылы, ал, «бір бұрышы тік» деген үғымды в арқылы

белгілесек, овда тік бұрышты үшбүрыш туралы аныңтама

мынадайтүрдеболады: «абүлв».

Айңын емес анықтамаларда екі үғымның дөлме-дөл

келу формасы болмайды. Мүндай анықтамалардың мысалы ретінде контекстуалды жөне остенсивті аньщтамаларды айтуға болады.

Контекстуалды анықтаілаларда жаца үғымның мазмұны мөтіннің үзіндісі арқылы ашылады, яғни нақты

жағдайда енгізілетін үғымның мағынасын сипаттайтын

контекст арқылы ашылады.

Айқын анықтамаларда екі үғым теңестіріледі. Олардың бірін аньщталушы, екіншісін анықтаушы үғым деп

атайды . Аы ы қтауш ы үғы м арқы лы , аны қталуш ы

үғымның мазмүны аш ылады. Мысал ретінде шаршы

аныктамасынық құрылымын талдайық: «Шаршы деп

барльщ қабырғалары тең болатын тік төртбүрышты айтам ы з». Мүнда алдымен, аныңталушы үғым - шаршы

көрсетілген, ал содан кейін анықтаушы үғым — оның

ңасиеттері көрсетілгеы: «Барлык қабырғалары тең болатын тік төртбүрыш» болуы.

«Тік төртбүрышты» болу қасиеті барлық шаршылар

тік төртбүрыш болатындығын, яғни «тік төртбұрыш»

туралыүғым «шаршы» үғымына қарағанда жалпылама

болып есептеледі. Ол анықтауш ы үғы м «шаршыға»

қатысты алғанда негізгі болып есептеледі.

Екінші қасиет — «барлық қабырғаларынық тең» болуы - ол шаршыны басқа тік төртбүрыштардан айыру

үшін көрсетілген сыртқы касиет.

Мектеп курсы математикасындағы басқа анықтамалардық күрылымы да тура осындай. Мүндай анықтамалардың қүрылымыы схема түрінде былай көсетуге

болады:

аньщтаушы үғым

Бастауыш курс математикасында мүндай түрдегі

анықтамалар берілетін үғымдар саны көп емес. Мүндай

анықтаманық көмегімен, мысалы, көбейту амалы анықталады: «Бірдей ңосылғыштардың қосындысын көбейту

деп атаймыз». Бастауыш сыныптарда көпшілік жағдайда үғымды анықтауда остенсивті және контекстуалды

анықтамалар қолданылады. Кейбір жағдайларда контекст! де және көрсетуді де қамтитын анықтамалар да

кездеседі. Мүндай анықтаманың мысалы ретінде тік

төртбүрыштық анықтамасын айтуға болады (2-сынып).

Мүнда тік төртбүрыштардық суреттері көрсетіледі де,

мынадай мәтін беріледі: «Бүл төртбүрыштардың барлық

бүрыштары т ік ». Ал тік төртбүрыштардың астында

«Бүлар - тік т өртбүр ыштар » деген ж азу келтірілген.

Тексеру сұрақтары:

1. Ү гы м ны ң ан ы ктам асы дегенім із не?

2 . Ү ғы м ды ан ы қтауды ң ж олдары ңандай?

3 . А й қы н а вы қ та м а н ы қ формасы ңандай?

4 . Айқы н емес анықтамалар бойынша үгым калай аныкталады ?

5. А й қы н ак ы қтам алар ды н қүры лы м ы қандай?

10
Жаттығулар:

№1 М ы на үғы м дарды н анықтамаларын тұж ырымда:

1) үшбүрыш; 2) кесін ді; 3) түзу; 4 ) трапеция.

Әр ү ғы м н ы ң ан ы қ та м а л а р ы н ы ң қ ү р ы л ы м ы н а т а л д а у

ж аса.

үғы м ды , н егізгі үғы м ды ж ене сы ртқы қасиеттерін аны қта:

1. «Е гер үш бүрыш тың ек і қабы рғасы т еқ болса, ол тең

бүйірлі үшбүрыш деп аталады ».

2 . «Ш еңбер деп берілген н үктеден бірдей қ аш ы қты қта

ж атқан ж азы кты қты н барлык нүктелерінен түраты н фигураны ай тады ».

3. «Егер ек ітү з у т ік бүрыш жасап қиы лы сса, олар перпендикуляр түзулер деп аталады ».

4 . «Т р ап ец и яны қ бүйір к а б ы р ғал ар ы ны қ ортасы н қосаты н кесін ді трапециянық орта сы зы гы деп аталады ».

№ 3 М ына үғымдар қалай анықталатындығын айтып бер:

1. Өрнек.

2 . Периметр.

3 . Б ір тацбалы сав.

4 . Т ік төртбүрыштын, қарам а-карсы қабы рғалары .

5 . Үш бүрыш .

П .4 . Ү гы м н ы ц анъщ т ам асы на цойы яат ы н

т алапт ар

Айқын анықтамалардық дүрыстығына баға беру үшін

үғымды аныңтау ережелерін білген дүрыс.

Бастауыш курс математикасындағы анықтамалардьщ көпшілігі тегі және түрлік айырмашылығы бойынша беріледі. Бүл төсілмен үғымды анықтау кезінде мынадай бірнеше талаптарды сақтау керек:

1. Аныкталушы және анықтаушы үғымдар бір-бірімен

өлшемдес болуы керек. Мысал ретінде «тіктөртбүрыш»

пен «төртбүрыштың» анықтамаларын алуға болады.

2. Анықтама беру ережелері түйыңңа тірелуге тиым

салуы керек, яғни үғымды онық езі аркылы немесе өз

11

кезегінде сол арқылы аныкталатын басқа бір ұғыммен

3. Анықтамада үғымның көлеміне тиісті объектіні -

бір мәнді ерекшелеуге мүмкіндік беретін барлық ңасиеттер көрсетілуі тиіс. Мысалы, сыбайлас бүрыштардың анықтамасы былай деп беріледі: «Сыбайлас бүрыштар деп - қосындысы 180°болатыы бұрыштарды айтады ». Б үл аныңтама сыбайлас бүрыш тарды басқа

бүрыштардан айыра білуге ж еткіліксіз.

4. Аныңтамада басы артың ештеңе болмауы тиіс, яғни көпсөзділік болмауы керек. М ысалы, тіктөртбүрыштың анықтамасында басы артық сөздер кездеседі.

5. Кейбір үғымдардық мүмкін болатын анықтамаларының біріы тандау кезінде кайсы анықтама жеңіл, табиғи немесе әрі қарай теорияны қүру мақсатына сөйкес

болатындығы басшылыққа алынуы керек. Мысал ретідце

параллелограмнық аыықтамаларые салыстыруға болады.

6 . Анықталушы үғым өмірде бар болуы қажет. Сонда

ғана анықтама логккалық түрғыдан алғанда дүрыс болады. Мысалы: «Доғал бүрышты үшбүрыш деп - барлық

бүрыштары догал үшбүрышты айтады». Бүл анықтама

жоғарыда аталған талапңа сай емес. Өйткені барлың

бүрыштары доғал болатын үшбүрыш жоқ.

Жаттығулар:

№ 1. В ер ти кал ь бүрыш тардың а н ы қтам асы н туж ы ры м да

ж ән е оны н күры лы м ы н ан ы қта.

№ 2. Т өм өн дегі б ер іл ген ан ы қ т а м а л а р д ы ң қ а й сы сы н д а

қате бар. М үм ків болса, кателерді түзет.

1. Үш бүры ш ты н б и ік тігі деп үш бүры ш ты н төбесіне қарсы

ж атқан қабы рғасы на түсірілген перпендикулярды ай тады .

2. Ш еқбердіқ ек і нүктесін қосаты н к есін д і хорда деп атал ады .

3. Параллелограмм дегеніміз - ңарама-қарсы ңабырғалары параллель тік төртбүрыш.

4 . Ш ар деп берілген нүктеден берілген қ аш ы қты қта ж ататы н к еқ іст ік т іқ барлық нүктелерінен түратын денені атайды.

12

№ 3. Бастауы ш сыныпта берілетін көбейтудің аныктамасын

№ 4. Б астауы ш сы ны п та геом етриялы к ф игураларды таны п-білуге берілген ж атты ғуларды ң м ысалдарын келтір.

Жаттыгулар:

Келесі есептерді шешіп, нақты заттыц моделі ретінде кандай геометриялык фигура алынғанын түсіндір.

5

1. Мектеп дөлізінің ұзындығы 50 м, ал ені 3 м . Дөліздің ауданы нешеге тең?

тарайды, жер сілкшісі 10 с ішінде қандай ауданды

қамтуы мүмкін?

3. Дүниеде мынадай геометриялық фигураларға ұңсас

заттарды ата:

І.Үшбүрыш 2. Тіктөртбүрыш. З.Кесінді. 4 . Параллель

түзулер. 5.Дөңгелек. б.Шеңбер.

Тексеру сүрақтары:

1. Кез келген объектінің қасиеттерін қалай деп бөлуге

болады?

айтамыз?

3 . Н егізгі емес қасиеттері деп ңандай касиеттерін

айтамыз?

4. Объектінің негізгі жөне негізгі емес ңасиеттеріне

мысалдар келтір.

5. Объект туралы түсінік немесе ұғым ңалыптасты деп

қай уакытта айтуға болады?

6. Үғымның мазмұны дегенді қалай түсінесің?

7. Үғымның көлемі дегенді қалай түсінесің?

8. Бастауыш сыыып математикасыыда кездесетін

бірнеше үғымды ата.

Жаттығулар:

№1. Үғымнық көлемі болып табылатын үш объект сыз:

1. Геометриялық фигуралар.

2. Тік төртбүрыштар.

3 . Үшбүрыштар.

№ 2. Мына үғымдардың н егізгі ж әне н е гізгі емес

қасиеттерін ата:

1. Үшбүрыш.

2. Тік төртбүрыщ.

3. Трапеция.

№ 3. Трапецияның төмендегі қасиеттерінің қайсысы

негізгі, ңайсысы негізгі емес қасиеттерге жатады:

1. Тралецияның қарама-қарсы ңабырғалары өзара параллель.

2. Трапециянын табандары горизанталь.

3. Тралецияның үлкен табанындагы бүрыштары сүйір.

4. Трапецияның диагональдары бір нүктеде қиылысады

жөне киылысу нүктесінде қақ бөлінеді.

№ 4. «Тік төртбүрыш» үғымының көлемі «шаршы»

үғымының көлемінен «артың» деген түжырым дүрыс

па? Осы үғымдардың мазмүнының арасында ңандай

байланыс бар? Түсіндір.