Экономикалық-математикалық модельдердің теңдеулер жүйесі

Экономикалық модельдерді құрудың маңызды әдіснамалық мәселелерінің бірі - мұндай модельдерді сипаттайтын теңдеулер - дифференциалды немесе ақырлы-айырмашылық.

Көптеген жеке шешімдер жүйелі түрде қабылданады (аптасына бір рет, айына және т.б.), экономист байқаған айнымалылар әр түрлі уақытта әртүрлі адамдар қабылдаған көптеген нақты шешімдердің нәтижесі. Сонымен қатар, көптеген экономикалық айнымалыларды бақылау аралықтары осы айнымалылар көрсететін шешімдер арасындағы аралықтардан едәуір үлкен. Бұл жағдайлар типтік экономикалық модельдің айнымалылары уақыттың үздіксіз функциялары ретінде қарастырылуы керек және мұндай модель дифференциалдық теңдеулер жүйесімен сипатталуы керек, ал модельдің деңгейі неғұрлым жоғары болса, соғұрлым ол ақиқатқа жақын болады.

Теориялық әдебиеттерде қарастырылған модельдердің көпшілігі, көп болмаса да, үздіксіз түрі болғанына қарамастан, қолданбалы экономикалық зерттеулерде модельдер әдетте ақырлы-айырымдық теңдеулер жүйесі түрінде ұсынылады. Бұл, өзгермелі шамалардың дискретті бақылауларынан стохастикалық дифференциалдық теңдеулер жүйесінің параметрлерін бағалаудың қиын болуымен түсіндіріледі. Алайда, мұндай бағаны алуға ешқандай кедергілер жоқ. Сонымен қатар, үздіксіз модельдердің параметрлерін бағалау үшін дискретті модельдердің параметрлерін бағалау үшін жасалған әдістерді сәтті қолдануға болады. Кәсіпорындарды басқару жүйесі неғұрлым қазіргі заманға сай болса (ACS TP, ICS) - жекелілік аз болған сайын, модельдің сенімділігі үздіксіз болып саналады.

Дифференциалдық теңдеулер түрінде экономикалық модельдерді ұсынудың пайдасына келтірілетін дәлелдердің бірі - экономикалық айнымалыларға үнемі бақылаулар болмаса да, осы айнымалылардың өзгеруінің траекториясын болжау үлкен мәнге ие болуы мүмкін.

Мысалы, фирма (кәсіпорын) басшылығының айтуы бойынша, оның өнімін өткізу көлемі елдің ұлттық табысына тығыз байланысты. Содан кейін сатуды болжау үшін ұлттық кірістің тұрақты өзгеру жолын болжау өте пайдалы, дегенмен бұл айнымалы тек жылына бір рет өлшенеді. Үздіксіз модель осындай болжамды өткен уақыт кезеңіндегі экономикалық ауыспалы бақылаулардан алуға мүмкіндік береді.

Тәжірибе көрсеткендей, ғылымда жасалынған модельдердің барлық арсеналын басқару шешімдерін қабылдау кезінде қолдануға болады - гипотезалар, визуалды аналогтар, диаграммалар, тапсырыс бойынша жазу, графикалық белгілер, балама схемалар, бағдарламалық шешімдер, өндірістік тәжірибе, өндірістік тәжірибені жалпылау, математикалық модельдер (аналогты, құрылымдық, сандық және функционалды-кибернетикалық), физикалық модельдердің барлық дерлік түрлері және т.б.

Бұл модельдердің әр түрлі типтері жиі немесе сирек қолданылады, шешімдер қабылдау мен бекітуге толық жауап беретін сызықтық менеджерлердің өзі немесе олардың функционалды көмекшілері құрастырады және зерттейді. Модельдердің кейбір түрлері көбінесе немесе тек бір ғана проблемалар тобын, мысалы, ұйымдастырушылық, басқаларын - проблемаларды шешу кезінде, мысалы, жоспарлау мәселелерін шешу кезінде және т.б. пайдаланғанда жиі қолданылады немесе басқа мәселелерді шешуде мүлдем қолданылмайды.

Жалпы алғанда, экономикада және басқару процесінде кеңінен таралған, атап айтқанда шешімдерді оңтайландыру кезінде бұл математикалық (немесе, әдетте, экономикалық-математикалық) модельдер - идеалды (ешқандай арнайы құрылғыларды пайдаланбастан салынған және зерттелген, тек адамның басы мен үстінде) қағаз) немесе физикалық (электронды құралдармен және ВТ арқылы сатылады).

Схема түрінде, басқарушылық шешімдерді оңтайландыру үшін қолданылатын экономикалық және математикалық модельдердің жиынтығының жіктелуі 2.1 суретте келтірілген. Басқару шешімдерін оңтайландыру үшін неғұрлым толық әзірленген және қолданылатын модельдер математикалық бағдарламалау модельдері болып табылады. Бұл модельдер белгілі бір функцияның экстремумын (объективті функция немесе қабылданатын шешім сапасының көрсеткіші) жүйенің шарттарында анықталған шектеулерге сәйкес келетін сандар жиынтығын (теңдеулердегі айнымалылар) таңдауға мүмкіндік береді.

Ерітінді сапасының көрсеткіші және жүйенің айнымалыларының функциялары сызықтық функция болып табылатын модельдер сызықты программалық модельдер деп аталады. Егер сапа көрсеткіші немесе кейбір функциялар сызықтық емес болса - сызықты емес бағдарламалау модельдері. Сызықты емес бағдарламалау өз кезегінде дөңес және дөңес болып бөлінеді. Дөңес программалау теориясында квадраттық бағдарламалау модельдері басқаларға қарағанда егжей-тегжейлі жасалынған, осыған байланысты модельдердің жеке тобы ретінде ерекшеленеді.

Физикалық мағынадағы теңдеулердегі айнымалылар дискретті шамалардың тек шектеулі санын ғана алатын бағдарламалаудың математикалық модельдері бүтін санды бағдарламалау модельдерінің тобын құрайды.

Егер математикалық бағдарламалау модельдеріндегі айнымалылардың бастапқы параметрлері белгілі бір шектерде өзгеруі мүмкін болса, онда мұндай модельдерді параметрлік бағдарламалау модельдері деп атайды.

Шартты экстремалды есептер олардың жағдайларында кездейсоқ параметрлер болған кезде шешілетін модельдерге стохастикалық бағдарламалау модельдері деп аталады.

Үлкен мәселелерге оңтайлы шешімдерді дәл немесе шамамен алуға мүмкіндік беретін модельдер аз айнымалысы мен шектеулері бар бірқатар мәселелерді шешу арқылы блоктық бағдарламалау модельдері болып табылады.

Динамикалық бағдарламалау математикалық бағдарламалауға да қатысты. Динамикалық бағдарламалау модельдері соңғы нәтижеге алдыңғы сатыдағы шешім нәтижесі әсер ететін және оған алдыңғы сатыдағы шешім нәтижелері әсер ететін жағдайларда оңтайлы шешім табуға мүмкіндік береді.

Басқару шешімдерін оңтайландыру процесінде математикалық графикалық теорияға негізделген модельдер де кеңінен қолданылады. Мұндай модельдердің белгілі бір түрі болып желіні жоспарлау модельдері табылады, олар қабылданған шешімдерді оңтайландыру кезеңінде де, оларды жүзеге асыруды ұйымдастыруда, орындалу мониторингінде қолданылады, яғни. басқару шешімі орындалғанға дейін барлық сатыларда қолданылатын көлденең модельдер. Желілік схеманы құру кезінде жұмыс уақытын дәл анықтау мүмкіндігі немесе мүмкін еместігіне байланысты желіні жоспарлау модельдері детерминистік және стохастикалық болып бөлінеді. Графикалық теорияға негізделген модельдеу сонымен қатар желілердегі көлік мәселелерін және осы теорияның экономикалық жұмыстағы басқа да қолданбаларын шешуді қамтиды.

Басқару шешімдерін оңтайландыру үшін балансты талдау әдістерінің модельдері де қолданылады, олар тікбұрышты кестелер болып табылады, оларда бағыттардың біреуі (көлденең немесе тігінен) өнімдер жиынтығын өндірумен айналысатын салаларды немесе бөлімдерді және құндылық туралы сандық мәліметтерді көрсетеді. олардың өндіріске қатысуы, ал басқа бағытта сол салалар немесе бөлімдер бірдей өнім жиынтығын тұтынушылар ретінде ұсынылған және олардың қажеттіліктері көрсетілген. Мұндай модельдер өндірістің жекелеген бөліктері арасындағы байланысты және өндіріс пен тұтыну арасындағы тепе-теңдіктің қажеттілігін ескеретін шешімдер қабылдауға мүмкіндік береді. Осы модельдерді қолданатын шешімдер өндірісті пропорционалды дамытуға бағытталған. Олар салааралық жоспарлау деңгейінде де, саланы немесе тіпті жеке кәсіпті жоспарлау кезінде де қолданылады.

Модельдердің аталған түрлері әдетте детерминирленген модельдер тобына тағайындалады, дегенмен олардың кейбіреулері математикалық статистика мен ықтималдық теориясының элементтерін пайдалануға негізделген есептеулермен байланысты болуы мүмкін, мысалы, стохастикалық бағдарламалау немесе стохастикалық желіні жоспарлау. Басқарушылық шешімдерді оңтайландыру үшін қолданылатын экономикалық және математикалық модельдердің тағы бір үлкен тобы - стохастикалық модельдер немесе ықтималдық теориясы мен математикалық статистикаға негізделген модельдер. Стохастикалық модельдерге корреляциялар мен регрессияларды талдау теориясының модельдері, дисперсиялық талдау теориясы, жаппай қызмет көрсету теориясы, статистикалық тестілеу әдістері, ойын теориясы, статистикалық шешімдер теориясы, ақпарат теориясы, сенімділік теориясы, жоспарлау теориясы, қор теориясы және т.б.

Бірінші кезең мәселенің тұжырымдалуына арналған. Қолданбалы (теориялық емес) зерттеудің негізгі белгілерінің бірі - зерттеушілерге (орындаушыға) проблема тудыратын, зерттеу нәтижелерін қолданатын және зерттеулерді қаржыландыратын адам немесе ұйымның жұмысына қатысу. Мұндай адам немесе ұйым әдетте тапсырыс беруші деп аталады. Зерттеуде сонымен қатар атау қолданылады: шешім қабылдаушы (DM). Әдетте, тапсырыс беруші көптеген проблемаларға кезігеді және олар жалпы түрде тұжырымдалады. Экономикалық процестерді зерттеудің бірінші кезеңінің мақсаты қазіргі кездегі экономикалық-математикалық әдістердің даму деңгейінде шешуге болатын тапсырыс берушілерді қызықтыратын мәселелерді табу. Экономикалық-математикалық модельдерді қолдану арқылы талданатын мәселелерді таңдау кезінде алдымен қолданбалы зерттеулерді мердігер модельдеуді қажет ететін объектілерді сипаттауға жарамды модельдерді тексергенде ғана жүргізуге болатындығын есте ұстаған жөн. Егер мұндай модельдер болмаса, алдымен сіз бізге қызығушылық танытатын объектілердің модельдерін құруды үйренуіңіз керек және бұл әдетте көп күш-жігерді талап етеді және жеткілікті ұзақ уақытты қажет етеді. Жоспарлау тапсырмаларының көпшілігінде тек құбылыстардың өндірістік және технологиялық жағымен ғана шектелу үшін стандартты математикалық модельдер жасалынған, сондықтан зерттеуші көбінесе мүмкін болатын модельдердің қайсысы оған қызығушылық тудыратын мәселелерді талдауға қолайлы екенін түсінуі керек.

Зерттеудің екінші кезеңі - зерттелетін экономикалық объектінің математикалық моделін құру және оны анықтау. Бұл кезең белгілі экономикалық модельдердің барлық жиынтығынан қолайлы модельді таңдау және осы модельдің параметрлерін зерттеу объектісіне сәйкес болатындай етіп таңдаудан тұрады. Модель параметрінің мәндерін таңдау процесі модельді сәйкестендіру деп аталады. Өндірістік функциялардың параметрлері технологиялық ақпаратты талдау және экономикалық көрсеткіштердің статистикасы негізінде таңдалады.

Әдетте, математикалық модель нақты объектілердің жұмыс істеу барысында пайда болатын барлық байланыстарды ескермейді, бұл өмірде жүзеге асырылмайтын шешім таңдауға әкелуі мүмкін. Бұған жол бермеу үшін модельге айнымалы шамаларға қосымша шектеулер енгізу керек. Мұндай шектеулерді салу кезінде тапсырыс берушінің білімі мен тәжірибесін толық пайдалану қажет.

Үлгіні құрудың келесі кезеңі - құрастырылған үлгіні зерттеу. Бірінші кезеңде тұжырымдалған және тұтынушы үшін экономикалық жүйені басқарудың ең қолайлы нұсқаларын таңдауда өндірістік және технологиялық процестерді талдауда тұрған мәселелерді шешудің модельдік әдісін таңдау қажет.

Экономикалық модельдерді талдаудың бірнеше негізгі әдістері бар.

Олардың біріншісі модельді сапалы талдаудан тұрады, яғни. оның кейбір қасиеттерін түсіндіруде. Сапалы талдау әдістері өте пайдалы болғанымен, мұндай зерттеу өте қарапайым үлгілерде ғана жүргізілуі мүмкін. Сонымен қатар, бұл әдістер әдетте жоспарлау тапсырмасына тек жанама түрде байланысты болады. Егер тұтынушы жүйені дамытудың әртүрлі нұсқаларын санай алатын өлшемді тұжырымдау мүмкін болса, онда оптимизация мәселесін шешу арқылы жалғыз оңтайлы басқару (басқару әрекеті) мен траекториясын таңдауға болады. Оңтайландыру туралы мәлімдеме келесідей. Жүйенің даму өлшемі формада болсын

С[х(t), u(t)] dt, (1)

мұндағы x - жүйенің шекті айырым күйінің векторы;

u - бақылау әрекеттерінің векторы;

Т - уақыт нүктесі.
T мәні көбінесе жоспарлау көкжиегі деп аталады. (1) критерийінің мәні неғұрлым көп болса, жүйені дамытудың бұл нұсқасы шешім қабылдаушыны қанағаттандырады. Критерийді тұжырымдағаннан кейін оңтайландыру мәлімдемесі келесі математикалық мәселеге дейін төмендейді: қабылданған шектеулерді қанағаттандыратын {u (t), x (t)}, 0 t  T жұптарының арасынан табыңыз, мысалы {u * (t), x * (t). } (1) өлшемінің ең үлкен мәніне жеткен кезде.

Әрі қарай есеп қолданбалы математика бөлімінің әдістерінің бірі - оңтайландыру әдісімен шешіледі. Нәтижесінде u * (t), 0  t  T бақылау әрекеті зерттелетін экономикалық объектіге ең қолайлы әсер ету ретінде шешім қабылдайды. U * (t) жалғыз оңтайлы басқару әрекетін таңдау үшін бірыңғай критерийді көрсету қажет. Кейбір жағдайларда бұл мүмкін емес. Сонымен қатар, бірыңғай критерий болған жағдайда да, оңтайландыру мәселесі әрдайым шешілмейді - модель заманауи оңтайландыру әдістері үшін тым үлкен немесе тым күрделі болып шығуы мүмкін. Экономикалық-математикалық модельдерді талдау үшін модельдеу әдісі де кеңінен қолданылады, соның негізінде оңтайландыру әдісін қолданумен байланысты кейбір қиындықтарды жеңуге болады. Модельдеу тәсілінде, жалпы айтқанда, зерттелетін объектінің дамуына критерий қою талап етілмейді. Оның орнына, уақыт u (t) функциясы түрінде немесе u (x) жүйесінің күй функциясы түрінде басқару көрсетіледі. Бұрын тұжырымдалған функцияларды дифференциалдық теңдеулер жүйесіне ауыстыру

X = f (x, u) (2)

бастапқы мәліметтермен x (0) = x0, біз жүйенің траекториясын құра аламыз. Егер бұл бұрын қабылданған шектеулерді бұзбаса, онда көрсетілген бақылау жарамды. Басқарудың бірнеше нұсқаларын алдын-ала тұжырымдап, әр опция үшін жүйелік траекторияны құрып, кейіннен таңдау үшін тұтынушыға ұсынуға болады. Бұл тәсілде бір критерийді қалыптастыру проблемасының орнына зерттеуде зерттелетін бақылау нұсқаларын таңдау мәселесі туындайды. Зерттеудің бұл әдісі вариантты есептеу әдісі деп аталады және өте үнемді емес. Жалпы жағдайда, математикалық модельмен эксперимент ретінде түсінілетін еліктеу экономикалық мәселелерді талдауға арналған қуатты заманауи әдіс болып табылады.