Теория и методика обучения математике

ал ьтер н а ти в ы : тези с и ан ти тези с. Затем п о к а зы в а е т с я
лож ность антитезиса, в итоге остается только тезис. М ож­
но не ограничивать число приним аем ы х во внимание воз­
можностей только двумя. Это приведет к последовательно­
му косвенному доказательству или доказательству через 
исклю чение. Оно прим еняется в тех случаях, когда извест­
но, что доказы ваем ы й тезис входит в число альтернатив, 
полностью исчерпы ваю щ их всевозмож ные альтернативы
данной области.
Д оказательство идет по простой схеме: одна за другой 
и ск л ю ч аю тся все в о зм о ж н о сти , кр о м е одной, к о то р а я
и явл я ется д оказы ваем ы м тезисом. В стан дартн ы х кос­
венных доказательствах альтернативы — тезис и антите­
зис — исклю чаю т друг друга в силу законов л оги ки . В р а з­
делительном доказательстве в за и м н ая несовместимость 
возм ож ностей и то, что ими исчерпы ваю тся все м ы сл и ­
мые альтернативы , определяю тся не логическим и, а ф а к ­
ти ческ и м и обстоятельствам и . Отсюда обы чн ая ош и бка 
раздели тельн ы х доказательств: рассм атриваю тся не все 
возможности.
Косвенное доказательство представляет собой эф ф ек­
тивное средство обоснования. Но, им ея с ним дело, необ­
ходимо все время сосредоточиваться не на верном п олож е­
нии, справедливость которого необходимо обосновать, а на 
ошибочных утверж дениях. Сам ход доказательства состоит 
в том, что из антитезиса, являю щ егося лож н ы м , вы водят­
ся следствия до тех пор, пока не получится утверж дение, 
ошибочность которого несомненна.
Косвенное доказател ьство — хорош ее орудие и ссл е­
д ован и я, но не всегда удачны й прием и зл о ж ен и я м ате­
риала. В п ракти ке преподавания нередок такой п арадок­
сальны й случай, когда после того, к а к косвенное д о к аза­
тельство проведено, ход его тут ж е забыт, в пам яти оста­
ется только доказанное полож ение. Имею тся так ж е более 
серьезные возраж ения против косвенного доказательства. 
Они связаны с использованием в нем исклю ченного треть­
его закона. К ак уж е говорилось, не всеми он признается 
ун иверсальны м , прим еним ы м в лю бых без и склю чен и я 
случаях. Найденное косвенное доказательство какого-то
137

утверж дения обычно удается перестроить в прямое дока­
зательство этого ж е утверж дения. Обычно, но не всегда.
О 
доказательстве в логике говорится много, об опро­
верж ении — только вскользь. П ричина понятна: опровер­
ж ение представляет собой к а к бы зеркальное отображение 
доказательства.
Опровержение — это рассуж дение, направленное про­
тив выдвинутого полож ения и имеющее своей целью уста­
новление его ошибочности или недоказанности. Наиболее 
распространенны й прием опроверж ения — выведение из 
опровергаемого утверж дения следствий, противоречащ их 
истине. Хорошо известно, что если даж е одно-единственное 
логическое следствие из некоторого полож ения неверно, 
ош ибочным будет и само это полож ение.
Д ругой прием у стан о вл ен и я н есостоятельн ости в ы ­
двинутого кем-либо полож ения — доказательство неспра­
ведливости от этого п олож ения. У тверж дение и его отри­
цание не могут быть одновременно истинными. Как только 
удается показать, что отрицание рассматриваемого поло­
ж ен и я истинно, вопрос об истине самого этого полож ения 
автом атически отпадает. Достаточно, например, показать 
одного черного лебедя, чтобы опровергнуть убеждение в 
том, что лебеди бывают только белыми.
Если положение выдвигается с каким-либо обосновани­
ем, операция опроверж ения мож ет быть направлена про­
тив обоснования. В этом случае надо показать, что приво­
димые аргументы ошибочны: вывести из них следствия, 
которые окаж утся в итоге несостоятельными, или доказать 
утверж дения, противоречащ ие аргументам.
Образование не только расш иряет зн ан и я, но и в опре­
деленной мере способствует развитию ум ения рассуж дать 
правильно. Тем не менее, примерно каж дое десятое ум оза­
клю чение, проводимое представителям и теоретического 
зн ан и я, явл яется, к а к говорят психологи, логически не 
вполне к о р р е к тн ы м . У чены е в своих д о к а за те л ь с т в а х
ош ибаю тся реж е, но все-таки ош ибаю тся. К ак правило, 
ош ибки обнаруж иваю тся благодаря тому, что сделанные 
заклю чения плохо согласуются с устоявш им ися представ­
лен и ям и об изучаем ом предм ете. Кроме того, большую 
роль играет свойственны й научному м ы ш лению к р и ти ­
138

цизм. Ни одно утверж дение, ни один вывод не приним аю т­
ся без многократной и разносторонней проверки.
О ш ибки в д о к азател ьствах м ож но р азд ел и ть на н е­
сколько видов.

жүктеу/скачать 5,92 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: