Тригонометрия

Кейбір тригонометриялық функциялар

жүктеу/скачать 400,62 Kb.

бет	3/3
Дата	30.06.2023
өлшемі	400,62 Kb.
	#103851

1 2 3

Байланысты:
Әдістемелік жинақ Тригонометрия туралы

Кейбір тригонометриялық функциялар.

Бастапқы кезден тригонометриялық функциялар тік бұрышты үшбұрыштағы қабырғаларының қатынастарымен байланыста болғаны белгілі. Олардың жалғыз аргументі сол үшбұрыштың бір сүйір бұрышы болып табылады.

Синус — қарама-қарсы жатқан катеттің гипотенузаға қатынасы.
Косинус — жанама катеттің гипотенузаға қатынасы.
Тангенс — қарама-қарсы жатқан катеттің жанама катетке қатынасы.
Котангенс — жанама катеттің қарама-қарсы жатқан катетке қатынасы.

Берілген анықтамалар функциялардың сүйір бұрыштарға (0-ден радиан) қатысты мендерін есептеуге арналған.

Тригонометриялық функциялардың графиктері.
Бірлік шеңбердегі бұрышына қатысты тригонометриялық функцияларды қарастырсақ (суретті қара):

бұрышының Синусы "A" нүктесінің ординатасы ретінде анықталады.
Косинус — "A" нүктесінің абсциссасы.
Тангенс — синустың косинусқа қатынасы.
Котангенс — косинустың синусқа қатынасы.

ТРИГОНОМЕТРИЯНЫҢ НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАРЫ

9, 10.
11, 12.
13, 14.
15,16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
_{33, 34.}
_35,36.
_37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
_69.
_70.
_71.
_72.
_73.
_74.
_75.
_76.
_77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90.

Келтіру формулалары.

І. Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру.
1) Есептеңіз:

Шешуі:

Жауабы: .

2)Есептеңіз:

Шешуі:

Жауабы: 1.

3) Есептеңіз:

Шешуі:

=

Жауабы: 1.

4) Есептеңіз:

Ш ешуі:
Өрнекті -ға көбейтеміз және бөлеміз. Сонан соң формуласын пайдаланамыз.

Жауабы: .

5) Есептеңіз:

Шешуі:

\
Жауабы: 1.

6) cоs 2α = m болса, sin⁶ α + cos⁶α =?

Шешуі:

Жауабы:

7) Дәлелдеңіз:

Шешуі:
Тепе –теңдіктің сол жақ бөлігін түрлендіреміз:

8) Өрнекті ықшамдаңыз:

Шешуі:

9) Тепе –теңдікті дәлелдеңіз:

Шешуі: Теңдіктің сол жағын қарастырамыз:

Тепе-теңдік дәлелденді.
10)

Шешуі:
Көбейтіндіден қосуға өту тепе-тең түрлендіруін жүргіземіз:

Жауабы:

11) Өрнекті ықшамдаңыз:

Шешуі:

=

=

A.o: -1

Жауабы:

ІІ. Тригонометриялық теңдеулер.

Тригонометриялық теңдеулерді шешудің әдіс-тәсілдері. Тригонометриялық теңдеулерді шешу екі кезеңнен тұрады: теңдеуді қарапайым тригонометриялық теңдеуге түрлендіру және алынған қарапайым тригонометриялық теңдеуді шешу. Тригонометриялық теңдеулерді шешудің бірнеше әдіс- тәсілдері бар:
1. Алгебралық тәсіл.
2. Көбейткіштерге жіктеу тәсілі.
3. Біртекті теңдеуге келтіру.
4. Көмекші бұрыш енгізу әдісі.
5. Көбейтіндіні қосындыға түрлендіру.
6. Универсал алмастыру.

1)Теңдеуді шешіңіз

Шешуі:
Келтіру формуласын қолданып,

теңдеуін аламыз.

Сонда 2у² – 3 у + 1 =0, бұдан у₁түбірлерін табамыз.
Осыдан екі жағдайда шешеміз:

Жауабы:

2) Теңдеуді шешіңіз: sin x + cos x = 1 .

Шешуі: Барлық мүшелерін теңдіктің сол жағына көшіреміз:

sin x + cos x – 1 = 0 ,
теңдіктің сол жағын түрлендіреміз:

3) Теңдеуді шешіңіз: cos ² x + sin x · cos x = 1.

Шешуі. cos ² x + sin x · cos x – sin ² x – cos ² x = 0 ,
sin x · cos x – sin ² x = 0 ,
sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

4) Теңдеуді шешіңіз: cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.
Шешуі. cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,
2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,
cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,
cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

Жауабы:

5) Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі.

6) Теңдеуді шешіңіз: 3sin ² x + 4 sin x · cos x + 5 cos ²x = 2.
Шешуі. 3sin ² x + 4 sin x · cos x + 5 cos ² x = 2sin ² x + 2cos ² x ,
sin ² x + 4 sin x · cos x + 3 cos ² x = 0 ,
tg ² x + 4 tg x + 3 = 0 , бұдан y ² + 4y +3 = 0 ,
бұл теңдеудің шешімдері: y₁ = -1, y₂ = -3, бұдан
1) tg x = –1, 2) tg x = –3,

7) Теңдеуді шешіңіз:

Мұндағы сондықтан екі жағын да

8) Теңдеуді шешіңіз

9) Теңдеуді шешіңіз: 2 sin 2x · sin 6x = cos 4x.
Шешуі. Сол жақ бөлігін қосындыға түрлендіреміз:
cos 4x – cos 8x = cos 4x ,
cos 8x = 0 ,
8x = / 2 + k ,
x = / 16 + k / 8 .
Жауабы: x = / 16 + k / 8 ,
10) теңдеуін шешіңіз.

Шешуі: A.o:

/ *

3 теңдеуін аламыз.

3(1- ;

;
2
;
D = 25, t₁= 3; ;

х

Шешімі жоқ, себебі -1 мәндерді қабылдайды.
Жауабы: х
11) Теңдеуді шешіңіз:

Шешуі:
А.о:
Мүмкін болатын екі жағдайды қарастырамыз:

Сонымен,

12) Теңдеуді шешіңіз:

Шешуі:

13) Теңдеуді шешіңіз:

Шешуі:

14) теңдеуін шешіңіз.

Шешуі:

Көбейткіштерді жеке-жеке нольге теңдеп аламыз.

х

х

15) теңдеуін шешіңіз.

Шешуі:

х
х

Жауабы: х

16) 4 теңдеуін шешіңіз.

Шешуі: 4 /

4 ;

4 ; D = 121;

t₁= 1; ;

Жауабы:

17) Теңдеуді шешіңіз:

Шешуі.
;
;
;

Жауабы:

18) Теңдеуді шешіңіз:

Шешуі.

/

sinx=t
6
D=36+24=60
;

ІІІ. Тригонометриялық теңдеулер жүйесі.

Тригонометриялық теңдеулер жүйесін шешуде тригонометриялық теңдеулерді шешуде қолданылатын әдістер және тригонометриялық формулалар қолданылады. Бірнеше мысалдар қарастырайық.

1)Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

Шешуі:

2) Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

Шешуі:
Екі теңдеуді бір-біріне қосып және азайтып:

:

3) Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

Шешуі:

4) Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

Шешуі:

ІҮ. Тригонометриялық теңсіздіктер.
Тригонометриялық теңдеулерді шешу кезінде алгебра курсынан белгілі теңсіздіктердің қасиеттерін, сонымен қатар тригонометриялық түрлендірулер мен формалаларды қолданамыз.тригонометриялық теңсіздіктерді шешуде бірлік шеңберді пайдалану да айтарлықтай тиімді. Бірнеше мысалдар қарастырайық.

Теңсіздікті шешіңіз: sin x > 0.

Шешуі: Егер бірлік шеңберін пайдалансақ 0 < x < . Енді периодын қосып жазамыз, синустың периоды 2 n :

Теңсіздікті шешіңіз: sin x > 0.5 .

Шешуі:
3) Теңсіздікті шешіңіз:

Шешуі:

3)Тригонометриялық теңсіздіктер жүйесін шешіңіз:

Шешуі: Бірінші теңсіздіктің шешімі:

Екінші теңсіздік tan x < 1 :

Екі теңсіздіктің шешімдерін біріктіреміз:

Жауабы:

Теңсіздікті шешіңіз:

Шешуі:

Бұдан, немесе

Боялған сектор соңғы теңсіздіктің жауабы болғанменен, тенгенс функциясының қасиетіне байланысты интервалдан
Жауабы:

Теңсіздікті шешіңіз:

Шешуі:

Жауабы:

Теңсіздікті шешіңіз:

Шешуі:

Жауабы:

Теңсіздікті шешіңіз:

Шешуі: Екі жағдай болуы мүмкін:

Жауабы:

Пайдаланылған әдебиеттер:

«Математика және физика» ғылыми әдістемелік журнал 2009-2013ж
«Тригонометрия» А.Х. Шахмейстер
«Справочные пособие по математике» А.Г.Цыпкин.
«Пособие для подготовки к единному национальному тестированию \ЕНТ\ по математике» Рустюмова И.П, Рустюмова С.Т
«ФизМат» ғылыми-көпшілік физика-математика журнал 2012-2013ж
«Тренажер для подготовки к единному национальному тестированию \ЕНТ\ по математике» Рустюмова И.П, Рустюмова С.Т.
«Математика» оқу – әдістемелек құрал, 2013ж
«Алгебра» 9-сынып оқулығы Әбілқасымова А, Корчевский В, Жұмағұлова З
«Математика» жоғары сынып оқушыларына арналған.

А. Е. Әбілқасымова, Р. Кудакова

«Математикадан таңдамалы есептер» С. Қаниев
«Математикадан ҰБТ-ге дайындаламыз» Қ. А. Бисембиев
«ҰБТ-ның жүз есебі» А. Қ. Жамалиева, Ж. К. Байманова

жүктеу/скачать 400,62 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3