Ту хабаршысы
жүктеу/скачать 15,98 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Е.А. Акжигитов, М.Ш. Тилепиев, Э.У. Уразмаганбетова, А.Б. Аруова
- О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ СТЕФАНА ПРИ НЕОГРАНИЧЕННОМ ВОЗРАСТАНИИ ВРЕМЕНИ Аннотация.
- Ключевые слова
Key words: modified Novikov-Veselov equation, Dirac operator, Mutard transformations, a new potentials for the Dirac operator.
УДК 517.958
Е.А. Акжигитов, М.Ш. Тилепиев, Э.У. Уразмаганбетова, А.Б. Аруова (Казахский агротехнический университет имени С.Сейфуллина, Астана, Республика Казахстан)
среде. В задачах изотермической фильтрации рассматривается две зоны и разделяются несмешивающиеся жидкости подвижным фронтом. В статье показано, что при определенных условиях гладкости сформулированная задача имеет единственное классическое решение на достаточно малом интервале времени, а также выясняются условия на данные задачи, при которых найденное решение продолжимо на произвольный интервал времени. Ключевые слова: задача Стефана, принцип максимума, неизотермическая фильтрация.
Математическая постановка задачи о вытеснении одной жидкости другой в пористой среде представляет собой усложненный вариант задачи Стефана. В задачах изотермической фильтрации часто рассматриваются две зоны и несмешивающиеся жидкости разделяются подвижным фронтом . ) (t R Особый интерес вызывает тот случай, когда через уравнение массопереноса в насыщенных пористых средах и известный расход жидкости определяется неизвестная граница . )
R В частности, фильтрация тяжелой сжимаемой жидкости в вертикальной пористой галерее исследована Мейрмановым А.М. в работе [1]; для линейных уравнений в автомодельной постановке подобная задача рассмотрена в [2], где решение получено в конечном виде; моделирование фазовых переходов при неизотермической фильтрация сжимаемой жидкости исследовано в [3], в которой доказаны теоремы существования и единственности гладкого решения. Пусть в пористую среду через границу 0
нагнетается вытесняющий агент. Тогда в пористой среде образуется две зоны фильтрации, разделенные подвижной границей
) ( 0 : ) ( t R x t R первая зона фильтрации вытесняющего агента;
0 ) ( x x t R вторая
зона, в которой фильтруется вытесняемой агент. Распределение давления P , плотности ,
скорости фильтрации
подчиняются уравнению неразрывности, закону Дарси. В дальнейшем изложении необходимы следующие теоремы о существовании и качественных свойствах решений линейных параболических уравнений второго порядка. Рассматривается ограниченная область c R n границей S класса
2
H (определение этого класса и класса 2
для специалистов дифференциальных уравнений в частных
● Физика–математика єылымдары
ЌазЎТУ хабаршысы №5 2014 383
производных являются стандартными и можно найти, например, в [1]). В области ) , ( T O T ищется решение ) , ( t x u уравнения
), , ( t x f u L (1) где
L параболический оператор второго порядка, удовлетворяющий на границе ) ,
T O S S T одному из краевых условий:
), , ( t x Ф u T S (2)
),
( t x Ф Bu T S (3) где
B линейный дифференциальный оператор первого порядка, и начальному условию:
). (
x u t (4)
Предположим, что оператор L равномерно параболический в области T . Теорема 1. Пусть 0 l нецелое число, коэффициенты оператора принадлежат классу ) (
/ ,
l l H , а
граница
S классу
2 l H .
Тогда
при любых
) ( ) ( , ) ( 2 / ) 2 ( , 2 2 2 / , T l l l T l l S H и H H f , удовлетворяющих условию согласования порядка
, 2 / 1 l задача (1), (2), (4) имеет единственное решение класса ) ( 2 / ) 2 ( , 2 T l l H . Для
него справедливо неравенство:
) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( (
S l l l T T T f C u .
Теорема 2. Пусть
, так же, как и в теореме 1, коэффициенты оператора принадлежат классу ) ( 2 / ) 2 ( , 2 T l l S H . Тогда при любой ) ( 2 / ) 2 ( , 2 T l l S H , удовлетворяющей условиям согласования порядка , 2 / ) 1 ( l задача (1), (3), (4) имеет единственное решение ), ,
x u причем
) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( l S l l l T T f C u .
Постановка задачи. Пусть тяжелая сжимаемая жидкость занимает область )} ( 0 { ) ( t R x x t , в которой скорость V , давление P и плотность ) (
) (
f P f - заданная функция) удовлетворяют уравнению неразрывности и закону Дарси
, 0
( x t m (5)
. x P k (6) ● Физико–математические науки
№5 2014 Вестник КазНТУ 384
В (5), (6)
0 const m пористость грунта,
0 const k коэффициент проницаемости грунта, 0
вязкость фильтрующейся жидкости. На свободной границе ) (t R x
,
dt dR m
, 0
P P H (7)
где
H P - давление насыщения. При 0
задан расход массы:
). (t (8) Кроме того в начальный момент времени известно положение свободной границы и распределение давления:
). 0 ( ), ( ) , ( , 0 ) 0 ( 0 0
x P o x P R R (9)
Без ограничения общности постоянные H P k m , , , можно положить равными единице и 1 ) ( P f , если
) 1 ( 1 ) ( , 1 P p f p , если 1
, где 0 const . Тогда в области } 0 ), ( 0 ) , {( T t t R x t x T давление 1 )
(
x P и из уравнения (5), (6) легко получить относительно давления ) , ( t x P следующие уравнения:
. ) , ( ), ) ( ( ) ( T t x x P P f x t P P f (10) Из (7) следует, что давление ) ,
x P на свободной границе удовлетворяет двум условиям:
). , ( ), ( , , 1 T O t t R x x P dt dR P (11) Кроме того из (8) получим на известной границе 0
при ) , ( T O t
) (
( t x P P f , (12)
а в начальный момент времени выполняется условие (5). Ниже показывается, что при определенных условиях гладкости сформулированная задача имеет единственное классическое решение на достаточно малом интервале времени, а также выясняются условия на данные задачи, при которых найденное решение продолжимо на произвольный интервал времени. Далее используя преобразование Г. Дюво:
, ) ( ) , ( 1 P dS S f t x U (13)
● Физика–математика єылымдары
ЌазЎТУ хабаршысы №5 2014 385
исходная задача (9)-(12) переформулируется в эквивалентную краевую задачу:
, ) ( 2 2 x P P a t U (14)
где . ) ( ) ( P f P a Соответственно условия (11) и (12) записываются следующим образом: на свободной границе функция ) , ( t x U удовлетворяет
) , ( ), ( , , 0 T O t t R x x U dt dR U , (15)
0
при )
( T O t
) (t x U . (16)
Кроме того, в начальный момент времени
, 0
0 ( ) 0 ( ), ( ) , ( 0 0
R x x U o x U (17) где .
( ) ( 1 ) (
O P O dS S f x U
Далее, достаточно показать положительность функций ) , ( t x U в области T и установить ограниченность величины
) 1 ( ) (
U T J O
с некоторым ) 1 , 0 ( . В самом деле, если ) (T J O , то на верхней крышке } {
t области T функция ) , ( ) ( ~ T x U x U O принадлежит классу, следовательно, решение продолжимо на интервале с некотором положительным . Положим ). ) ( , ) ( max(
) 2 ( ) 0 ( ) 1 ( ) . 0 [ 2 x U t M O
Лемма 1. Пусть функция ) (t неотрицательна в области T и ) (x U O положительна в области
) , ( T x U (14) – (17) справедливы оценки
), )
exp( ) ( ) , ( 0 2 2 2 1
M N M N t x U (18)
, 0
), ( ( ) ( ) ( ) 0 ( 2 3
t R x U K U M N YT (19)
|