Ту хабаршысы

● Физико–математические науки

  

 

№5 2014 Вестник КазНТУ  

          

358

 

,

,

1

,

)

(

)

,

(

)

,

(

n

k

t

t

k

k

















 

 

 

 

(9) 

 

где 

)

,

(



t

k



-  определитель,  полученный  из 

)

(





  заменой 

k

-  ой  строки    фундаментальной 

системой  решений 

)

,

(

),...,

,

(

1





t

y

t

y

n

  уравнения 

0



y

L



.  Из  (9)  для  граничных  функции 

n

k

t

k

,

1

),

,

(







  с  учетом  (4),  (8)  получаем  следующие  асимптотические  при 

0





 

представления: 

























∫

)

(

1

exp

)

0

(

)

(

)

(

)

(

)

0

(

)

,

(

0

,

1

0

10

)

(

21

,

1

1

,

2

)

(

1

t

m

m

j

n

j

m

j

m

m

j

dx

x

t

t

y

t

t























 

1

,

0

,

)

(

1

exp

0

1











































n

j

dx

x

O

t

j

m









  

 

 

(10) 













































t

k

m

m

j

n

j

m

k

j

k

j

k

dx

x

t

t

y

t

t

0

10

0

,

1

0

1

10

)

(

1

,

1

)

(

)

(

1

exp

)

0

(

)

(

)

(

)

1

(

)

(

)

,

(















n

k

n

j

dx

x

O

t

j

m

,

2

;

1

,

0

,

)

(

1

exp

0

1





















































 

 

Для  граничных  функций 

n

k

t

j

k

,

1

),

,

(

)

(







    с  помощью  (10)  имеем  следующие 

асимптотические при 

0





 оценки: 

 

                                         

1

,

0

,

exp

)

,

(

)

(

1





































n

j

t

C

t

j

m

j











,                          

(11) 

,

exp

1

)

,

(

)

(









































t

C

t

j

m

j

k

n

k

n

j

,

2

;

1

,

0







 

 

Решение задачи (1), (2) будем искать в виде [2]: 

 















t

n

n

ds

s

z

s

t

K

t

С

t

С

t

y

0

1

1

)

,

(

)

,

,

(

1

)

,

(

...

)

,

(

)

,

(













 , 

 (12)

 

где 

n

i

C

i

,

1

,



  неизвестные  постоянные,  а 



)

,

(



t

z

неизвестная  функция,  определяемая  из 

следующего интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода: 

 













1

0

1

)

,

(

)

,

,

(

)

,

(

)

(

)

,

(

ds

s

z

s

t

H

t

C

t

F

t

z

k

n

k

k











.                                   (13)

 

 

Здесь  

n

k

dx

x

x

t

H

t

i

k

m

i

i

k

,

1

,

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

(

1

0

1

0



















, 









1

1

0

)

(

)

,

,

(

)

,

(

1

)

,

,

(

s

m

i

i

i

dx

s

x

K

x

t

H

s

t

H







   

 

 

       (14) 

Пусть 

VI. Число 

1





 не является собственным значением ядра 

)

,

,

(



s

t

H

. 

Тогда интегральное урванение (13) имеет единственное решение, представимое в виде: 

)

,

(

)

,

(

)

,

(

1









t

C

t

F

t

z

k

n

k

k









,          

                           

   (15) 

где 

● Физика–математика єылымдары 

 

ЌазЎТУ хабаршысы №5 2014  

 

359







1

0

)

(

)

,

,

(

)

(

)

,

(

ds

s

F

s

t

R

t

F

t

F





, 









1

0

,

1

,

)

,

(

)

,

,

(

)

,

(

)

,

(

n

k

ds

s

s

t

R

t

t

k

k

k















,                      

      (16) 

 

 

 

а 



)

,

,

(



s

t

R

  резольвента  ядра 

)

,

,

(



s

t

H

.  Поставляя  (15)  в  парвую  часть  (12)    получим 

решение задачи (1), (2) в виде: 

)

,

(

)

,

(

)

,

(

1







t

P

t

Q

C

t

y

k

n

k

k









,  

 

 

 

(17) 

 

где 









t

k

k

k

ds

s

s

t

K

t

t

Q

0

)

,

(

)

,

,

(

1

)

,

(

)

,

(













, 





1

0

)

,

(

)

,

,

(

1

)

,

(

ds

s

F

s

t

K

t

P









    

 (18) 

 

Теперь  определим  неизвестные  постоянные 

k

C

  так,  чтобы  функция 

)

,

(



t

y

,  определяемая 

формулой  (17),  удовлетворяла  краевым  условиям  (2).  Тогда  имеем 

l

i

a

C

i

i

,

1

,





,  а  для 

определения 

n

l

i

C

i

,

1

,





 получаем систему алгебраических уравнений 















































































)

(

)

(

))

(

1

(

...

)

(

)

(

...

...

...

...

...

...

),

(

)

(

)

(

...

)

(

))

(

1

(

1

2

2

,

1

1

,

1

1

1

1

1

2

2

,

1

1

1

,

1





















p

i

pi

l

i

p

n

pn

l

l

p

l

l

p

i

i

l

i

n

n

l

l

l

l

e

a

d

b

C

d

C

d

C

d

e

a

d

b

C

d

C

d

C

d

      (19) 

где 

n

k

p

i

ds

s

s

K

d

i

m

j

k

j

ij

ik

,

1

,

,

1

,

)

(

)

,

,

1

(

)

(

1

0

1

0

)

(







 

















, 

p

i

ds

s

F

s

K

e

i

m

j

j

ij

i

,

1

,

)

(

)

,

,

1

(

)

(

1

0

1

0

)

(





 















 

Для главного определителя 

)

(





 системы (19) справедливо асимптотическое представление 

),

(

)

(









O





где 

pn

l

p

l

p

n

l

l

d

d

d

d

d

d















1

...

...

...

...

...

...

1

2

,

1

,

1

2

,

1

1

,

1



 

Предположим, что 

VII. 

0





 

Тогда справедлива следующая  

Теорема 1. 

Пусть  выполнены  условия  I-VII.  Тогда  решение

)

,

(



t

y

  сингулярно  возмущенной 

краевой задачи (1), (2) на отрезке [0,1] существует, единственно и выражается формулой: 

 



















l

i

p

i

i

l

i

i

i

t

P

t

Q

t

Q

a

t

y

1

1

)

,

(

)

,

(

)

(

)

(

)

,

(

)

,

(

















 

 

 

(20) 

где 

n

k

t

Q

k

,

1

),

,

(





 и 

)

,

(



t

P

 выражаются формулой (18), 

)

(





- главный определитель системы 

(19), а 



)

(





i

определитель, полученный из 

)

(





 заменой его 



i

го столбца правой частью (19). 

● Физико–математические науки

  

 

№5 2014 Вестник КазНТУ  

          

360

Для 

определителя 

)

(





i

 

справедливо 

асимптотическое 

представление 

p

i

O

i

i

,

1

),

(

)

(















,  где 

i



-  определитель,  полученный  из 



заменой  его  i-го  столбца 

столбцом 

)

,...,

(

1

1

1

1

1

p

i

pi

l

i

p

i

i

l

i

e

a

d

b

e

a

d

b

















 

Из (18) с учетом оценок (6), (11) и формул (14), (16) получаем для функции 

n

k

t

Q

k

,

1

),

,

(





 и 

)

,

(



t

P

 следующие асимптотические оценки:  

 

2

,

0

,

)

0

,

(

max

)

,

(

1

1

0

)

(

1













n

j

t

H

C

t

Q

m

t

j



, 



































t

C

t

H

C

t

Q

m

t

n

exp

)

0

,

(

max

)

,

(

1

1

0

)

1

(

1

, 

2

,

0

,

)

,

(

)

(







n

j

C

t

Q

j

k



,  





























t

C

C

t

Q

n

k

exp

)

,

(

)

1

(

, 

2

,

0

,

)

(

max

)

,

(

1

0

)

(











n

j

t

F

C

t

P

t

j



,   

 

 

(21) 













































t

t

F

C

t

P

t

n

exp

1

1

)

(

max

)

,

(

1

0

)

1

(

 

 

жүктеу/скачать 15,98 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: