Плоская рама, состоящая из 3-х тел, соединённых шарнирами В и С, находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил (рис. 2.28). Определить реакции внешних опорных устройств, применяя принцип возможных перемещений. Выполнить проверку правильности решения.
Исходные данные: F1 = 25 кН;
F2 = 20 кН; M = 40 кНм; q = 1,0; sin = 0,6.
Линейные размеры принять непосредственно из рисунка, выполненного в указанном масштабе.
Решение Заменяем распределённую нагрузку равнодействующей, равной
Q = q4 = 104 = 40 кН, приложенной в середине участка.
Определение Д (рис. 2.29).
Рис. 2.29
Заменим шарнирно-подвижную опору Д вертикально-подвижной шарнирной опорой и приложим к ней искомую силу Д. Изменённой таким способом системе сообщаем возможное перемещение, при котором точка Д перейдёт, например, в положение Д . Так как шарнир Б остаётся неподвижным, то стержень ВС повернётся на некоторый угол вокруг этой точки. При этом точка С получит возможное перемещение Sc, перпендикулярное ВС. В итоге тело СД сместится поступательно вверх на Sc = Sд.
Составляем уравнение работ:
.
Д – Sд – Q2 = 0.
Находим зависимость между Sс и S.
Из прямоугольного треугольника ВСС имеем:
Sс = ВСS = 4.
Подставляя эту зависимость в уравнение работ и сокращая на , находимД = 20 кН.
Определение ХД (рис. 2.30).
Рис. 2.30
Заменим шарнирно-подвижную опору Д шарнирной горизонтально-подвижной опорой и реакцией ХД. Дадим системе возможное перемещение, при котором точка Д сместится горизонтально вправо на расстояние Sд. Стержень ДС повернётся вокруг точки С (мгновенного центра скоростей тела ДС) на угол .
Составляем уравнение работ:
.
(М + F26) + ХDSд = 0.
Определяем зависимость между возможными перемещениями:
Sд = ДС = 8.
Подставляя в уравнение работ, и сокращая на 0, находим
ХД = –20 кН.
Определение YA (рис. 2.31).
Рис. 2.31
Заменим жесткую заделку в точке А такой связью, которая позволяет этой точке перемещаться в вертикальном направлении, т.е. в направлении искомой составляющей реакции жесткой заделки. Одновременно новая связь, наложенная на систему в точке А, должна препятствовать любым другим перемещениям тела АВ, в частности – повороту вокруг точки А. В результате стержень АВ переместится поступательно, на величину
SA= SB, а стержень ВС повернется на угол вокруг точки С (МЦС тела DC).
Составляем уравнение работ:
.
.
Находим зависимость между перемещениями:
.
Подставляя в уравнение эту зависимость, и сокращая на 0, находим YA= 5 кН.
Определение ХА (рис. 2.32).
Заменим жёсткую заделку в точке А новым типом связи и искомой составляющей реакции жёсткой заделки. Сообщаем системе возможное перемещение, в результате которого точки А и В получат перемещения
SА = SВ. Стержень ДС повернётся на угол вокруг токи Д, а точка С получит перемещение Sc, перпендикулярноеДС, т.е. тоже горизонтальное. Поэтому стержень ВС переместится поступательно, и SС = SВ. Точки А и В перейдут в положения А и В при поступательном горизонтальном перемещении тела АВ, т.е. SС = SВ, АА = ВВ
Рис. 2.32
Составляем уравнение работ
.
(XA–F1cos)SA+ (–M + F22) = 0.
Зависимость между возможными перемещениями точек А, В, С и тела ДС:
SА= SВ = SС = 8.
Учитывая это соотношение, из уравнения работ находим ХА= 20 кН.
Определение mA (рис. 2.33).
Рис. 2.33
Для определения реактивного момента в жесткой заделке заменим её шарнирно-неподвижной опорой и искомым моментом mA. Сообщим системе возможное перемещение, при котором стержень АВ повернется на угол 1 вокруг неподвижной точке А, а стержень DC повернется вокруг тоже неподвижной точки D на угол 3, а стержень ВС повернется на угол 2 вокруг своего МЦС – точки Р2.
Составим уравнение работ:
:
Находим зависимость между перемещениями:
δSВ = АB· δφ1 = ВР2· δφ2 δSС = Р2С· δφ2 = DС· δφ3.
Определив линейные размеры АВ, ВР2, Р2С и DС непосредственно по рисунку, получаем:
;
4δφ3 = 4δφ2.
Отсюда δφ1 = 2·δφ2; δφ3 = δφ2.
Подставляя в уравнения работ эти зависимости и сокращая на 2 0, находим mа = –15 кНм.
Выполним проверку правильности полученных результатов (рис. 2.34).
Рис. 2.34
Для чего составим уравнение равновесия всей конструкции в целом виде:
,
ХА2 – А1 + mА – Q3 + M + F24 + ХD6 + Д5 = 0,
0 = 0.
Реакции внешних связей конструкции определены верно.
